高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练6新人教A版

推荐学习K12资料
名校专题----圆锥曲线培优训练 6
1.如图，已知椭圆
1
2:
2
2
y
x C 的左、右焦点分别为
21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆
M 是
以2PF 为直径的圆．
⑴当圆M 的面积为8，求PA 所在的直线方程；⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程；
⑶求证：圆M 总与某个定圆相切．解
⑴易得0,11
F ，0,12F ，1,02A ，设11,y x P ，
则
2
12
1
2
121
2
12
22
2
12
1
11x x x y x PF ，
∴
2
22
22
112x x PF ， (2)
又圆M 的面积为8，∴2
12
88
x ，解得11x ，∴
2
2,
1P 或
2
2,
1，
∴PA 所在的直线方程为
1
2
21
x y
或
1
2
21x y ；…………………………
4
⑵∵直线1AF 的方程为01y
x ，且2,
2111y x M 到直线1AF 的距离为
111
4
22
2
2
1
2
2
1x y x ，
化简得1211
x y ， (6)
联立方程组
1
2
122
1
2
1
11y x x y ，解得01
x 或
981
x ．
…………………………
8
当
01
x 时，可得21,
2
1M
，∴圆M 的方程为
21
21212
2
y
x
； (9)
当
98
1
x 时，可得
187
,181
M
，∴圆M 的方程为
16216918
7
18
12
2
y
x ； (10)
⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21
r （长半轴）的圆（记作圆
O ）相切．
O
A
P
1
F M
2
F x
y
．
推荐学习K12资料
证明：∵
1
2
1
2
12
1
2
14
22
28
4
14
144
1x x x y x OM
， (14)
又圆M 的半径
1
224
22
2x MF r ，∴21
r r OM
，
∴圆M 总与圆O 内切．
…………………………………………
16
2.已知直线(14)(23)(312)0()k x
k y k k
R 所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆
C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆2
2
:1O x
y
,直线:1l mx
ny
.
试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围
.
【解析】：(1)由(14)(23)(312)0()k x
k y k k
R ,得(23)(4312)0x y k x y ,
则由
230
43120x y x y ,解得F(3,0),
设椭圆C 的方程为222
2
1(0)
x
y a
b
a
b
,则
2
2
2
38c
a
c a
b
c
,解
得
543
a b
c
,
所以椭圆
C 的方程为2
2
125
16
x
y
(2)
因为点(,)P m n 在椭圆
C 上运动,所以
2
2
2
2
1
2516
m
n
m
n
, 从而圆心
O 到直线:1
l mx ny
的距离
2
2
11d
r
m
n
.所以直线
l 与圆O 恒相交
又直线
l 被圆O 截得的弦长为
2
2
2
2
1221
L r
d m
n
2
121
916
25
m 由于2
25m
,所以
2
916
1625
25
m
,则
1546[,]25L
,
即直线
l 被圆O 截得的弦长的取值范围是
1546
[,]25
L
3、已知曲线
2
2
:1
y
C x
a
，直线:0l kx
y k
，O 为坐标原点．。