高三数学-2018届江苏常熟市实验中学高三数学综合测试(

2018届江苏常熟市实验中学高三数学综合测试（一）
姓名------------------ 2018、3、16
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. .1 函数x
2)1x (log y 2--=
的定义域是 （ ）
A. ]2,1(
B. (1，2)
C. （2，+∞）
D. （－
∞，2）
2. 若集合},2y 0|y {Q },4x 0|x {P ≤≤=≤≤= 则下列对应中, 不是．．从P 到Q 的映射的是 ( ) A. x 21y =
B. x 31y =
C. x 81y =
D. x 3
2
y = 3. 在数列}a {n 中, 2a 3a 3n 1n +=+),N n (∈且,20a a a a 9742=+++则10a 为 ( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
4. 已知奇函数f (x)是定义域为R, 且以4为周期的周期函数, 又f (1)
＝4, 那么f [f ( 7 ) ]等于 ( ) A. 5 B. 4 C. 0 D. －4
5. 图中的曲线对应的函数是 ( ) A. |x |sin y -= B. |x sin |y -= C. |x |cos y -= D. |x cos | y =
6. 若A B ⇒，且B A ⇒，则B A ⌝⌝是成立的条件为 ( ) A. 充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D.既不充分又不必要
7. 记函数x
31y -+=的反函数是),x (g y =则)10(g ＝ ( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. －1 8. 在)2,0( π内，使x cos x sin >成立的x 的取值范围是 ( )
A.
)4
5,()2,4(π
πππ B. ),4(ππ
C. )4
5,4(π
π D. )2
3,45(),4(ππππ
9. 函数y ＝5
sin(2x π)2
+
的图象的一条对称轴方程是 ( ) A. 2πx -= B. 4πx -= C. 8πx = D. π4
5
x =
10. 对某中学的高中学生做专项调查，该校高一年级有320人，高二年级有280人，高
三年级有360人。

若采取分层抽样的方法，抽取一个容量为120的样本，则高一、高二、高三年级抽取的人数依次为 ( ) A ．40、35、45 B ．35、40、45 C ．45、25、50 D ．25、45、50
11.对于函数⎩⎨
⎧<≥=时
当时当x x x
x x x
x f cos sin cos cos sin sin )(给出下列四个命题：
①该函数的值域为[-1，1] ②当且仅当;1,)(2
2该函数取得最大值时z k k x ∈+
=π
π
③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当0)(,)(2
322<∈+<<+x f z k k x k 时π
πππ 上述命题中错误命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12 .已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2，BC=23，则球心到平面ABC 的距离为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
二. 填空题 本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. 13 某湖中有四个小岛,拟在四个小岛之间建三座桥，使四岛相连，共有________种不
同的建桥方案。

14 已知点P 是抛物线x y 42=上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x +2y
－12=0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是 . 15.定义运算b a *为:()()
,⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为
16 定义“符号函数”f (x ) = sgn x =⎪⎩
⎪⎨⎧-,1,0,1 x= 0，则不等式x + 2 > ( x – 2)x
sgn 的解集是
___________________________________________________________。

三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤.
17. (本小题满分12分) 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 3
A =. （1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2
）若a =bc 的最大值.
18 (本小题满分12分) 某大型商厦的家电部计划2002年销售“海豹”牌冰箱2000台，经铁路分若干次等量进货，运输费用按每台50元计算，但每次进货必须另加1万元火车车箱调度费用。

冰箱进货后需租用商厦仓库存放，但仓库租用面积必须年前（2001年底）作出计划，租用面积确定以后必须租用一年（中途不能更改租用面积），仓库年租金按所租用面积能存放冰箱的最大数量乘以100元计算．问几次等量进货，才能使运输费用与仓库租金总和最小，最小总费用是多少 19．(本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（Ⅱ）当α为何值时，AB 1⊥BC 1，且使D 恰为BC 中点？
（Ⅲ）若α = arccos 1
3
，且AC=BC=AA 1时,求二面角C 1—AB —C 的大小．
20（本小题满分12分）
直角坐标平面内，△ABC 的两上顶点A 、B 的坐标分别为A （－1，0）、B （1，0），
C 1
A
B
C
D
A 1
B 1
平面内两点G 、M 同时满足以下条件：
①0=++GC GB GA ；②||||||MC MB MA ==；③.//AB GM （Ⅰ）求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点P （2，0）的直线l 与△ABC 的顶点C 的轨迹交于E 、F 两点，求PF PE ⋅的取值范围.
21、．（本题满分12分）设函数,2
41
)(+=
x
x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；
（2）记*),()1()1
(
)2()1
()0(N n f n
n f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列
}{n a 的通项公式及前n 项和.
22. (本小题满分14分) 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时,
)(x f =1
72
++-
x x x
. (I) 求当X<0时, )(x f 的解析式;
(II) 试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.
(III) 若21≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2.
参 考 答 案
一. 选择题
二. 填空题 13.16 14.5511 15. [-1，]2
,16 .) , 5(∞+-, 二、
解答题
三、 17 解: (1) =
= = =
(2) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc 的最大值是
.
18 设分n 次等量进货，∴总费用200020005010010000100000W n n
=⨯+⨯+≥+
当52=n 时等号成立；而f （4）=f （5）=9；故分4次或5次（最好4次）进货才能使总费用最小，190000
min =W 元． 19. （Ⅰ）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，
∴ B 1D ⊥AC , 又AC ⊥BC ,
BC ∩B 1D =D ．
∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．
(Ⅱ) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知，
只须B 1C ⊥BC 1， ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形， 此时，BC=BB 1．
又∵ B 1D ⊥BC , 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点． （Ⅲ）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ． 过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ． ∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． 设AC=BC=AA 1=a ，
在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos 3，C 1E=3
22a ． 在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=
22BE=3
22a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°． 20解：（Ⅰ）设点C ，G 的坐标分别为),(),,(00y x y x ，
),(),1(),1(000000y y x x y x y x GC GB GA --+--+---=++=--=)3,3(00y y x x 0
003,3y y x x ==， …………2分
由//||||和=，知点M 的坐标为（0，y 0）， ……3分 由||||=，可得,)(12022
0y y x y -+=
+
∴.13
,949122
222=++=+y x y x y 即 点C 的轨迹方程是).0(13
2
2
≠=+y y x …………6分 （Ⅱ）直线l 的斜率为k （k ≠0），则它的方程为y=k （x －2），
由⎩⎨⎧=-+-=.
033),2(2
2y x x k y 可得,0344)3(2222=-+-+k x k x k …………8分 其中,0)1(36)34)(3(4162
2
2
4
>-=-+-=∆k k k k
∴.011≠<<-k k 且 …………9分
设两交点E 、F 的坐标分别为 ),(),,(2211y x y x ，
由韦达定理得：.3
3
4,3422212
221+-=⋅+=+k k x x k k x x 又因为),2(),2(2211-=-=x k y x k y 从而
)2)(2)(1()2)(2(2122121--+=+--=⋅x x k y y x x PF PE
).3
2
1(93)1(9)4342334)(1(222222
22
+-=++=++⨯-+-+=k k k k k k k k ……11分
又).2
9,3(,433,102
2∈⋅<+<<<PF PE k k 所以 ∴PF PE ⋅的取值范围是（3，2
9
）. …………12分
21、（1）)6(.2
14244241241241)1()(1'=⋅+++=+++=-+-x x
x x x x f x f
)
21(.
8
)3(2341)]1(432[41)01(.4
1
,2121.2
1
)0()1(,2
1
)2()2(,21)1()1(,21)1()0()1()2('+=⋅+⋅=+++++='+=∴+=
+=+=-+=-+=+n n n n n S n a n a n f f n n f n f n n f n f f f n n n 个式子相加得将上述知由
22、（1）当X<0时, =
)(x f 1
72
+-x x x
（3分） （2）函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数；（证明略） （9分） （3）因为函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数，由x 2≥得2)2()(-=≥f x f ；
又因为07,012
<->++x x x ，所以01
72<++-
x x x
，所以0)(2<≤-x f ；
因为0,21>x x ，所以0)(21<≤-x f ，且0)(22<≤-x f ，即2)(02≤<x f ， 所以，-2≤f(x 1) – f(x 2) ≤2即|)(1x f －)(2x f |<2. （14
分）
四、。