高考数学一轮总复习课后习题 第二章 一元二次函数、方程和不等式 课时规范练4 基本不等式

课时规范练4 基本不等式
基础巩固组
1.(多选)下列不等式一定成立的有( )
A.x+1
x
≥2
B.2x(1-x)≤1
4
C.x2+3
x2+1
≥2√3-1
D.√x+
√x
≥2
2.(河北邯郸一模)已知a>0,b>0,且a+b=2,则2
a+1+8
b+1
的最小值是( )
A.2
B.4
C.9
2
D.9
3.若a<1,则a+1
a-1
的最大值是( )
A.3
B.a
C.-1
D.2√a
a-1
4.设正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是( )
A.√ab有最大值1
2
B.1
a+2b +1
2a+b
有最小值3
C.a2+b2有最小值1
2
D.√a+√b有最大值√2
5.(山东菏泽一模)设实数x,y满足x+y=1,y>0,x≠0,则1
|x|+2|x|
y
的最小值
为( )
A.2√2-1
B.2√2+1
C.√2-1
D.√2+1
6.(多选)(山东烟台三模)已知a>0,b>0且4a+b=2,则( )
A.ab的最大值为1
2
B.2√a+√b的最大值为2
C.2
a +a
b
的最小值为6
D.4a+2b的最小值为4
7.当2+1恒成立,则实数m的取值范围是.
8.如果a>b>0,那么a 4+1
b(a-b)
的最小值是.
综合提升组
9.若圆x2+y2-4x+2y+1=0截直线ax-2by-2=0(a>0,b>0)所得的弦长为4,则
1 a +1
b
的最小值是( )
A.9
B.4
C.1
2D.1
4
10.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当AC
AB
取得最小值时,BD= .
创新应用组
11.(多选)(浙江宁波一模)已知正实数a,b满足a2+b2-(a+b)+ab=1,则( )
A.a+b的最大值为2
B.a+b的最小值为1+√5
2
C.a2+b2的最小值为2
D.a2+b2的最大值为3
课时规范练4 基本不等式
1.CD
解析对于A,当x<0时,x+1x
<0,故A 错误;对于B,2x(1-x)=-2x 2+2x=-2x-12
2
+12
≤1
2,故B 错误;对于
C,x 2+3x 2+1
=x 2+1+
3
x 2+1
-1≥2√(x 2+1)·
3
x 2+1
-1=2√3-1,当且仅当x 2
=√3-1时,等号成立,故C 正确;对于D,√x +1√
x
≥2√√x ·1√x
=2,当且仅当x=1时,
等号成立,故D 正确.故选CD. 2.C
解析依题意,因为a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4,则
2
a+1
+
8b+1=
14
[(a+1)+(b+1)]
2a+1+
8b+1
=
14
2(b+1)a+1
+
8(a+1)b+1
+10≥14
×(2×4+10)=92
,
当且仅当a=13
,b=53
时,等号成立.故选C. 3.C
解析因为a<1,所以a-1<0,因此a+1a -1
=a-1+
1
a -1
+1≤-2√(1-a )·
1
1-a
+1=-1,
当且仅当1-a=11-a
,即a=0时,等号成立,故a+
1
a -1
(a<1)的最大值是-1,故选
C. 4.B
解析对于A,由基本不等式可得√ab ≤
a+b 2
=12
,当且仅当a=b=1
2
时,等号成
立,故A 正确;对于B,由基本不等式可得
1
a+2b
+
12a+b
=1
3
[(a+2b)+(2a+b)]
1a+2b
+
12a+b
=
13
2+
2a+b a+2b
+
a+2b 2a+b
≥
13
2+2√
2a+b a+2b
·
a+2b 2a+b
=43
,当且仅当a=b=
12
时,等号成立,故B 错误;对于C,因为1=(a+b)2=a 2+b 2+2ab≤2(a 2+b 2),所以a 2+b 2≥12
,当且仅当a=b=1
2
时,等号成立,故C 正确;对于D,(√a +
√b )2
=a+b+2√ab ≤2(a+b)=2,则√a +√b ≤√2,当且仅当a=b=1
2时,等号成
立,故D 正确.故选B. 5.A 解析当x>0时,1|x |
+
2|x |y
=
x+y x
+
2x y
=y x
+
2x
y +1≥2√y x ·2x
y
+1=2√2+1,当且仅当y
x =
2x y
,即x=√2-1,y=2-√2时,等号成立,此时有最小值2√2+1;当x<0时,
1
|x |+
2|x |y
=
x+y -x
+
-2x y
=
y -x
+
-2x y
-1≥2√y -x
·
-2x y
-1=2√2-1,当且仅当
y -x
=
-2x
y
,即x=-1-√2,y=2+√2时,等号成立,此时有最小值2√2-1.∴
1|x |
+
2|x |y
的最小值为2√2-1.故选A.
6.BC
解析对于A,∵2=4a+b≥2√4ab =4√ab ,∴ab≤1
4
,当且仅当a=1
4
,b=1时,等号
成立,故A 错误;对于B,∵4a+b≥4√ab ,∴8a+2b≥4√ab +4a+b=(2√a +√b )2,即(2√a +√b )2≤4,2√a +√b ≤2,当且仅当a=1
4,b=1时,等号成立,故B 正
确;对于C,由4a+b=2得a=12
−b 4
,∴2a
+a b
=2a
+
12b −14
,∵2a
+
12b
=
12
2a +12b
(4a+b)=
12
172
+
2b a
+
2a b
≥
12
17
2+2√4=25
4,∴2
a +a
b =2
a +1
2b −1
4
≥
254
−
14
=6,当且仅当a=b=25
时,等号成立,故C 正确;对于D,令a=13
,b=2
3
,则
4a
+2b
=413+223=2×413
<4,∴4a +2b 的最小值不是4,故D 错误.故选BC. 7.(-√5,√5) 解析因为x>1,所以
x 2+3x -1
=
(x -1)2
+2(x -1)+4
x -1
=(x-1)+
4
x -1
+2≥2√4+2=6,当且仅
当2+1<6,解得-√5<m<√5. 8.8
解析因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤b+a -b 22
=a 2
4
,当且仅当b=a-b,
即a=2b 时,等号成立.所以a 4+1b (a -b )
≥
4(a 4+1)a 2
=4a 2+1a 2
≥8,当且仅当a=1,b=
12
时,等号成立.故a 4+1b (a -b )
的最小值是8.
9.B
解析圆x 2+y 2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.由圆的半径等于截得的弦长的一半,知直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.又a>0,b>0,所以1
a
+1
b
=
1a
+
1b
(a+b)=2+b
a
+
a
b
≥2+2√b a
·a
b
=4,当且仅当a=b=12
时,等号成立,故1a
+1
b
的最小值是4,故选
B. 10.√3-1
解析令BD=t,则t>0.如图,以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则C(2t,0),A(1,√3),B(-t,0),
AC 2AB 2
=
(2t -1)2
+3(t+1)2
+3
=4-
12
t+1+
3t+1
≥4-2√3,当且仅当t+1=√3,即BD=√3-1时,等号成立.
此时,AC
AB
=√3-1.
11.AC
解析由题意1<(a+b)2-(a+b)=1+ab≤1+
a+b 2
2
,由a+b>0,解得
1+√5
2
<a+b≤2,当且仅当a=b=1时,a+b 取最大值2,则A 正确,B 错误;∵a 2
+b 2
-(a+b)+ab=a 2
+b 2
-(a+b)+(a+b )2
-(a 2+b 2)
2
=1,∴a 2+b 2=-(a+b)2+2(a+b)+2,
令t=a+b,则t ∈
1+√52
,2,∵y=-t 2+2t+2在
1+√52
,2上单调递减,∴
a 2+
b 2=-(a+b)2+2(a+b)+2∈2,3+√52
,C 正确,D 错误.故选AC.。