弯曲内力[1]资料

M
x
３.画出剪力图和弯矩图。
32
例３
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
a
M
b
A
x1
C
l
x2
B
33
解：1．确定约束力
a
M
b
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBY
FAy =
M M ， FBy =l l
2．列出剪力和弯矩方程
AC

Ma / l
FS x1 ＝M / l
10
常见弯曲构件截面
11
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。 1.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1 M
集中力
q(x)
集中力偶
q
(b)分布荷载
任意分布荷载
均布荷载
12
2.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FR
FRy
FRy
活动铰支座 固定铰支座
x
F
剪力——平行于横截面的内力合力
M
C
M
FB
C
0 : M FA x 0 M FA x
FS
弯矩——垂直于横截面的内力系的合力偶矩
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.
q( x)=C，Fs 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。
3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变；
dM ( x ) FS ( x) dx
1 2 q ( x) dx 0 2
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
42
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： 2 dx dx
1.
q( x)=0，Fs =C (常数)， 剪力图为直线；
FS x
ql

ql / 2
2
依方程画出剪力图和弯矩图
x
M
最大剪力和弯矩分别为
ql 2 / 8

x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
29
例２
y
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
q
A
FAY
x
B C
l
x
FBY
30
y
解：1．确定约束力
q
A
FAY
x
B C
l
M ＝0， M ＝0
一.列出剪力、弯矩方程：
FS FS ( x) M M ( x)
27
例１
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 q
x
l
28
q
解：任选一截面x ，
列出剪力和弯矩方程
x
q x
FS l
FS x ＝qx
0 x l 0 x l
M x
M x ＝qx 2 / 2
y
0 FN y ql / 2 0
0 y l
F S (y )
q
ql 2 2
ql
M y 0
M y qy y / 2 qly 0
M y qly qy 2 / 2
0 y l
36
B
横杆CB：C点向左为x
x
y
ql 2 2
剪力图的特征
↘
弯矩图的特征
一直线 向下斜直线 向上斜直线
水平线
斜直线 上凸抛物线 上凹抛物线 剪力为零的截面
斜直线
有突变， 突变值为M 弯矩突变的某 一侧
44
最大弯矩可能 的截面位置
剪力突变的截 面
3.其它规律： ① |M|max 可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集 中力偶作用处； ② q 突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转 拐点； ③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对 称，弯矩图左右对称； 荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩 图关于梁中点反对称。
0 x1 a M x1 ＝Mx1 / l 0 x1 a
FS x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b

Mb / l
CB
3. 画出剪力图和弯矩图。
34
例5 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。
B
1.5m FB
3 0 2 FA 15kN FB 29kN
(也可由 MA 0求FB或校核FB )
2m
FA 1.5m
1 1.5m
解： 1、求支反力
M F
y
B
0
F=8kN
2、计算1-1 截面的内力 F A 3、计算2-2 M 2 截面的内力
M1
FS1
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
M M M M
弯矩为正
弯矩为负
18
例1
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 2m FA 1.5m 1 q=12kN/m 2 2 3m 1.5m FB B
1
1.5m
19
F=8kN A 1
q=12kN/m
2 2 3m
0 FA 6 F 4.5 q 3 FA FB F q 3 0
39
§4-4
剪力、弯矩和分布载 荷集度间的关系
40
一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系
1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；
任取微段，认为其上q(x)为常数，
无集中力、集中力偶；内力作正向假设。
M
A
F1
B
q(x)
41
2.微分关系推导：
A M
dx
B
F1
x
M(x) FS(x)
O
M(x)+dM(x)
集中力偶作用处，弯矩图突变
43
二、讨论微分关系的几何意义
1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点 处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
外力情况 q=0 q<0(向下) q>0(向上) 无荷载段 集中力F 作用处： 突变， 突变值为F 有尖点 集中力偶M 作用处： 不变
M x qlx / 2
0 x l
37
3、根据各段的内力方程画内力图
B
ql 2 2
竖杆AB：
FN y ql / 2
y
横杆CB：
FN x 0
FS x ql / 2
ql
ql 2
FS y ql qy M y qly qy 2 / 2
A B
x
FBY
ql FAy =FBy 2
2．列出剪力和弯矩方程
FS
ql / 2

M
FS x ＝ql / 2 qx 0 x l

ql 2 / 8
x
M x ＝qlx / 2 qx / 2
2
0 x l
ql / 2
3ql 2 / 32

3ql 2 / 32
Fa / l
Fab / l


x CB
FS x1 ＝Fb / l 0 x1 a M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
试画出刚架的内力图。
B
y
35
解：1、确定约束力
B
ql 2 2
2、写出各段的内力方程
竖杆AB：A点向上为y
y
F
FS y ql qy
x
0
FS y qy ql 0
0 y l
ql
ql 2 2B FN(y)
F
M(y)
y
FN y ql / 2
ME
5F FAy 3 F FBy 3
F M
y
0
FSE FBy 0
o
0
F FSE FBy 3 3a M E FBy Fa 2
3Fa ME 2
23
FAy
5F 3
F FBy 3
2F FSE FAy
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
FSE 5F F 2F 3 3
x
3. 画出剪力图和弯矩图
ql ql 2 Fs max = , M max = 2 8
31
例３
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
M ＝0， M ＝0
A B
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
2．列出剪力和弯矩方程
AC
FS
Fb / l
8
平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对
称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面 上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
9
等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
y
x
q(x) dx
FS(x)+dFS(x)
q(x)
F
y
0 ：FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0 dFS ( x) q ( x) dx
M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x) dx MO 0：
17
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：
FS
，
正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为 负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
FS
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M， 正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正， 反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。
45
３.微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一 x和 M一 x坐标系，并将控制面上的剪力和 弯矩值标在相应的坐标系中。 左上右下剪力为正；左顺右逆弯矩为正。
24
5F FAy 3 F FBy 3
2F ME FAy
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
5F 3a a 3 ME 2F = Fa 3 2 2 2
25
§4-3
剪力图和弯矩图
26
弯曲内力图:
剪力图、弯矩图
横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力－ 剪力、弯矩的大小。
A
FBy 3a Fa 2F a
5F FAy 3 5F F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5F 3a 2 F M E ME 0 2 3 2
FSE ME FAy
3Fa ME 2
22
FSE
O
FAy ME FSE 分析右段得到： O
固定端
13
3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
14
静定梁的基本形式
FAx FAy
简支梁
FBy
FAx
FAy FAx MA FAy FBy
外伸梁
悬臂梁
15
§4-2
剪力和弯矩
16
一、截面法过程：切、取、代、平
A
a x
F B
C
M
FS
FA
F
y
0 : FA FS 0 FS FA
FS2 q 1.5 FB 11kN 1.5 30kN m 2
20
q=12kN/m
FS2
FB
M 2 FB 1.5 q 1.5
例题2
求图示简支梁E 截面的内力
21
1. 确定支反力 解：
F
y
0 0
FAy FBy 2F
M
2. 用截面法研究内力
F FBy 3
第四章
弯曲内力
1
§4-1
工程实际中的弯曲问题
2
桥梁在自重和承重作用下发生弯曲变形
3
4
5
起大重机梁
1
6
火车轮轴
7
一、弯曲概念
杆件受垂直于轴线的外力和外力偶（或外力偶）的作用时，
轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。
受力特点：
外力和外力偶（或外力偶）垂直于杆件的轴线。
变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆件，主要承受垂直于轴线载荷。
M x qlx / 2
ql 2 2
ql 2 ql 2
ql 2 2
－ ＋
FN
＋
ql
FS
M
ql 2
38
由剪力、弯矩图知：
在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突
变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变
方向沿集中力作用的方向。
在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为
集中力偶的大小。
F
F
y
FN x 0
0
x
0
0 x l
FS x ql / 2 0
ql
ql 2 2
M(x ) FN(x) F S (x )
FS x ql / 2
0 x l
x
B
ql 2 2
M x 0
M x qlx / 2 0