高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数练习新人教B版必修1

3.3 幂函数
【选题明细表】
1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C )
(A)为增函数(B)为减函数
(C)有最小值(D)有最大值
解析:设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4=(-2)2,所以α=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.
2.(2018·重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是( C )
解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;
当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.
3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D )
(A)y=(B)y=
(C)y=(D)y=
解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都为(0,+∞),D中y==定义域为R,而值域为 [0,+∞).
4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是( A )
(A)[-1,3) (B)(-∞,5)
(C)(3,5) (D)(3,+∞)
解析:由幂函数f(x)=的性质,有0≤a+1<10-2a,所以-1≤a<3, 故选A.
5.(2018·山东烟台期中)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为增函数,则m的值为( D )
(A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1
解析:由函数f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,则m2-4m+4=1,解得m=1或m=3.又函数
f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则m2-6m+8>0,解得m>4或m<2,因此只有m=1满足条件,故选D.
6.已知幂函数y=(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m= .
解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,
所以m2-2m-3≤0,
所以-1≤m≤3,
又m∈N+,所以m=1,2,3.
又因为函数为偶函数,
所以m=1或m=3.
答案:1或3
7.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )
解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以B不适合.
当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只
有选项A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.
8.(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)( B )
(A)是偶函数(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:幂函数f(x)=(m2-m-1)x m的图象与坐标轴无交点,可得m2-m-1=1,且m≤0,解得m=-1.则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B.
9.幂函数y=(m2-m-1),当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为.
解析:由m2-m-1=1得m=2或m=-1,
又x∈(0,+∞)时为减函数,
则需m2-2m-3<0,
所以m=-1舍去.
答案:2
10.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.
解:(1)设f(x)=xα,将(2,)代入得,
=2α,所以α=.
所以f(x)=.
(2)f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-
=
=,
因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)<f(x2),
即幂函数f(x)=在[0,+∞)上为增函数.
11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论g(x)=a-的奇偶性.
解:(1)因为f(x)=(m∈Z)是偶函数,
所以m2-m-2为偶数.
又因为f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数, 所以m2-m-2<0,即-1<m<2.
因为m∈Z,所以m=0或m=1.
当m=0时,m2-m-2=-2为偶数;
当m=1时,m2-m-2=-2也为偶数,
所以f(x)的解析式为f(x)=x-2.
(2)g(x)=a-=-bx,
所以g(-x)=+bx.
①当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数;
②当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数;
③当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;
④当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.。