2020年高中物理竞赛-热学A(联赛版)04热力学第一定律：循环过程和卡诺循环(共19张PPT)

l 1
dU al*dEl Eldal*
l 1
l 1
在准静态微元过程中，系统的内能通过两种途径变化：（1）统计
分布不变，子系统能量变化；（2）子系统能量不变，统计分布改
变。
能量变化需要外部变化。dE
El y
dy
Hale Waihona Puke dW lal*El y
dy
l
El y
al* dy
Y dy
计算广义力：
Y
N
V
ln(V (2m / )3/2
N
V
NkBT V
p
dW pdV
热相互作用改变统计分布。表现为热传递过程
利用配分函数
U E N ln Z
dQ
dU
dW
Nd
ln
Z
N
l
y ln Zdy
N
d ln
Z
ln
Z
熵函数的微观定义：
S kB ln PN ({al*}) kB ln(W~)*,
其中：
~ * k ~lal* , ~l l / l 1
(W~ )*
N!
k
k ~lal*
al*! l1
l 1
ln(W~ )* N ln N k al* ln al* k al*~l
l 1
l 1
k
k
k
N ln N al*( El ) al*l al*l N ln
x
y
推导熵函数
dQ dU pdV U dT U dV pdV
热力学第一定律：
T V V T
U T
V
dT
U V
T
pdV
乘以积分因子， 代入充要条件：
V
U T
V
T
U V
T
p
只找一个特解：令 (T )
2U VT
U V
T
p
d
dT
2U TV
Y
l
El y
al*
l
El y
e El l
N Z
l
El y
eEl l ,
e N
Z
因为： ln Z Z ln Z 1 Z 1
y
y Z
Z y Z y
eEl l
l
1
Z
El y
El
eEl l
Z
l
El y
eEl l
Y
N Z
l
El y
eEl l
N
y
ln
Z
理想气体：Z V (2m / )3/2 考虑位移为 y V
第一定律： U Q W Q W 0
正循环：W’ > 0, 系统对外界作功 逆循环：Q < 0, 系统向外界放热
热机 制冷机
循环过程的效率 正循环过程的效率——热机的效率
工质 吸收热量Q1
高温热源 T1
对外作功 W’ 活塞
工质泵
放出热量Q2
低温热源 T2 工质
A:高温热源, B:锅炉, C: 泵 D-- 气缸, E-- 低温热源
p T
利用热能公式，得 T p d p 0 d dT 0
T V dT T V
T
1,
T
dS dQ T
注意：热能公式需要卡诺定理；卡诺定理是 热力学第二定律的基础。
（四）热力学第一定律的微观图像
K
讨论由 N 个分子组成的理想气体。平衡态的气体内能：U El al*
K
K
l 1
l 1
l 1
N ln N N E N ln
利用配分函数 ln(Z / N ), N ln Z
代入，得：
S
/
kB
ln(W~ )*
N
ln
Z
N
ln
Z
N
ln
或
S S0 ln Z ln Z,
NkB
S0 NkB ln
dQ
N
d ln
Z
ln
Z
N
d
S S0 NkB
TdS
P
p
(p)V
A B
小，ABCD可看成是平行四边形。
系统对外做功： A S ABCD (P)V (V )T
D C
系统从外吸热： Q S ABGH (U )T B 点的压强： p (p)T , S ABGH (V
)T
(
p
(p)T
/
2)
H(V )GT
V
代入上式： Q (V )T ( p (p)T / 2) (U )T
数学表示： f (x, y)dx g(x, y)dy 0 非全微分方程
(x, y) f (x, y)dx (x, y)g(x, y)dy d(F(x, y)) 0
充要条件： 2F 2F , xy yx
即：
(g) (f )
x
y
因为： F (x, y) f (x, y), F (x, y)g(x, y)
卡诺循环的效率
正卡诺循环
吸热：Q1
QAB
RT1
ln
VB VA
,
放热： Q2 '
QCD
RT2
ln
VC VD
,
效率：
W'
Q1 Q2'
T1
ln
VA VB
T2
ln
VC VD
Q1
Q1
T1
ln
VA VB
对BC 和 DA 两绝热过程，由绝热过程方程得
VC 1 VB 1
TB TC
T1 , T2
VD 1 VA 1
根据卡诺定理：任意可逆机效率与卡诺机相等（下章内容）
A / Q1 T / T A Q1T / T
代入： (p)V (V )T [(V )T ( p (p)T / 2 (U )T ]T / T
两边同除 (V )T (T )，去掉高阶小量：T (p / T )V p (U / V )T
r 效率：记压缩比 V1 V2
定压膨胀比
V3 V2
则
1
1 r 1
(
1 1)
四冲程压缩点火式内燃机的工作循环
（三）熵函数
对于理想气体，吸收热量 dQ 与
温度 T 之比的积分恒等于0，即
dQ 0 T
证明：由第一定律知，对一循环中的一个元过程 dU dQ pdV
对于理想气体， dU CV dT, p RT
热机效率: 热机在一个循环过程中吸收的热量转化为机械能的百分
比，即
W Q1Q2
Q1
Q1
逆循环过程的效率——制冷系数
工质 放出热量Q1’
高温热源 T1
工质
外界作 功W
工质泵
吸收热量Q2 低温热源 T2 工质
制冷系数: 制冷机在一个循环过程中的制冷量与外界作功之比，即
Q2
Q2
W
Q1 'Q2
（二）理想气体的卡诺循环及其效率
历史回顾：
17世纪末，巴本锅、蒸汽泵 18世纪末，瓦特添加了冷凝器、活塞阀、飞轮，完善了蒸汽机。
其后，人们致力于扩大热机的容量，但效率很低。 1824年， Sadi Carnot 提出一种理想热机，并说明其效率最高。
卡诺循环与卡诺热机
由两个等温过程和两个绝热过程组 成的循环称为卡诺循环。 AB：等温膨胀，吸热； BC：绝热膨胀，对外界作功； CD：等温压缩，放热； DA：绝热压缩，外界对系统作功。
2020高中物理竞赛
热学A
第四节 循环过程和卡诺循环 （一）循环过程
如果一个系统由某个状态出发，经过任 意的一系列过程，最后又回到原来的状 态，这样的过程称为循环过程。
对可压缩两参量系统，如果其循环过程是准静态的，则可在p-V图 上标示为一条闭合曲线，如图示。 符号约定：顺时针为正，逆时针为负。
循环的性质：内能不变 U 0
V
于是有
CV dT
dQ
RT
V
dV
dQ T
CV
dT T
R dV
V
那么
dQ T
CV
dT T
R
dV V
CV const CV
dT R dV 0
T
V
这说明 dQ 是态函数， 定义： dS dQ 熵函数的宏观定义
T
T
此结论对任意工作物质都成立。 论证需要热力学第二定律
熵函数引进的数学推论 微分方程理论：任何一个以双独立变量和他们的微商表示的全微分， 总存在一个积分因子，乘以此积分因子后，方程变为全微分。
TA TD
T1 , T2
那么， VC VB
VD VA
,
所以 T1 T2 1 T2
T1
T1
逆卡诺循环的制冷系数
Q2 Q2 T2
W Q1 Q2 T1 T2
应用：内能方程的推导
考虑一个微小的卡诺正循环：AB, T 的等温线； CD, T+T的等温线；BC, DA绝热线。循环足够
宏观上，
TdS dU pdV
等体过程 dV 0 是热量改变粒子分布的过程；
绝热过程 dQ 0 是粒子统计分布不变的过程；
等温过程（理想气体）dU 0 是粒子统计分布改变
引起系统对外做功的过程。
T 0 U T p p V T T V
内能方程。将一般物质的内能与物质 的状态联系起来。
内燃机的循环
奥托循环（定体加热循环）
由两个绝热过程和两个等体过程
组成。
r 效率：记压缩比为： V1
则
V2
1
1 r 1
应用：四冲程火花点燃式内燃机的工 作循环
狄塞尔循环（定压加热循环）
由两个绝热过程、一个等压过程 和一个等体过程组成。