《概率论与数理统计》学习笔记七

⎪⎩ 0,
− R2 − x2 ≤ y ≤ 其它
R2 − x2
四、 随机变量的独立性
一．定义 设 F ( x, y) 和 FX ( x) ， FY ( y) 分别是(X，Y)的联合分布函数和边缘分布
概率论与数理统计—学习笔记七
函数，若对于任意实数 x, y ，都有
F ( x, y) = FX ( y) ⋅ FY ( y)
( j = 1, 2L)
（2）
为在 X = xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律。
例 1 射手进行射击，击中目标的概率为 p,0<p<1,射击进行到击中目标两次为 止，设 X 表示第一次击中目标所进行的射击次数，Y 表示总共进行的射击次数。 （见上节例 5<射击问题>）求条件分布律。 由上节例已知联合分布律为：
2．设(X，Y)是连续型随机向量， f ( x, y) 和 fX ( x), fY ( y) 分别为(X，Y)的联合概
率密度和边缘概率密度，则 X 和 Y 相互独立的充要条件为
f ( x, y) = fX ( x) ⋅ fY ( y)
3．若 g1 ( x), g2 ( y) 是连续函数，X 与 Y 相互独立，则 g1( X ) 与 g2 (Y ) 也相互独立。
概率论与数理统计—学习笔记七
主 题： 《概率论与数理统计》学习笔记 学习时间：整学期
《概率论与数理统计》学习笔记七
一、 离散型情形条件分布
——二维随机变量（三）
对于事件可讨论条件概率，同样对于随机变量可讨论条件概率分布。 定义 1 若（X，Y）的联合分布律为
P{X = xi ,Y = y j } = pij , i, j = 1, 2L ，且 P{Y = y j } > 0, 则称
则 称 随 机 向 量 ( X1,L, Xm ) 和 (Y1,LYn ) 相 互 独 立 ， 其 中 F, F1, F2 分 别 是
( X1,L Xm ,Y1,LYn ) ,( X1,L, Xm ) ,(Y1,L,Yn ) 的分布函数。
1．若 ( X1,L, Xm ) 和 (Y1,LYn ) 相互独立，则
取 x = µ1, y = µ2 ，则有
1
= 1⋅1
2πσ1σ2 1− ρ2 2π σ1 2π σ2
从而得到 ρ = 0 。 二． n 个随机变量相互独立定义
对 n 维随机向量 ( X1,L, Xn ) ，若对于任意实数 x1,L xn ，都有
P{X1 ≤ x1,L Xn ≤ xn} = P{X1 ≤ x1}L P{Xn ≤ xn}
也记为
( ) f
( x,
y)
=
1 2πσ1σ 2
1−
ρ2
exp ⎨⎪⎧− ⎪⎩
2
1 1− ρ2
⎡(x
⎢ ⎢⎣
− µ1 )2
σ12
+
(
y
− µ2
σ
2 2
)2
− 2ρ
(x
−
µ1 )( y
σ1σ 2
−
µ2
) ⎤⎥⎬⎪⎫
⎥⎦⎪⎭
则 X，Y 相互独立 ⇔ ρ = 0 。
证：充分性：已知 ρ = 0 ，则有
−
1
度 fX ( x), fY ( y) 及条件概率密度 fY X ( y x) 。
解 (X，Y)的联合密度为：
概率论与数理统计—学习笔记七
f
(
x,
y)
=
⎧⎪⎨π
1 R2
,
x2 + y2 ≤ R2
⎪⎩ 0,
其它
边缘密度为：
∫ ∫ ( ) ( ) fX
∞
x= f −∞
x, y
⎧
⎪
dy
=
⎪⎪ ⎨
π R2 −x2
即
P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X ≤ x}⋅ P{Y ≤ y}
则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。 1．若(X，Y)是离散型随机向量，则 X，Y 相互独立的充要条件是对于(X，Y)的
所有可能取值 ( xi , yj ) 都有
P{X = xi ,Y = yj} = P{x = xi}⋅ P{Y = yj}
独立。
3．若 X1,L Xn 相互独立， Y1 = g1 ( X1,L Xm ) ,Y2 = g2 ( Xm+1,L, Xn ) ，则 Y1 与 Y2 相互
独立，其中 g1 是 m 元连续函数， g2 是 n − m 元连续函数。
即 ( X1,L, Xn ) 的联合分布函数等于各随机变量分布函数的乘积
F ( x1,L xn ) = FX1 ( x1 )L FXn ( xn ) ，
则称 X1,L Xn 是相互独立的。
易知，若 n (n ≥ 3) 个随机变量 X1,L Xn 相互独立，则其中任意 k (2 ≤ k ≤ n −1) 个也
0
≤ x ≤1； 其它
fY
(
y)
=
⎨⎪1− y, ⎪⎩ 0,
−1≤ y ≤ 0 0< y ≤1
其它
① 因此当 −1 < y ≤ 0 时，
fX Y
(x
y) =
f ( x, y) fY ( y)
=
f ( x, y)
1+ y
⎧⎪⎨1+1 y , − y ≤ x ≤ 1
⎪⎩ 0,
其它
当0 <
y < 1 时，
0,
−R ≤ y ≤ R
其它
当 −R < x < R 时， fX ( x) > 0 ，于是有
⎧1
( ) fY X
yx
=
f ( x, y) f ( x, y)
fX ( x)
= 2
R2 − x2
⎪
=
⎪ ⎨
2
⎪
π R2 R2 − x2 π R2
,
π R2
⎪⎩ 0,
−R ≤ y ≤ R
其它
=
⎧⎪ ⎨
2
1, R2 + x2
ε →0
(3) (4)
2．定理 设 ( X , y) 是二维连续型随机向量，其联合概率密度 f ( x, y) 和边缘概率
密度 fY ( y) 连续且 fY ( y) > 0 ，则有
FX Y
(x
) ∫x
y= −∞
f (u, y) fY ( y) du
(5)
若记 fX Y ( x y) 为在条件Y = y 下 X 的条件概率密度，则由上式知
( ) 例 1 设(X，Y)服从二维正态分布， ( X ,Y )
N
µ1
,
µ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ
即
f ( x, y) =
1
−1
e ( ) 2 1−ρ2
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
x
− µ1 σ12
)2
+
(
y
− µ2
σ
2 2
)2
−
2
ρ
(
x
−µ1)( y
σ1σ 2
−
µ2
)
⎤ ⎥ ⎥⎦
2πσ1σ2 1− ρ2
其中 µ1, µ1,σ1,σ2 , ρ 为常数，且σ1 > 0,σ2 > 0, ρ < 1。
( fX Y x
y) =
f(
fY
x, y) ( y)
=
f
( x, y
1− y
)
=
⎪⎨⎧1−1 y ⎪⎩ 0,
,
y ≤ x ≤1 其它
②
当0 <
x ≤ 1时，
fY X
(y
x) =
f
( x, y)
2x
=
⎧⎪ ⎨
1 2x
,
⎪⎩ 0,
−x ≤ y ≤ x
其它
例 3 设二维随机变量(X，Y)在圆域 x2 + y2 ≤ R2 上服从均匀分布，求边缘概率密
− R2 − x2
1 R2
dy,
− R2 − x2
⎪ ⎪
0
⎪⎩
−R ≤ x ≤ R 其它
=
⎧ ⎪ ⎨
2
R2 − x2 π R2
,
⎪⎩ 0
−R ≤ x ≤ R
其它
y = R2 − x2
y = − R2 − x2
同理可得
∫ fY ( y) =
∞
f
(
x,
y
)
dx
=
⎧ ⎪ ⎨
2
−∞
⎪⎩
R2 − y2 π R2 ,
=
∂y
dFY ( y)
dy
∫ ∫ 因 F ( x, y) = y x f (u, v) dudv ， 从而 −∞ −∞
∂F
( x,
∂y
y)
=
x
∫−∞
f
(u,
y) du
（6）
所以 FX Y
(x
y) =
x
∫−∞
f (u, y) du fY ( y)
x
∫= −∞
f (u, y) fY ( y) du
（7）
{ } P
X = xi Y = yj
=
P{X = xi ,Y = yj} P{Y = yj}
=
pij pj
(i = 1, 2,L)
（1）
为在Y = yj 条件下，随机变量 X 的条件分布律。
同样可定义
{ } P Y = yj X = xi
=
P{X = xi ,Y = yj} P{X = xi}
=
pij pi
{ } P
X =mY =n
=
p2 (1− )p n−2 (n −1) p2 (1− )p n−2
=
n
1 −1
,
m = 1, 2,L, n −1.
(n = 2,3,L)
{ } P
Y =n X =m
=
p2 (1− )p n−2 (n −1) p2 (1− )p m−1
=
p (1−
)p , n−m−1
n = m +1, m + 2,L,
g ( X1,L, Xm ) 和 h (Y1,LYn ) 也相互独立，其中 g 是 m 元连续函数，h 是 n 元连续
函数。
概率论与数理统计—学习笔记七
2．若 ( X1,L, Xm ) 和 (Y1,LYn ) 相互独立，则 Xi (i = 1,L, m) 与Yj ( j = 1,L, n) 也相互
若用 fX Y ( x y) 或 fX Y ( x Y = y) 表示在Y = y 的条件下， X 的条件概率密度，它与
条件分布函数 FX Y ( x y ) 应有如下关系：
概率论与数理统计—学习笔记七
( ) ∫x
FX Y x y = −∞ fx y (u y)du
(8)
与(7)式对比,可知
fx y(x
( fX x
y) =
f ( x, y) fy ( y)
事实上，由定义 2 可知
FX
Y
(x
y)
=
lim
ε →0
F ( x, FY (
y y
+ε +ε
) )
− −
F ( x, FY ( y
y−ε
−ε)
)
∂F ( x, y)
= lim ε →0
⎡⎣F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε )⎤⎦ / 2ε ⎡⎣FY ( y + ε ) − FY ( y − ε )⎤⎦ / 2ε
即
1
−1
e ( ) 2 1−ρ2
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
x − µ1 σ12
)2
+
(
y
− µ2
σ
2 2
)2
−
2
ρ
(
x
−
µ1 )( y−
σ1σ 2
µ2
)
⎤ ⎥ ⎥⎦
2πσ1σ2 1− ρ2
=
1
−( x−µ1 )2
e 2σ12 ⋅
1
−( y−µ1 )2
e 2σ22 对一切实数 x, y 成立。
2π σ1
2π σ2
相互独立，特别地，其中任何两个都相互独立，但反过来，由两两独立，并不能 推出 X1,L Xn 也相互独立。 三．随机向量独立性定义
设有两随机向量 ( X1,L, Xm ) 和 (Y1,LYn ) ，若对任意实数 x1,L xm 和 y1,L yn 都有
F ( x1,L xm , y1,L yn ) = F1 ( xm ,L, xn ) ⋅ F2 ( y1,L, yn )
y+
ε}
ε
}
存在，则称其为在Y = y 条件下 X 的条件分布函数，记为
FX Y ( x y) = P{X ≤ x Y = y} = lim P{X ≤ x y − ε < Y ≤ y + ε}
ε →0
同样，可定义在 X = x 条件下Y 的条件分布函数为
FY X ( y x) = P{Y ≤ y X = x} = lim P{Y ≤ y x − ε < X ≤ x + ε}
y) =
f (x, y) fY ( y)
因此，对固定的 y ，若 fY ( y) > 0 ，则在 Y = y 的条件下， X 的条件概率密度为
fX Y
(x
y) =
f
(
fY
x, y) ( y)
.
同理可得，对固定的 x ，若 f ( x) > 0 ，则 X = x 的条件下，Y 的条件概率密度为
fY X
⎡ ⎢
(
x−
µ1
)2
+
(
y
−
µ2
)2
⎤ ⎥
( ) f
x, y
=
1 2πσ1σ 2
e
2 ⎢⎣
σ12
σ
2 2
⎥⎦
=
1
e ⋅ −
(
x − µ1 2σ12
)2
1
e−
(
y − µ2
2σ
2 2
)2
2π σ1
2π σ2
= fX ( x) ⋅ fY ( y)
故 X，Y 独立。
概率论与数理统计—学习笔记七
必要性：已知 X，Y 独立，则有 f ( x, y) = fX ( x) ⋅ fY ( y)
(y
x) =
f ( x, y) fX (x)
（9）
例 2 见上节例 2，设 ( X ,Y ) f ( x, y) ：
f
(
x,
y
)
=
⎧⎪1 ⎨
⎪⎩0
y ≤ x,0 ≤ x ≤ 1
其它
求条件概率密度 fX Y ( x y) 和 fY X ( y x) 。
⎧1+ y,
解
已求得
fX
(
x)
=
⎧2x, ⎨⎩0,
P{X = m,Y = n} = p2 (1− )p n−2 , m = 1, 2,L, n = m +1, m + 2,L
边
缘
分
布
律
为
：
P{x = m} = p(1− p)m−1, m = 1, 2L.P{ y = n} = (n −1) p2 (1− p)n−2, n = 2,3,L.