2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二下学期期中数学试
题
一、单选题
1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '
+=+ B ．cos sin 22ππ⎭=-'⎛⎫ ⎪⎝
C ．
'
=
D ．()e e x x --'=
【答案】C
【分析】直接由导数的运算法则及复合函数的导数依次判断即可. 【详解】对于A ，()2234x x '
+=，A 错误；对于B ，因cos 2π
是常数，则cos 02π'
⎛⎫ ⎪⎝
=⎭，B 错误；
对于C ，
'=C 正确；对于D ，()()e e
e x
x
x x ---''--==，D 错误．
故选：C
2．书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书，从书架上任取1本书，有（ ）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（ ）种不同取法？ A ．20，9 B ．9，20 C ．24，9 D ．9，24
【答案】D
【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理分别可得.
【详解】解：根据题意可得从书架上任取1本书，有4＋3＋2＝9种不同的取法； 从书架的第1，2，3层各取1本书，有2×3×4＝24种不同的取法； 故选：D
3．函数()()2
2f x x C C =+∈R 在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．2
【答案】A
【分析】直接求解平均变化率即可. 【详解】
()()()()()
2142121213
f f C C --+-+==--．
故选：A ．
4．在1)2
n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．
454
B ．358
-
C ．
358
D ．7
【答案】C
【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n 为奇数时最中间的那一项最大. 【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n =8，
二项式展开项的通项公式为：842218
81122r
r
r r
r
r r r T C x x C x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
46,42
r
r +
== ， ∴6
x 的系数为4
4
8
135
28C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
故选：C.
5．若函数f （x ）＝6ln x －x 2＋x ，则f （x ）的单调递减区间为（ ） A ．()3,2,2⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
B ．()2,+∞
C ．()0,2
D ．()30,2,2⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】求导，解不等式()'f x 0<可得.
【详解】f （x ）定义域为()0,∞+，又()2626
21x x f x x x x
-++=-='+，
令()f x '0<，∵x ＞0，∴2260x x -++<， 由2260x x -->解得3
2
x <-或2x >，
则2x >，即()f x 的单调减区间为()2,+∞． 故选：B ．
6．某省进行高考综合改革，要求学生从高二开始对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数是（ ） A ．36 B ．30
C ．24
D ．12
【答案】B
【分析】先计算两人所选课程都不同的选法，再算两人各选两科总的选法，然后可得.
【详解】甲、乙两人所选课程都不同有22426C C =种，甲、乙两人各选两科共有22
4436C C =，
所以甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数为36630-=种. 故选：B ．
7．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (2)=2, ()1f x '>，则f (x )＞x 的解集是（ ） A ．(0,2)
B ．(2,0)(0,2)-
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(2,)+∞
【答案】D
【分析】构造()()g x f x x =-，结合已知有()g x 在R 上递增且(2)0=g ，原不等式等价于()g x >(2)g ，利用单调性求解集.
【详解】令()()g x f x x =-，由题设知：()()10g x f x ''=->，即()g x 在R 上递增， 又(2)(2)20g f =-=，所以f (x )＞x 等价于()g x >(2)g ，即2x >. 故选：D
8．已知函数()ln f x x =，()2g x x =，()()f m g n =，则mn 的最小值是（ ） A ．1
2e
-
B ．
12e
C ．2e
-
D ．2e
【答案】A
【分析】根据题意可得ln 2m n =，则1
ln 2
mn m m =
，令1()ln ,02h m mn m m m ==>，利
用导数求出函数()h m 的最小值即可得出答案.
【详解】解：由函数()ln f x x =，()2g x x =，()()f m g n =，得ln 2m n =， 则1
ln 2
mn m m =
， 令11
()ln ,0,()(1ln )22
h m mn m m m h m m ===+'>， 当1
e m >
时，()0h m '>，当10e
m <<时，()0h m '<， 所以函数()h m 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递增，
所以min ()h m =11e 2e h ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，即mn 的最小值是12e -.
故选：A. 二、多选题
9．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．－1是函数()f x 的极小值点
B ．－4是函数()f x 的极小值点
C ．函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减
D ．函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减 【答案】BC
【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.
【详解】由()'
f x 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，
所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误. 故选：BC
10．已知曲线()1
f x x
=，则过点()1,3-，且与曲线()y f x =相切的直线方程可能为（ ）
A ．2y x =-+
B ．96y x =--
C ．85y x =--
D ．74y x =--
【答案】AB
【分析】设出切点坐标001,x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，求出函数()f x 的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.
【详解】设过点()1,3-的直线与曲线()y f x =相切的切点为001(,)x x ，由()1f x x
=求导
得()2
1
f x x '=-
， 于是得切线方程为0200
11()y x x x x -
=--，即20012y x x x =-+，则20012
3x x =+，解得01x =或
01
3
x =-，
因此得切线方程为2y x =-+或96y x =--， 所以所求切线的方程是2y x =-+或96y x =--. 故选：AB
11．已知4
5015(2)(21)x x a a x a x +-=++
+，则下列结论正确的是（ ）
A ．015a a a ++⋯+＝32
B ．0a ＝2
C ．135a a a ++＝－39
D ．1a ＝－15
【答案】BCD
【分析】分别令1x =、0x =和1x =-，可判断A 错误，B 、C 正确，结合二项展开式的通项，可判定D 正确. 【详解】令1x =，则()()4
01512213a a a ++
+=+-=，故A 错误，
令0x =，则()4
0212a =⨯-=，故B 正确，
令1x =-，则()()4
012345122184a a a a a a -+-+-=-+--=， 两式相减可得：135381
392
a a a -++=
=-，故C 正确， 展开式中含x 的项为()()()()0
4
3
43
44C 212C 2115x x x x ⨯-⋅-+⨯⋅-=-，
故115a =-，所以D 正确. 故选：BCD ．
12．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件有
（ ） A ．1,2a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭
B ．1,2a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
D ．11,26a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
【答案】AC
【分析】根据题意得出2241
ax ax f
x
x
，令2241g x
ax ax ，然后根据()f x 在
()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况
进行讨论，即可得出结果.
【详解】()21241
24ax ax f x ax a x x
--'=--=，
若()f x 在()1,3上不单调， 令2241g x
ax ax ，
则函数2241g x
ax ax 与x 轴在()1,3上有交点，
当0a =时，显然不成立；
当0a ≠时，则()()2
1680
130
a a g g ⎧∆=+≥⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，
结合选项易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是
1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，1,2a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，
故选：AC. 三、填空题 13．若()26
2
20
20*N ++=∈n n C C n ，则n =______.
【答案】4
【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意知， 因为26
220
20n n C C ++=*()n N ∈，
所以262n n +=+或2620(2)n n +=-+， 解得4n =-(舍去)或4n =. 故答案为：4
14．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答） 【答案】36
【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有211
421
2
2
6C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有3
36A =种方法，
则共有6636⨯=种分配方案. 故答案为：36 15．已知函数()1
ln 2
f x x x m =-+的最小值为1，则m =_____． 【答案】ln 2
【分析】利用导数求出函数()y f x =的最小值，结合题中条件可求出实数m 的值. 【详解】函数()1ln 2f x x x m =
-+的定义域为()0,∞+，且()11222x f x x x -'=-=， 令()0f x '=，得2x =.
当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.
所以，函数()y f x =在2x =取得极小值，亦即最小值，即()()min 21ln 21f x f m ==-+=，因此，ln 2m =. 故答案为ln 2.
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题. 四、双空题
16．若n
a x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a ＝__________，
展开式中x 2的系数为__________． 【答案】 －1 －448
【分析】赋值令1x =，和2128n =联立求解可得a ；化简通项，根据x 的指数等于2可解.
【详解】解：由题意得11n
a ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭且2128n =
所以n ＝7，a ＝－1，
所以7
1x -⎛⎫ ⎪⎝⎭
的展开式的通项为(()73772
177121k
k k
k k
k k
k T C C x x ---+⎛⎫ ⎪⎝⎭
-==-
令
7322
k
-=，得k ＝1． ∴x 2的系数为()1
16
721448C -=-．
故答案为：－1，－448． 五、解答题
17．用0，1，2，3，4，5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 【答案】(1)156 (2)132
【分析】（1）根据个位是0,2,4进行分类讨论，由此求得“无重复数的四位偶数”的个数. （2）结合插空法求得“奇数数字互不相邻的六位数”的个数. 【详解】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有3
5A 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个(1
4A 种)，十位和百位从余下的数字
中选，有2
4A 种，于是有1244A A ⋅个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有12
44A A ⋅个．由分类加法计数原理得，共有
312
5442A A A +⋅＝156(个)．
(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共33
34A A ⋅＝144(种)，其中0在排头，将
1，3，5插在后3个空的排法共32
32A A ⋅＝12(种)，
此时构不成六位数，故总的六位数的个数为3334A A ⋅－32
32A A ⋅＝144－12＝132(种).
18．已知()32
2126f x x mx x =--+的一个极值点为2.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在区间[]22-,
上的最值. 【答案】（1）在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增；（2）最小值为14-，最大值为13.
【分析】（1）根据极值点先求出m 的值,再求出()f x ',令()0f x '<或()0f x '>,得到函数的单调区间；
（2）求出函数在[2,2]-上的单调性，根据极值和端点值的比较可得到最值.
【详解】（1）因为()32
2126x mx f x x =--+，所以()26212x x f x m =--'，
因为()3
2126f x x mx x =--+的一个极值点为2，
所以()2
62221202f m =⨯-⨯-='，解得3m =，
此时()3223126x x f x x =--+，()()()2
6612612f x x x x x '=--=+-，
令()0f x '=，得1x =-或2x =，
令()0f x '<，得12x -<<；令()0f x '>，得1x <-或2x >，
故函数()f x 在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上为增函数，在(]1,2-上为减函数， 所以1x =-是函数()f x 的极大值点，又()22f -=，()113f -=，()214f =-，
所以函数()f x 在区间[]22-,
上的最小值为14-，最大值为13.
19．已知()1x
f x e ax =--.
（1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤
【分析】（1）计算()'f x ，根据()'0f x >与()'0f x <，可得结果.
（2）利用等价转化的思想，'0f ≥在R 上恒成立，然后根据()'
f x 的单调性，简单计算，
可得结果.
【详解】（1）当2a =时，()21x
f x e x =--
则()'2x
f x e =-，
令()'20x
f x e =->，得ln 2x >
令()'20x
f x e =-<，得ln 2x <
所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞
（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增
等价于()'0x
f x e a =-≥
由()'x
f x e a =-在R 上单调递增，又0x e >
则000a a -≥⇒≤
【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题. 20．已知()23012313n
n n x a a x a x a x a x -=+++++（n 为正整数）.
(1)若2011513a a a =-，求n 的值； (2)若2022n =，0242022+
A a a a a =+++，1352021
B a a a a =+++
+，求A B +和22
A B -的值（结果用指数幂的形式表示）. 【答案】(1)10n =
(2)20222A B +=，2260662A B -=，
【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由2011513a a a =-列方程可求出n 的值，
（2）分别令1x =，1x =-求出2022
01220222A B a a a a +=+++⋅⋅⋅+=，
2022012202120224A B a a a a a -=-+-⋅⋅⋅-+=，进而可求出22A B -的值，
【详解】(1)二项式(13)n x -展开式的通项公式为1(3)(3)r r r r r
r n n T C x C x +=-=-，则
00112
2012(3),(3),(3)n n n a C a C a C =-=-=-，
因为2011513a a a =-，
所以221
(3)1513(3)n n C C -=--，化简得2329100n n --=，
(10)(31)0n n -+=，
得10n =或1
3n =-（舍去），
(2)当2022n =时，()
22022
202220223012313x a a x a x a x a x -=+++++，
令1x =，得2022
20220122022(2)
2a a a a +++⋅⋅⋅+=-=， 令1x =-，得2022
012202120224a a a a a -+-⋅⋅⋅-+=，
因为0242022+A a a a a =+++，1352021B a a a a =++++，
所以2022
01220222A B a a a a +=+++⋅⋅⋅+=，
2022012202120224A B a a a a a -=-+-⋅⋅⋅-+=，
所以22202220226066()()242A B A B A B -=+-=⋅=，
21．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值. (1)求实数a 的值；
(2)若不等式()()1f x k x >+恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)2a =- (2)1k <-
【分析】（1）由已知得出()e 0f '=，可求得实数a 的值； （2）由参变量分离法可得出ln 21
x x x
k x -<
+对任意的0x >，利用导数求出函数
()ln 21
x x x
g x x -=
+在其定义域上的最小值，可得出实数k 的取值范围.
【详解】(1)解：因为()ln f x ax x x =+，则()()1ln f x a x '=++，由已知可得
()e 20f a '=+=，解得2a =-.
此时，()ln 1f x x '=-，当0e x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当e x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，
故函数()f x 在e x =处取得极小值，合乎题意.
因此，2a =-.
(2)解：由（1）可得()ln 2f x x x x =-，该函数的定义域为()0,∞+，
由()()1f x k x >+可得ln 21x x x k x -<
+，令()ln 21x x x g x x -=+，其中0x >， 则()()()()()()
22ln 11ln 2ln 1
11x x x x x x x g x x x -+--+-'==++.， 设()()ln 10h x x x x =+->，则()110h x x +'=
>，所以，()h x 在()0,∞+上是增函数， 又因为()10h =，当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，
所以，()()min 11g x g ==-，故1k <-.
22．已知函数()()2ln R f x ax x a =-∈.
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)讨论函数()f x 的零点个数.
【答案】(1)当0a ≤时，函数 ()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. (2)当2e
a >时，函数()f x 没有零点； 当2e
a =或0a ≤时，函数()f x 有1个零点； 当20e
a <<时，函数()f x 有2个零点. 【分析】（1）对函数()2ln f x ax x =-，求导得出()22ax f x a x x -'=-
=， 对a 进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数()f x 的单调性. （2）由题意可知，函数()2ln f x ax x =-的零点个数转化为函数y a =与 ()2ln x g x x
=图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.
【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22ax f x a x x -'=-=. 当0a ≤时，0f x
恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，令0f
x ，得20x a
<<，令0f x ，得2x a >， 所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. (2)令2ln 0ax x -=，得()2ln 0x a x x =>. 令()2ln x g x x =
，则()()221ln x g x x -'=， 令0g x ，得0e x <<；令0g x ，得e x >，
所以函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减. 所以()()max 2e e
g x g ==； 当0e x <<时，()2,e g x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭， 当e x >时，()0g x >，所以()20,e g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 所以函数()g x 的图象如图所示，由图可得，
当2e a >
时，直线y a =与函数()g x 的图象没有交点，函数()f x 没有零点； 当2e
a =或0a ≤时，直线y a =与函数()g x 的图象有1个交点，函数()f x 有1个零点； 当20e a <<
时，直线y a =与函数()g x 的图象有2个交点，函数()f x 有2个零点.。