【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第一章常用逻辑用语 1.4 含解析

1.4全称量词与存在量词
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列命题不是全称命题的是()
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.每一个向量都有大小
C.自然数都是正整数
D.一定存在没有最大值的二次函数
A中“任何一个”、选项B中“每一个”均是全称量词,选项C中暗含全称量词“所有的”,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题.
2下列命题中的假命题
．．．是()
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lg x<1
D.∃x∈R,tan x=2
3命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1
4命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()
A.所有实数的平方都不是正数
B.有的实数的平方是正数
C.至少有一个实数的平方是正数
D.至少有一个实数的平方不是正数
“所有实数的平方都是正数”为全称命题,则其否定为特称命题.
5下列全称命题中,假命题的个数是()
①2x+1是整数(x ∈R );
②对所有的x ∈R ,x>3;
③对任意一个x ∈Z ,2x 2+1为奇数.
A.0
B.1
C.2
D.3
①,当x=14时,2x+1=32不是整数;对于②,当x=0时,0<3;对于③,当x ∈Z 时,2x 2是偶数,进而
2x 2+1是奇数,故选C .
6命题“∃x 0∈R ,x 02-x 0+1=0”的否定是 .
x ∈R ,x 2-x+1≠0
7命题“∃x 0∈(1,2),满足不等式x 02+mx 0+4≥0”是假命题,则m 的取值范围为 .
-∞,-5]
8下列语句是真命题的是 .(填序号)
①所有的实数x 都能使x 2-3x+6>0成立;②存在一个实数x 0,使不等式x 02-3x 0+6<0成立;③存在一个实
数x 0,使x 02-3x 0+6=0.
9对任意实数x ,不等式2x>m (x 2+1)恒成立,求实数m 的取值范围.
x>m (x 2+1)恒成立也就是对∀x ∈R ,mx 2-2x+m<0恒成立,考虑m 是否为零.若为零,则原式化为-2x<0,显然不恒成立;若m ≠0,则m<0,且Δ<0.
2x>m (x 2+1)对任意x 都成立,即不等式mx 2-2x+m<0恒成立.
(1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.
(2)当m ≠0时,要使mx 2-2x+m<0恒成立,
则{m <0,(-2)2-4m 2<0,
解得m<-1. 综上可知,所求实数m 的取值范围为(-∞,-1).
10已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R ,x 02+2ax 0+2-a=0”,若命题“p ∧q ”是真命题,求实
数a 的取值范围.
p ∧q 是真命题,知p 为真命题,q 也为真命题.
若p 为真命题,则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立.所以a ≤1.
若q 为真命题,则关于x 的方程x 2+2ax+2-a=0有实根,
所以Δ=4a 2-4(2-a )≥0,即a ≥1或a ≤-2.
综上可知,实数a 的取值范围为{a|a ≤-2或a=1}.
能力提升
1下列命题:①至少有一个x ,使x 2+2x+1=0;②对任意的x ,都有x 2+2x+1=0成立;③对任意的x ,都有x 2+2x+1=0不成立;④存在x ,使x 2+2x+1=0成立.其中全称命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
中有存在量词“至少有一个”和“存在”,所以①④为特称命题;而②③中都有全称量词“任意
的”,故为全称命题.
2已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则 p 是( )
A.∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0
B.∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0
C.∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0
D.∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0
p 为全称命题,则其否定 p 应是特称命题,而(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0的否定为(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0,故选C .
3已知命题p :∃x ∈R ,使sin x=√52;命题q :∀x ∈R ,都有x 2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧( q )”是假命题;③命题“( p )∨q ”是真命题;④命题“( p )∨( q )”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③
B.②④
C.③④
D.①②③
对∀x ,sin x ≤1,∴p 为假命题.
∵二次函数f (x )=x 2+x+1=(x +12)2+34>0,
∴q 为真命题.
∵p 假q 真,∴ p 真, q 假.
∴p ∧( q )为假,( p )∨q 为真,故选A.
4已知下列四个命题:
p 1:∃x 0∈(0,+∞),(12)x 0<(13)x 0
; p 2:∃x 0∈(0,1),lo g 12x 0>lo g 13
x 0;
p 3:∀x ∈(0,+∞),(12)x
>lo g 12x ;
p 4:∀x ∈(0,13),(12)x <lo g 13
x.
其中的真命题是( )
A.p 1,p 3
B.p 1,p 4
C.p 2,p 3
D.p 2,p 4
x ∈(0,+∞)时,(12)x >(13)x ,故p 1为假命题; 取x 0=12
,则lo g 12x 0=1,lo g 13x 0=log 32<1,故p 2为真命题; 取x 0=18,则0<(12)x 0<1,lo g 12x 0=lo g 1218=3,即(12)x 0<lo g 12x 0,故p 3为假命题; 当x ∈(0,13)时,(12)x <1,而lo g 13
x>1,故p 4为真命题.
5关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:
①若a ·b=a ·c ,则b=c ;
②若a =(1,k ),b =(-2,6),a ∥b ,则k=-3;
③非零向量a 和b 满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为60°.
其中真命题的序号为 .
中∵a ·b=a ·c ,
∴a ·(b-c )=0,
∴a ⊥(b-c ),而b 与c 不一定相等,故错误;
②中,∵a ∥b ,∴-2k=6,∴k=-3,故正确;
③中根据向量加法的平行四边形法则,可知a 与a+b 的夹角为30°,故为假命题.
6当命题(1)∀x ∈R ,sin x+cos x>m ,(2)∃x 0∈R ,sin x 0+cos x 0>m 分别为真命题时,m 的取值范围分别是(1) ,(2) .
-∞,-√2) (2)(-∞,√2)
7若对∀x ∈R ,ax 2+2x+1>0恒成立,求实数a 的取值范围.
,对∀x ∈R ,ax 2+2x+1>0恒成立.先考虑a=0的情况,再考虑a ≠0的情况,可结合二次函数的图象解:决此类问题.
,∀x ∈R ,ax 2+2x+1>0恒成立.
(1)当a=0时,ax 2+2x+1=2x+1>0,显然不恒成立,不合题意.
(2)当a ≠0时,要使ax 2+2x+1>0恒成立,
则{a >0,4-4a <0,
解得a>1. 综上可知,所求实数a 的取值范围是(1,+∞).
★8函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x+y )-f (y )=(x+2y+1)x 成立,且f (1)=0.
(1)求f (0)的值;
(2)当f (x )+2<log a x ,x ∈(0,12)恒成立时,求a 的取值范围.
由f (x+y )-f (y )=(x+2y+1)·x 对任意x ,y 都成立,令x=1,y=0,得f (1)-f (0)=2. ∵f (1)=0,∴f (0)=-2.
(2)由(1)知f (0)=-2,则f (x )+2=f (x )-f (0)=f (x+0)-f (0)=(x+1)·x.
∵x ∈(0,12),
∴f (x )+2∈(0,34).
要使当x ∈(0,12
)时,f (x )+2<log a x 恒成立,显然当a>1时不可能, 则{0<a <1,log a 12≥34,
解得√434≤a<1, 即a 的取值范围是{a |
√434≤a <1}.。