北师大版九年级数学上册研学案：1-3线段的垂直平分线(2)

学习目标：
1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
2、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。

3、已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形
学习重点：能够证明与线段垂直平分线相关的结论．
已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
学习难点：难点：证明三线共点是难点。

学习过程：
课前热身（复习提问）
1、等腰三角形的顶点一定在
上。

2、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。

3、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= . 4已知线段AB ，请你用尺规作出它的垂直平分线。

引入新课：（导学提问）
（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。

再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?
（3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点 证明：如图，在△AB C 中，设AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，连接AP ，BP ，CP 。

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

A B
C
结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在；
自主学习合作探究
一、思考：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？
2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
二、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
巩固练习
1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点。

2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）
A、锐角三角形；
B、直角三角形；
C、钝角三角形；
D、不能确定
3、等腰 Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是
4、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
课堂小结
2、理解三线共点的证明方法。

反馈检测
1、判断题：
⑴三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.( )
⑵线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等. ( )
⑶三角形三条边的垂直平分线必交于一点（ ）
⑷平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等（ ）
2、如左下图，点P 为△ABC 三边中垂线交点，则PA __________PB __________PC .
3、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC=50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，则∠1_______∠2，∠3____∠4，∠5____∠6，∠2+∠3=______°，∠1+∠4=______°，∠5+∠6=______°，∠B OC =___ _°
4、如图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，则AD __________DC ，点D 在__________的垂直平分线上.
5、如图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，E 是AD 上异于A ，D 的点，若BE =CE ，则△________≌△________(HL )；从而BD =DC ，则△__________≌△__________(SAS )；△ABC 是__________三角形.
6、如右上图，∠BAC =120°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，则∠AD B=__________°.
7、已知线段a ，求作以a 为底，以a 2
1为高的等腰三角形。

中考真题：已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，点F 在DE 的延长线上，且AF=CE ，试探究图中相等的线
段。