高考数学 9-5 椭圆配套课时作业 文

【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-5 椭圆配套课时作业
文 新人教A 版
一、选择题
1．(2012年东北四校高三模拟)已知方程x 2
2－k ＋y 22k －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则
实数k 的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)
C ．(1,2)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2k －1>2－k ，2－k >0，
解得1<k <2，故选C.
答案：C
2．(2012年甘肃兰州高三诊断)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 212＋y 2
16＝1上，顶点A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是
A ．2 3
B ．4 3
C ．8
D ．16
解析：由椭圆定义可知，△ABC 的周长等于4a ＝4×4＝16. 答案：D
3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为
( )
A ．1 B. 2 C ．2
D ．2 2
解析：设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭
圆短轴端点，
∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2
＋c 2
2＝a 2
2
.
∴a 2
≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D
4．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c ，3b (其中c 为
椭圆的半焦距)，若线段PF 1的中垂线恰好过点F 2，则椭圆离心率的值为
A.33
B.13
C.12
D.22
解析：由题意，|PF 2|＝|F 1F 2|，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2
c 2＋(3b )2＝(2c )2
.
又b 2
＝a 2
－c 2
，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫c －a 2
c 2＋3(a 2－c 2)＝(2c )2
.
整理得6e 4－e 2
－1＝0，
∴(2e 2
－1)(3e 2
＋1)＝0.∴2e 2
－1＝0，e ＝22
. 答案：D
5．已知圆(x ＋2)2
＋y 2
＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．
答案：B
6．(2013年西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆
上的任意一点，则OP →·FP →
的最大值为
( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，
则y 2
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
04(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 2
0＋x 0＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
04＝
14
(x 0＋2)2
＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →
取得最大值为6. 答案：C 二、填空题
7．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，至F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________． 解析：由椭圆定义知，当定常数等于两定点距离时点的轨迹为线段．
答案：线段F 1F 2
8．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，
则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．
解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.
答案：15
9．(2012年兰州诊断)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜
角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．
解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.
∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝c
a
＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题
10．根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和2
35，
过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3. 解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2
b
2＝1，
则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.
在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2
a
在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2
a
依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2
＝103
.
即椭圆的标准方程为
x 25＋3y 2
10
＝1或y 25＋3x 2
10
＝1.
(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2
＝1(m >0，n >0，m ≠n )，
代入A 、B 得
⎩⎪⎨⎪
⎧ 4n ＝11
4
m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝1n ＝1
4
，
∴所求椭圆方程为x 2
＋y 2
4
＝1. 11．(2012年安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭
圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝1
2
.
(2)法一：a 2
＝4c 2
，b 2
＝3c 2
， 直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2
＋4y 2
＝12c 2
， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8
5
c ，－335c .
所以|AB |＝1＋3·85c －0＝16
5
c .
由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝＝43ac 5＝235a 2
＝403，解得a
＝10，b ＝5 3.
法二：设|AB |＝t .
因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知， |BF 1|＝3a －t .
再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2
－2at cos 60°，解得t ＝85a .
由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235
a 2
＝403知，
a ＝10，
b ＝5 3.
12．(2012年湖南)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1
2的椭圆E 的一个
焦点为圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0的圆心．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为1
2的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C
相切时，求P 的坐标．
解：(1)由x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0得(x －2)2
＋y 2
＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．
从而可设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝1
2
.
所以a ＝2c ＝4，b 2
＝a 2
－c 2
＝12. 故椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12
＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，
l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝1
2
.
由l 1与圆C ：(x －2)2
＋y 2
＝2相切得 |2k 1＋y 0－k 1x 0|
k 21＋1
＝2，
即[(2－x 0)2
－2]k 2
1＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 2
0－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2
－2]k 2
2＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 2
0－2＝0. 从而k 1，k 2是方程
[(2－x 0)2
－2]k 2
＋2(2－x 0)y 0k ＋y 2
0－2＝0的两个实根，
于是⎩⎪⎨
⎪⎧
－x 02
－2≠0，
Δ＝
－x 02
＋y 2
0－2]>0，
①
且k 1k 2＝
y 20－2
－x 02
－2＝12
. 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 20
16＋y 20
12＝1，y 2
－2－x 0
2－2＝1
2
得5x 2
0－8x 0－36＝0，
解得x 0＝－2，或x 0＝185
.
由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±57
5，它们均满足①式．
故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫18
5，－575.
[热点预测]
13．(2012年安徽名校模拟)(1)方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦
点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→
＝DA →＋2DF 2→
，则该椭圆的离心率为
A.12
B.13
C.14
D.15
(2)(2013届安徽省示范高中高三摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦
点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝
F 1F 2→
，AB ⊥AF 2.
①求椭圆C 的离心率；
②D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．
解析：(1)设点D (0，b )，则DF 1→
＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1
→
＝DA →＋2DF 2→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15
.
(2)①设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→
＝(c ，－b )，AB →
＝(x 0，－b )
∵AF 2→
⊥AB →，∴cx 0＋b 2
＝0，x 0＝－b 2c
，
由BF 1→＝F 1F 2→
知F 1为BF 2中点，故－b 2
c
＋c ＝－2c
∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2
，故椭圆C 的离心率e ＝12
②由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2(12a,0)，B (－3
2
a,0)，
△ABF 的外接圆圆心为F 1(－1
2
a,0)，半径r ＝a ，
D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以|－1
2
a －3|2＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，
b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
答案：(1)D (2)见解析。