柳林县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

柳林县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1，
=
﹣
（2x n +1
）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（ ）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
4． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
5． 设函数
y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π
， B ．T=π，A=2
C ．T=2π
，
D ．T=2π，A=2
6． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）
A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
7． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1
D ．﹣1
8． 已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．45°
D ．以上都不正确
9． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
10．过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
11．过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
﹣
=1
B ．
﹣
=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1
12．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
二、填空题
13．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则
= ．
14．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
15．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
16．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数； ③在x=2时，f （x ）取得极大值； ④在x=3时，f （x ）取得极小值． 其中正确的是 ．
17．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2
，则该数列的前16项和为 ．
18．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
三、解答题
19．已知数列{a n }共有2k （k ≥2，k ∈Z ）项，a 1=1，前n 项和为S n ，前n 项乘积为T n ，且a n+1=（a ﹣1）S n +2（n=1，
2，…，2k ﹣1），其中a=2，数列{b n }满足b n =log 2
，
（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）若|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|≤，求k 的值．
20．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC . （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
215
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
22．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，
0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
23．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．
24．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短
半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，
S与Q不重合），且满足•=0，求||的取值范围．
柳林县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=1
4
，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=1
4
时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

2． 【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 3． 【答案】 D
【解析】解：由=﹣（2x n +1），
得+（2x n +1）
=，
设
，
以线段P n A 、P n D 作出图形如图，
则，
∴
，∴
，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n +1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x 5+1=2•24
=32，
则x 5=31． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
4． 【答案】D
【解析】由定积分知识可得
，故选D 。

5． 【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（
）
=2（sin2xcos +cos2xsin
）=2sin （2x+
），
∴T=
=π，A=2
故选：B
6． 【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2
，
∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2
，+∞）
故选B ．
7． 【答案】D
【解析】解：由zi=1+i ，得，
∴z 的虚部为﹣1． 故选：D ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
8． 【答案】B
【解析】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，
∴∠AEA1=90°，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
∴A1D1⊥AE，
∴AE⊥平面A1ED1，
故选B
【点评】本题考查线面角的求法，根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角，还有两个特殊角，而立体几何中求角的方法有两种，几何法和向量法，几何法的思路是：作、证、指、求，向量法则是建立适当的坐标系，选取合适的向量，求两个向量的夹角．
D
9．【答案】
第Ⅱ卷（共90分）
10．【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
11．【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y 2
=λ，
把（2，﹣2）代入方程
﹣y 2
=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A ．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
12．【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
14．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t）·（－1）
＝4－t＝2，∴t＝2.
答案：2
15．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．16．【答案】③．
【解析】解：由y=f'（x）的图象可知，
x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f（x）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
17．【答案】546．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=+
=36+29﹣2
=546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，
∴cos（a1+a2+a6）=cos=．
故答案是：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则
；
当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，
所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故
=a ，即数列{a n }是等比数列，
，
∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a
1+2+…+（n ﹣1）
=，
b n ==
．…
（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *
，故当n ≤k 时，
，
当n ≥k+1时，
．…
|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|
=
+（）+…+（）…
=（k+1+…+b 2k ）﹣（b 1+…+b k ）
=[+k]﹣[]
=，
由
，得2k 2
﹣6k+3≤0，解得，…
又k ≥2，且k ∈N *
，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
20．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．
∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
22．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，．
∴该椭圆的标准方程为．
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．
联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则．
令f′（k）=0，解得．列表如下：
又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．
而当x→+∞时，f（x）→0，→1．
综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
23．【答案】
【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，
代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2
化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…
由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…
（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），
∴直线l的参数的标准方程可写成…
代入圆C得：
化简得：，
∴，∴t1＜0，t2＜0…
∴…
24．【答案】
【解析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2
+y2=b2相切，∴=b，解得b=．
联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．
易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），
∴=（，y1），=，
由•=0，得，
∵y1≠y2，∴，
∴=64，当且仅当，即y1=±4时等号成立．
又||===，
当=64，即y
=±8时，||min=8，
2
故||的取值范围是[8，+∞）．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。