初三春季每日一练2

初三春季每日一练2
11．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）
A．①②③④B．③④C．①③④D．①②
12．（3分）如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内
的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）
A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕14
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．
23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）
A．①②③④B．③④C．①③④D．①②
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，
∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；
∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；
由对称轴为x=，点（2，0）的对称点是（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故③正确；
∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1），∴y1=y2．故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．故选：A．
12．如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依
次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）
A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕14
【解答】解：∵B、C反比例函数y2=的图象上，∴S△ODB=S△OAC=×3=，
∵P在反比例函数y1=的图象上，∴S矩形PDOC=k1=6++=9，
∴图象C1的函数关系式为y=，
∵E点在图象C1上，∴S△EOF=×9=，∴==3，
∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，∴=，故选：A．
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．
【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=，∴AB=AC=4，
∵AD为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，∴OC==2，∴CE=OC﹣OE=2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：，
解得：．
（2）作DN∥CF交CB于N，如图1所示．
∵DN∥CF，
∴△DEN∽△FEC，
∴．
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
令直线y=kx+1中x=0，则y=1，
即点F的坐标为（0，1）．
设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，
∴=，
∵DN=﹣m2+3m=﹣+的最大值为，
∴的最大值为．
（3）假设存在符合题意的点Q．
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
∵点G的坐标为（1，0），
∴PM=GM=2．
设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．
∴过点G与BC平行的直线为y=﹣x+1．
联立直线与抛物线解析式得：，
解得：或．
∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
∵平行线间距离处处相等，且点M为线段PG的中点，
∴点Q到直线BC的距离与点P到直线的距离相等．
故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，点Q 的坐标为（，﹣）或（，﹣）．。