专题18 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 不等式选讲
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见解析． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．专题不等式选讲由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．【名师点睛】本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x >． 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=． 故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．主要考查考生的数学运算能力，以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用．【命题规律】主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等，分值10分． 【知识总结】 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．定理2：（基本不等式）如果a ，b>0，那么2a b+，当且仅当a=b 时，等号成立． 即两个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R +，那么3a b c ++a=b=c 时，等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．推广：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12…n a a a n+++a 1=a 2=…=a n 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：不等式a>0 a=0 a<0 |x|<a{–a<x<a} ⌀⌀|x|>a{x|x>a或x<–a} {x|x≠0且x∈R}R（2）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法：①若c>0，则|ax+b|≤c等价于–c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤–c，然后根据a，b的值解出即可；②若c<0，则|ax+b|≤c的解集为⌀，|ax+b|≥c的解集为R．（3）|x–a|+|x–b|≥c（或≤c）（c>0），|x–a|–|x–b|≤c（或≥c）（c>0）型不等式的解法：零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．几何法（利用|x–a|的几何意义）由于|x–a|+|x–b|与|x–a|–|x–b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x–a|+|x–b|≤c （c>0）或|x–a|–|x–b|≥c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键．注意：分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏；二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集．（4）|f（x）|>g（x），|f（x）|<g（x）（g（x）>0）型不等式的解法：①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；②|f（x）|<g（x）⇔–g（x）<f（x）<g（x）．3．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a–c|≤|a–b|+|b–c|，当且仅当（a–b）（b–c）≥0时，等号成立．上述定理还可以推广到以下两个不等式：（1）|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|；（2）||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．4．证明不等式的基本方法（1）比较法①作差法：要证明a>b，只需证a–b>0．②作商法：要证明a>b，b>0，只要证ab>1．（2）综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．（3）分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立．（4）反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．（5）放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．5．柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc 时，等号成立．（2）柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．（3）二维形式的三角不等式定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ． （4）一般形式的柯西不等式定理：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则（21a +22a +…+2n a ）·（21b +22b +…+2n b ）≥（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2，当且仅当b i =0（i=1，2，…，n ）或存在一个数k ，使得a i =kb i （i=1，2，…，n ）时，等号成立． 【方法总结】1．解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：对a ∈R +，|x|<a ⇔–a<x<a ，|x|>a ⇔x<–a 或x>a ． （2）平方法：两边平方去掉绝对值符号．（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法（1）分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max ≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题．求最值的思路：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值． （2）更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．（3）数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题．注意：不等式的解集为R 是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x ）>m 的解集为⌀，则f （x ）≤m 恒成立． 3．不等式能成立问题（1）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）>A 成立，等价于在区间D 上f （x ）max >A ； （2）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）<B 成立，等价于在区间D 上f （x ）min <B ． 4．不等式恰成立问题（1）不等式f （x ）>A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）>A 的解集为D ； （2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ． 5．证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明，用换元法证明不等式时，要注意新元的取值范围．证明不等式常用的思路：利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解．6．利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知函数()2f x x a x =-+，其中0a >．（1）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()222f x a f x +-≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】（1）当1a =时，()31,11,1x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩．当1x ≥时，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥， 当1x <时，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥不成立．综上所述，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为[)1,+∞． （2）记()()()22=h x f x a f x =+-2x x a a --+，则()0,04,04,x h x x x a ax a ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，∴()()max |22|4f x a f x a +-=． 依题意得42a ≤，∴12a ≤． 所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知函数()|3|2f x x =+-．（1）解不等式()||<1f x x -；（2）若x ∃∈R ，使得()|21|f x x b ≥-+成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）{}|0x x <；（2）32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．【解析】（1）由()1f x x <-，可得321x x +-<-， 当1x ≥时，321x x +-<-不成立，当31x -<<时，321x x +-<-，∴30x -<<， 当3x ≤-时，321x x ---<-，51-<成立， ∴不等式()1f x x <-的解集为{}|0x x <． （2）依题意，3212x x b +---≥，令()6,3132123,3212,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+---=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，易知()max 1322g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，则有32b ≥，即实数b 的取值范围是32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．【答案】（1）2a =；（2）见解析．【解析】（1）由()01f =-，得11a -=-，即2a =±． 由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =． （2）由（1）知()2122f x x x =--+，所以()()1123232g x f x f x x x ⎛⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭36,2334,2236,2x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x 的最大值为6，即6t =． 因为6(0,0)m n m n +=>>，所以()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号）， 所以()49125131266m n +≥⨯+=． 【名师点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题． 4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->．【答案】（1）(),6-∞；（2）见解析．【解析】（1）令15y x x =++-=24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集，则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6-∞．（2）由,a b 为不相等的正数，得要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >，只需证1a b b a a b -->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．【名师点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案．（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．5．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】已知函数f （x ）=|x –a |+|x |．（1）当a =2时，解不等式f （x ）≥3的解集；（2）若存在x ∈R ，使得f （x ）＜3成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |x ≤–12或x ≥52}；（2）（–3，3）． 【解析】（1）由()f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x ≥为23x x -+≥， 等价于0223x x <⎧⎨-+≥⎩，解得12x ≤-； 或0223x ≤≤⎧⎨≥⎩，解得x ∈∅； 或2223x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得52x ≥； 所以不等式()3f x ≥的解集是{12x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭． （2）若存在x ∈R ，使得()3f x <成立，则()min 3f x <，①当0a >时，()2,0,02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，()min f x a ∴=，即3a <，a ∴的取值范围是0<<3a ；②当0a =时，()2f x x =，()()min 003f x f ∴==<，0a ∴=符合题意；③当0a <时，()2,,02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，()min 3f x a ∴=-<，即3a >-，a ∴的取值范围是33a -<<；综上，实数a 的取值范围是()3,3-．【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，含参数绝对值函数的分类讨论，属于中档题．6．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】已知函数()29f x x x =+-．（1）解不等式()15f x <；（2）若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}311x x <<；（2）9a >． 【解析】（1）由题意，()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，∴931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩， 解不等式得所求解集为{}311x x <<．（2）依题意，求()f x 的最小值即可， ()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩的最小值为9，∴9a >．【名师点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）max ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ． 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法． 7．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟（二）数学】已知函数()3()f x x a x x =-++∈R ．（1）当2a =时，求()5f x x ≥-的解集；（2）若()7f x ≥对任意[3,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R ；（2）(,2][4,)-∞+∞U ．【解析】（1）当2a =时，不等式()5f x x ≥-为235x x x -++≥-．当3x <-时，4235,3x x x x ---≥-≤，解得3x <-； 当32x -≤≤时，235,10x x x x -++≥-≤，解得32x -≤≤；当2x >时，235,6x x x x -++≥-≥-，解得2x >．综上，所求不等式的解集为R ．（2）据题意，得37x a x -++≥对任意[)3,x ∈+∞成立， 40x a x ∴-+-≥对任意[)3,x ∈+∞成立．当4x ≥时，a ∈R ；当34x ≤<时，4x a x -≥-，∴2222168x ax a x x -+≥-+，∴()()()4424a a a x +-≥-若4a =，分析知，满足题设；若4a >，则42a x +≥，∴48,4a a +≥≥，4a ∴>满足题设；若4a <，则42a x +≤，∴46,2a a +≤≤综上，所求实数a 的取值范围是][(),24,-∞+∞U ．【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，转化为等价不等式求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+．（1）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（2）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[)1,+∞． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤； 当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想．9．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】已知函数()=413f x x x -+--．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数1-=ax y 的图象与()f x 的图像有公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）{|16}x x -≤≤；（2）1(,2)[,)4-∞-+∞U ．【解析】（1）由题意()4f x ≤即是417x x -+-≤，由绝对值的几何意义可得解集为{|16}x x -≤≤．（2）()22,10,1428,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，所以a 的取值范围是1(,2)[,)4-∞-+∞U ．【名师点睛】本题考查含绝对值的函数，求参数范围要先去函数绝对值，是常考题型． 10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设函数()()2241,f x x x g x x m x m=+-+=++-，其中0m ≠． （1）解不等式()4f x ≤； （2）设()(),f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）][2,11,2⎡⎤--⎣⎦U ． 【解析】（1）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩， 由4f x ≤（）得，2334x x ≥-≤⎧⎨⎩或254x x <-+≤⎧⎨⎩，解得713x ≤≤， ∴4f x ≤（）的解集为713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，根据函数的单调性得[3A =+∞，）， ()()222g x x m x x m x m m m m ⎛⎫=++-≥+--=+ ⎪⎝⎭，当x =–m 时取等号， ∴B =2m m ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，时，A ⊆B ， ∴23m m+≤，即23m m +≤， ∴2||320m m -+≤，化简得12m ≤≤，∴m 的取值范围[–2，–1]∪[1，2]．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，根据集合的关系求参数的取值范围，属中档题．11．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷文科数学】设函数()31,f x x x x =++-∈R ，不等式()6f x ≤的解集为M ．（1）求M ；（2）当x M ∈时，()1f x a x ≥-恒成立，求正数a 的取值范围．【答案】（1）{}|4 2 M x x =-≤≤；（2）(]0,1 【解析】（1）()()()()223,31431,221,x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩ 当3x <-时，226x --≤，解得43x -≤<-；当31x -≤≤时，46≤，可得31x -≤≤；当1x >时，226x +≤，解得12x <≤．综上，不等式()6f x ≤的解集{}|4 2 M x x =-≤≤．（2）当43x -≤≤-时，()1f x a x ≥-等价于()22a x a -≥+，得01a <≤， 当31x -≤≤时，()1f x a x ≥-等价于40ax a -+≥，得01a <≤，当12x <≤时，()1f x a x ≥-等价于()220a x a ---≤得06a <≤，综上，实数a 的取值范围为(]0,1．【名师点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．12．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知函数()13f x x x =-+-的最小值为m ．（1）求m 的值并指出此时x 的取值集合：（2）求不等式()4f x ≤的解集．【答案】（1）2m =，{}|1 3 x x ≤≤；（2）{}|0 4 x x ≤≤．【解析】（1）设()(),01,0,(3,0)P x A B ，13x x -+-的几何意义是P 点到,A B 两点距离之和，由平面几何知识可知：当P 点在线段AB 上时，13x x -+-有最小值，且最小值为2，即2m =，此时[]1,3x ∈，所以x 的取值集合为{}|1 3 x x ≤≤；（2）当3x ≥时，()13244434f x x x x x x =-+-=-≤⇒≤∴≤≤； 当13x <<时，()132413f x x x x =-+-=≤⇒<<；当1x ≤时，()13244001f x x x x x x =-+-=-+≤⇒≥⇒≤≤，综上所述 不等式()4f x ≤的解集为{}|0 4 x x ≤≤，【名师点睛】本题考查了利用绝对值的几何意义求函数的最小值问题，以及用零点法求绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．13．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()(0,0)f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a =，2b =时，解不等式()5f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：1111311a ab b +++≥++． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见证明．【解析】（1）当1a =，2b =时，()125f x x x x =-++<+，①当2x <-时，不等式可化为215x x --<+，即2x >-，无解，②当21x -≤≤时，不等式可化为35x <+，即2x >-，得21x -<≤，③当1x >时，不等式可化为215x x +<+，即4x <，得14x <<，综上，不等式的解集为{|24}x x -<<．（2）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，0a >，0b >，∴2a b +=，故114a b +++=， ∴1112a b a b a b a b ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()11222222b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，111111111411a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭1112411b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭()12214≥+=． ∴1111311a ab b +++≥++． 【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．14．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】设函数()|1|3||f x x x a =++-．（1）当1a =时，解不等式()22f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()4|22|f x x a ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,5][3,)-∞-+∞U ． 【解析】（1）()|1|3||22f x x x a x =++-≤+， 可转化为14222x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114222x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12422x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩， 解得12x ≤≤或112x ≤<或无解， 所以不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式|1|||4x x a ++-≥恒成立，即min (|1|||)4x x a ++-≥，又|1||||1||1|x x a x x a a ++-≥+-+=+，当(1)()0x x a +-≤时取等号． 所以|1|4a +≥，解得3a ≥或5a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞U ．【名师点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画． 15．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()22f x x x a =-++，a ∈R ．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．【答案】（1）4(,][2,)3-∞-+∞U ；（2）(7,1)--．【解析】（1）当1a =时，2215x x -++≥，由()5f x ≥得4(,][2,)3-∞-+∞U ．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++．（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+43a +<．因为原命题等价于()221f x x x =-++， 所以43a +<，所以71a -<<-，即实数a 的取值范围为(7,1)--．【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题．。
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 椭圆及其性质
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标． 【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13专题 椭圆及其性质【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见的有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．【命题意图】要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．【命题规律】椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． （2）待定系数法．一般步骤如下：第一步，作判断．根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22xa+22yb=1（a>b>0）或22xb+22ya=1（a>b>0）．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于a，b，c的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c2=a2–b2）．第四步，定结果．解方程组，将解代入所设方程，得所求．注意当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：（1）分类讨论；（2）设椭圆方程为2xm+2yn=1（m>0，n>0，m≠n），或Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．2．求椭圆离心率或其范围的方法（1）求出a，b或a，c的值，代入e2=22ca=222–a ba=1–（ba）2直接求；（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2–c2转化为关于a，c 的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e 或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【知识总结】1．椭圆的几何性质标准方程22xa+22yb=1（a>b>0）22xb+22ya=1（a>b>0）图形几何范围–a≤x≤a，–b≤y≤b．–b≤x≤b，–a≤y≤a．对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点．性 质焦点F 1（–c ，0），F 2（c ，0） F 1（0，–c ），F 2（0，c ） 顶点A 1（–a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，–b ），B 2（0，b ）． A 1（0，–a ），A 2（0，a ），B 1（–b ，0），B 2（b ，0）． 轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b ．焦距 |F 1F 2|=2c离心率 e =c a0，1） a ，b ，c 的关系c 2=a 2–b 22．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为22b a，通径是最短的焦点弦．3．若P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a –c ，a+c ]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c ，最小值为a –c ．4．椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P （x 0，y ）与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2=θ． （1）当P 为短轴端点时，θ最大． （2）12PF F S △=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ=b 2·sin 1cos θθ+=b 2tan 2θ=c|y 0|，当|y 0|=b ，即P 为短轴端点时，12PF F S △取最大值，最大值为bc ． （3）焦点三角形的周长为2（a+c ）． 【方法总结】 1．椭圆定义的应用（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，进而求得焦点三角形的周长和面积．（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，–a ≤x ≤a ，–b ≤y ≤b ，0<e<1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．1．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F △为直角三角形，则E 的离心率为A B 1C ．2D 1【答案】B【解析】如图所示，因为12PF F △为直角三角形，所以1290PF F ∠=︒，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a==，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率= A．3 B．2 C．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+，联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）， 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，），由韦达定理可得22222121222222,cb c b a b y y y y a b a b -+=-=++， 且112F B AF =u u u r u u u r，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++，即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 化简可得229c 2a =，所以3c e a ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．3．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l ：2y x =+．若以1F 、2F 为焦点的椭圆C 与直线l 有公共点，则椭圆C 的离心率最大值为A．5B．12CD．2【答案】A【解析】椭圆C：2222x ya b+=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1（–1，0），F2（1，0），可得c＝1，则222212x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得（a2+b2）x2+4a2x+4a2–a2b2＝0，∆＝16a4–4（a2+b2）（4a2–a2b2）≥0，可得4a2–（2a2–1）（5–a2）≥0，解得a≥，∴cea=≤=A．【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．4．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x=与椭圆C相交于A，B两点，若2AB c=，则椭圆C的离心率为AB．34C．12D．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为(),A x y，则4y x=，由2AB c=，可知OA c==c=，解得3x c=，所以1,33A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把点A代入椭圆方程得到22221331c c a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得2e =，故选A ． 【名师点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用,,a b c 表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题．5．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=o，且PO =，则椭圆C 的离心率是A．2 BCD ．23【答案】C【解析】设12,PF m PF n ==．由椭圆的定义，得2m n a +=，①．在12PF F △中，由余弦定理，得2222cos 60(2)m n mn c +-=︒，②．2-①②得：()2234mn a c =-，③将③代入②，得22224833m n a c +=+． 在1POF V 中，由余弦定理，得2221||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④在2POF V 中，由余弦定理，得2222||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤④+⑤，得2222222216482||22933a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故e =，故选C ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．6．【2019年四川省达州市高考数学一诊】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22224(,0)y cx c a b c ==->与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若124cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为 ABC．12D．49-或49+ 【答案】D【解析】作抛物线的准线l ，则直线l 过点1F ，过点P 作PE 垂直于直线l ，垂足为点E ， 由抛物线的定义知2PE PF =，易知，PE x ∥轴，则112EPF PF F ∠=∠，2112114cos cos 5PE PF EPF PF F PF PF ∴∠=∠===，设15(0)PF t t =>，则24PF t =，由椭圆定义可知，1229a PFPF t =+=，在12PF F △中，由余弦定理可得222211221212||||2cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，整理得221212||890F F t F F t -+=，解得(124F F t =+或(124F F t =．当(124F F t =时，22c a =当(124F F t =时，离心率为22c e a ==．综上所述，椭圆C ．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．7．【四川省成都市成都外国语学校2019届高三3月月考数学】已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +u u u u v u u u u v 的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D【答案】C【解析】由0<b <2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8，∴|BF 2|+|AF 2|＝8–|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8–b 2，解得b =故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．8．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （−2，2）为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得｜PA ｜＋｜PF ｜＝8，则m 的取值范围是A．(625⎤+⎦B ．［9，25］ C．(620⎤+⎦D ．［3，5］【答案】A【解析】椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点F （2，0），左焦点为F '（–2，0），由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|，即|PF '|＝|PF |，可得|PA |–|PF '|＝8–由||PA |–|PF '||≤|AF '|＝2，可得–2≤8–，解得35≤≤，所以925m ≤≤，①又A 在椭圆内，所以4414m m +<-，所以8m –16<m （m –4），解得6m <-6m >+，与①取交集得625m +<≤，故选A ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．【四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学】已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12 BC ．短轴长为14D．离心率为2【答案】D【解析】由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22111164x y +=，所以11,,24a b c ===， 长轴为21a =，焦距22c =，短轴122b =，离心率2c e a ==，故选D ．【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a 、b 、c 的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题．10．【四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学】已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为A ．13 B ．12 CD【答案】C【解析】在PQF △中，设22,PF QF t ==()()1111,,,P x y Q x y --，右焦点E ，由椭圆的对称性，知PFQE 是平行四边形，所以在PEF △中，由余弦定理得222225234EF t t t c =-==，223,,3PF QF a t t a e +====C ． 【名师点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把PQF △，转化到焦点PEF △中，再应用比值及余弦定理，可得离心率．11．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF ∆为等腰三角形，则12AF AF = A ．13 B ．12C ．23D ．3【答案】A【解析】设|AF 1|＝t （t >0），由椭圆的定义可得|AF 2|＝2a –t ，由题意可知，|AF 2|>|BF 2|＝a ，由于△BAF 2是等腰三角形，则|AB |＝|AF 2|，即a +t ＝2a –t ，所以2at =，所以123,22a a AF AF ==，因此12AF 1AF 3=，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．12．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =u u u v u u u v，则C 的离心率为 A ．13 BCD【答案】D【解析】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =u u u r u u u r ，得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,992c c e e a a ⋅=∴===D ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2–c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为A ．13 BC ．12D ．2【答案】B【解析】延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆右焦点为F '，连接,AF BF ''．根据题意AF a ==，2AF FB =，所以2a FB =， 根据椭圆定义2BF BF a '+=，所以32a BF '=， 在AFF'△中，由余弦定理得22222224cos 22F A FA F F a c F AF F A FA a ''+--'∠=='⋅， 在AF B '△中，由余弦定理得2221cos 23F A AB BF F AB F A AB ''+-'∠=='⋅，所以22224123a c a -=，解得a ，所以椭圆离心率为3c e a ==，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题．14．【贵州省黔东南州2019届高三下学期第一次模拟考试数学】椭圆2x +28y ＝1的离心率为A ．4 B ．78C D ．18【答案】A【解析】椭圆x 2+28y ＝1的离心率为4c e a ====故选A ．【名师点睛】这个题目考查了已知椭圆的方程求椭圆的离心率的问题，根据222a b c =+可得到相应的参数值，进而得到离心率．15．【贵州省2019届高三11月37该椭圆的离心率为A ．13 BC D 【答案】C【解析】∵22a b =3b a =．∴c e a ==3．故选C ．【名师点睛】熟练掌握离心率计算公式c e a == 16．【云南省玉溪一中2019届高三下学期第五次调研考试数学】设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为A ．12 BC D 【答案】C【解析】设()11,P x y ，则2211112122,,1x y PF a ex PF a ex a b=+=-+=，所以212||PF PF OP +=2222222222222221111111222b x x y a e x x y a y a b a b a a b ⎛⎫-++=++=++=+ ⎪⎝⎭，因此2222222322a b b a b a c e +=⇒=⇒=⇒=C ． 17．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为A ．3 BC D 【答案】D【解析】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ，2AB c =，设OC AB ⊥，垂足为C ，则2OC c ==，在Rt OAC △中，22222222113()22233OA AC OC a AB c a c c a e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故选D ．【名师点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法．考查了圆弦长公式，考查了运算能力． 18．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知点P 是椭圆C ：2219+=x y 上的一个动点，点Q 是圆E ：()2243+-=x y 上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是__________．【答案】【解析】由圆E ：x 2+（y –4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP （当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）．设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则221119+=x y ，即21=x 9219-y ．∴|EP |22211(4)=+-=x y 922211119(4)8()272-+-=-++y y y ．∵[]111∈-，y ，∴当y 1＝–12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ|≤= ∴|PQ |的最大值为【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．【四川省2018届高三春季诊断性测试数学】若椭圆2214x y m+=上一点到两个焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为__________．【解析】当4m <时，由椭圆定义知34m -=，解得7m =，不符合题意，当4m >时，由椭圆定义知3m -=解得9m =，所以33c e a ===，故答案为：3． 【名师点睛】本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,a b 的取值，从而确定c ，计算椭圆的离心率．20．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于另一个点A ，若3BF AF =，则C 的离心率为__________．【答案】2【解析】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF AF =可得4,33b Ac ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,992c c e e a a ⋅=∴===【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea ；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2–c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．。
2019年高考理科数学-全国卷Ⅲ试题及解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C解答：7.0100608090=+-4.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 答案： A解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C 解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. 已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D解析：令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7.函数3222x xxy-=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22x xxy f x-==+，∴332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，∴()f x为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f-⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142x y-=的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||PO PF=则PFO∆的面积为（）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程2242x y-=可得一条渐近线方程为2y x=；在PFO∆中||||PO PF=过点P做PH垂直OF因为tan POF=2∠得到PO=所以12S PFO∆==故选A11.若()f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2) 4f f f-->>B.2332 31(log)(2)(2) 4f f f-->>C.233231 (2)(2)(log)4 f f f-->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案： C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题13.已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r，若2c a =r r ，则cos ,a c =r r.答案：23解析：∵()22222459c a a b b ==+-⋅=r r r r r ，∴3c =r，∵()2222a c a a a b ⋅=⋅=-⋅=r r r r r r ，∴22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅r rr r r r . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d ++⨯====++.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.16.学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。
专题19 立体几何综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小．【答案】（1）见详解；（2）30． 【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，专题19 立体几何综合则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG =（1，0），AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷，理数1】如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BCCM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ．当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点．由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n ．DA 是平面MCD 的法向量，因此5cos ,||||DA DA DA ⋅==n n n2sin ,5DA =n ， 所以面MAB 与面MCD ．【名师点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷，理数1】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由题设可得，ABD CBD △≌△，从而AD DC =． 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒． 取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO =AO ． 又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥． 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角． 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+==， 故90DOB ∠=． 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 故()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即0,10.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取1,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ．设m 是平面AEC 的法向量，则00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m同理可取(0,=-m ．则cos ,7⋅==n m n m n m ． 所以二面角D -AE -C． 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,||θ=⋅=m m n nm n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【命题意图】用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力，以及转化与化归思想的应用．【命题规律】立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查．本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查．【答题模板】1．一个平面的法向量是与平面垂直的向量，有无数多个，任意两个都是共线向量．若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设平面的法向量为n=（x，y，z）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组·0·0=⎧⎨=⎩，；n an b（4）解方程组，取其中的一组解，即得法向量．注意：求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值（常赋值–1，0，1），即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n=（0，0，0）不能作为法向量．2．用空间向量解决立体几何问题的步骤如下：（1）建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；（2）定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；（3）向量运算：进行相关的空间向量的运算；（4）翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．【方法总结】1．利用向量法证明平行问题（1）证明线线平行：证明两条直线的方向向量共线．（2）证明线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．（3）证明面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题．注意：用向量法证明平行问题时，要注意解题的规范性．如证明线面平行时，仍需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外．2．利用向量法证明垂直问题（1）证明线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．（2）证明线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；③证明直线的方向向量与平面α内的任一条直线的方向向量垂直．（3）证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直．3．求线面角（1）定义法：①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．（2）公式法：sinθ=hl（其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角）．（3）向量法：sinθ=|cos<AB，n>|=|?|||||ABABnn（其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角）．4．求二面角（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图（1），∠AOB为二面角α–l–β的平面角；（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角，如图（2），∠AOB 为二面角α–l –β的平面角；（3）垂线法（三垂线定理法）：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理（线面垂直的性质）即可找到所求二面角的平面角或其补角，如图（3），∠AOB 为二面角α–l –β的平面角；（4）利用射影面积公式：cos θ=S S 射原，该法主要用来解决无棱二面角大小的计算，关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影；（5）向量法：利用公式cos<n 1，n 2>=1212·||||n n n n （n 1，n 2分别为两平面的法向量）进行求解，注意<n 1，n 2>与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断．如图（2）（4）中<n 1，n 2>就是二面角α–l –β的平面角的补角；如图（1）（3）中<n 1，n 2>就是二面角α–l –β的平面角．5．求空间距离（1）直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．（2）间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．（3）向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解． 求点P 到平面α的距离的三个步骤：①在平面α内取一点A ，确定向量PA 的坐标； ②确定平面α的法向量n ； ③代入公式d =||||PA n n 求解．1．【广西省南宁市2019届高中毕业班第二次适应性模拟测试高三数学】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥===M 为侧面11AA CC 的对角线的交点，D E 、分别为棱,AB BC 的中点．（1）求证：平面MDE //平面11A BC ； （2）求二面角C ME D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明D E 、分别为边,AB BC 的中点，可得DE AC ∥， 又由直三棱柱可知侧面11AAC C 为矩形，可得11AC AC ∥故有11AC DE ∥， 由直三棱柱可知侧面11AAC C 为矩形，可得M 为1A C 的中点， 又由E 为BC 的中点，可得1A BME ．由DE ，ME ⊂平面MDE ，11A C ，1A B ⊂平面MDE ，得11A C 平面MDE ，1A B平面MDE ，11A C 1A B 1=A ，可得平面MDE 平面11A BC ．（2）以CA ，CB ，1CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,0,01,0,0,0,2,0,0,0,4,,0,2,,1,00,1,022C A B C M D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，（），111,1,2,,0,2,,0,0222ME CM ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面CME 的一个法向量为()11,,,22022x y z x y z x z =-+-=+=则m ， 取1z =-，有4,0,(4,0,1)x y ===-m ， 同样可求出平面DME 的一个法向量(0,2,1)=m ，cos ,||||⋅〈〉===m n m n m n ，结合图形可知二面角C ME D --的余弦值为85． 【名师点睛】本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式cos ,||||⋅〈〉=m nm n m n 求解二面角．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（1）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（2）若2A B F O ==，BD =点H 在线段BF 上，且3BF HF =，求平面ACH 与平面DEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）9【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，∴AO FO ⊥． 又四边形OAEF 为平行四边形，∴EF ∥AO ，∴EF BD ⊥，EF FO ⊥， ∵BDFO O =，∴EF ⊥平面BDF ．∵EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ． （2）∵FO ⊥平面ABCD ，∴FO AO ⊥，FO BO ⊥．∵2AB AD ==，BD =，∴AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则()0,0,0O，)A，()B，()C，()0,D，)E，()0,0,2F ，∴()2,DE=，()DF =，()0,2BF =，()2,CB=，()AC =-，∵3BH HF =，∴2242,,333CH CB BF ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎭， 设平面DEF 的法向量为()1111,,x y z=n ，则111112020z z +=+=⎪⎩，令11z =，得()10,=n．同理可求得平面ACH 的一个法向量()20,=-n ．∴211212cos,⋅===nn nnn n，∴12sin,9==nn，∴平面ACH与平面DEF．【名师点睛】（1）用向量法解决空间角问题的关键是建立适当的空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标，求出直线的方向向量或平面的法向量，然后利用向量的运算进行求解．（2）向量法求二面角大小时，可分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．3．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB BC PD CD⊥⊥，，且2PA E=，为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A BE C--的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）∵底面ABCD为正方形，∴BC AB⊥，又BC PB AB PB B⊥=，，∴BC⊥平面PAB，∴BC PA⊥．同理CD PA BC CD C⊥=，，∴PA⊥平面ABCD．（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz-，则()()()()000220011200A C E B，，，，，，，，，，，，设()x y z =，，m 为平面ABE 的一个法向量，又()()011200AE AB ==，，，，，，∴020y z x +==⎧⎨⎩， 令11y z =-=，，得()011=-，，m ．同理()102=，，n 是平面BCE 的一个法向量，则cos ,||||5⋅〈〉===m n m n m n ．∴二面角A BE C -- 【名师点睛】本题考查了线面垂直的的判定与性质及二面角的计算，属于中档题．4．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】如图，等边三角形PAC 所在平面与梯形ABCD 所在平面互相垂直，且有AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）513． 【解析】（1）取BC 中点M ，连接AM ， 则四边形AMCD 为菱形，即有12AM MC BC ==，∴AB AC ⊥．又AB Ì平面ABCD ，平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，∴AB ⊥平面PAC ，又AB Ì平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAC ．（2）由（1）可得AC =取AC 中点O ，连接PO ，则PO AC ⊥，3PO =， 又PO ⊂平面PAC ，平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，∴PO ⊥平面ABCD ．以A 为原点建系如图，则()2,0,0B，()P，()C，()D -，()BC =-，()3PC =-，()1,CD =-，设平面BPC 的法向量为()1,,x y z =n ，则2030x z ⎧-+=⎪-=，取1z =，得()1=n ． 设平面PCD 的法向量为()2,,x y z =n ，则030x z ⎧-=⎪-=，取1z =，得()2=-n ，212112513cos ,⋅===-n n n n n n ．∴二面角B PC D --的余弦值为513． 【名师点睛】本题考查面面垂直的判定与求二面角．在立体几何证明中，得出结论时，注意定理的条件要写全，否则证明过程不全面．求空间角问题，可用向量法求解，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角与空间角的关系求解，这里对学生的计算能力要求较高．5．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试（理科）数学】如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面90ABCD ABC ∠=︒，，2160SA AB BC AD ACD E ====∠=︒，，，为CD 的中点．（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）7．【解析】（1）因为190AB BC ABC ==∠=︒，， 所以260AC BCA ∠=︒=，，在ACD △中，260AD AC ACD ==∠=︒，，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠，解得4CD =， 所以222AC AD CD +=，所以ACD △是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE ==， 又60ACD ∠=︒，所以ACE △为等边三角形， 所以60CAE BCA ∠=︒=∠，所以BCAE ，又AE ⊂平面SAE BC ⊄，平面SAE ，所以BC平面SAE ．（2）由（1）可知90BAE ∠=︒，以点A 为原点，以AB AE AS ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则002000S B C D （，，，），，），（，）．所以30231232SB SC SD =-=-=--（，，），（，，），（，，）． 设x y z =（，，）n 为平面SBC 的法向量，则·0 ·0SB SC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即2020z y z -=+-=设1x =，则0y z ==，，即平面SBC的一个法向量为10=（，n ，所以cos ,7||||7SD SD SD ⋅〈〉===-n n n ， 所以直线SD 与平面SBC ． 【名师点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题．6．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且23ABC π∠=，M ，N 分别为棱AP ，CD 的中点．（1）求证：MN 平面PBC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，2PB AB =，求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见证明；（2． 【解析】（1）设PB 的中点为G ，连接MG ，GC ． ∵M ，G 分别是AP ，PB 的中点，∴MG AB ，且12MG AB =． 由已知得12CN AB =，且CN AB ．∴MG CN ，且MG CN =．∴四边形MGCN 是平行四边形．∴MNGC ．∵MN ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，∴MN平面PBC ．（2）连接AC ，BD ，设AC BD O =，连接CO ，连接OG ．设菱形ABCD 的边长为a ，由题设得2PB a =，PD =，OGPD ，OG ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OG 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设得0,2a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,02a B ⎛⎫⎪⎝⎭，,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()0,,P a B =，3,,02a CB ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，则00PB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，化简得0y y ⎧-=⎪+=，令1x =，则y =1z =-，∴()1,1=-n ．同理可求得平面PAD 的一个法向量()1,=m ．∴||cos ,||||5⋅==mn m n m n． ∴平面PBC 与平面PAD【名师点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理转化能力．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l B C BC ，Q 是1A B 的中点，112AC BC B C ==，23ACB π∠=．（1）求证：1//QB 平面11A ACC ； （2）求二面角11A BB C --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ． 因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC ，且12MQ BC =， 又因为11B C BC ，且112BC B C =，所以11MQ B C ，且11MQ B C =，所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M ，因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q平面11A ACC ．（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，则)1,0A -，)11,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，所以()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-．设平面11A BB 的法向量为(),,x y z =m ，则111·0·0B A B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即2020y y z -=-=⎪⎩，取4x=，则(4,=m ，平面1CBB 的一个法向量()1,0,0=n，所以cos ,||||31⋅〈〉===m n m n m n ． 故二面角11ABB C --．【名师点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行．空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．8．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】如图（1）ABC △中，9024C AC BC E F =︒==，，，分别是AC 与AB 的中点，将AEF △沿EF 折起连接AC 与AB 得到四棱锥A BCEF -（如图（2）），G 为线段AB 的中点．（1）求证：FG平面ACE ；（2）当四棱锥A BCEF -体积最大时，求直线FG 与平面AFC 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取AC 的中点H ，连接EH GH ，，由于G 是AB 的中点，GH BC ∴，且12GH BC =， 又E F ，分别为AC 与AB 的中点，FE BC ∴，且12FE BC =， FE GH FE GH ∴=，，∴四边形EFGH 为平行四边形，FGEH ∴，又FG ⊄平面ACE EH ⊂，平面ACE ，FG∴平面ACE ．（2）当四棱锥ACE 体积最大时，平面ACE 平面ACE ， 由于AE EF AE ⊥∴⊥，平面BCEF ， 建立如图所示的坐标系，002220020100111A B C F G ∴（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）． 022120011CA CF FG ∴=-=-=（，，），（，，），（，，）．设平面ACE 的法向量x y z （，，）n ，则0CA CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22020y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取一组解211x y z ==（，，）（，，）n ，记FG 与平面AFC 所成角为θ，则sin cos 3||||6FG FGFG θ⋅===⨯，n n n ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查了空间向量法解决空间角的问题，考查计算求解能力，属于中档题．9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】如图所示，三棱锥P ABC -放置在以AC 为直径的半圆面O 上，O 为圆心，B 为圆弧AC 上的一点，D 为线段PC 上的一点，且3AB BC PA ===，PB =PA BC ⊥．（1）求证：平面BOD ⊥平面PAC ；（2）当二面角DAB C --的平面角为60︒时，求PD PC的值．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】（1）由3AB PA ==，PB =∴222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥，又PA BC ⊥且ABBC B =，∴PA ⊥平面ABC ．∵BO ⊂平面ABC ，∴PA BO ⊥，由BA BC =，圆心O 为AC 中点，∴BO AC ⊥．∵ACPA A =，∴BO ⊥平面PAC ，又BO ⊂平面BOD ， 所以平面BOD ⊥平面PAC ．（2）由（1）知PA ⊥平面ABC ，且BA BC ⊥，过点B 作PA 的平行线， 建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知()0,0,0B ，()3,0,0A ，()0,3,0C ，()3,0,3P ， 设(01)PD PC λλ=<<，则()3,0,0BA =，()()3,0,33,3,3BD BP PD λ=+=+--()33,3,33λλλ=--， 设(),,x y z =m 为平面BAD 的一个法向量，则()()3003333300x BA x y z BD λλλ=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨-++-=⋅=⎪⎩⎩m m ，令1z =，则11y λ=-，所以10,1,1λ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ， 取平面ABC 的一个法向量为()0,0,1=n ． 因为二面角D AB C --的平面角为60︒，所以1cos60cos ,2︒===m n ，解得λ=0λ=<（舍去）， 所以当二面角D AB C --的平面角为60︒时，PD PC=【名师点睛】本题考查由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，利用空间坐标系表示二面角，求线段比，属于中档题．10．【四川省棠湖中学2019届高三4月月考数学】如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的余弦值为4，求三棱锥11C A CD -的体积． 【答案】（1）见解析（2）4．【解析】（1）连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD △中，2,60AD CD ADC =∠=︒， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅︒，所以AC =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ， 所以1CD AC ⊥，又因为1,CDA C C =AC 1⊥平面A 1B 1CD ；（2）如图建立直角坐标系，则()()()()112,0,0,,,D A C A()()112,0,23,DC DA λ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,x y z =n ，由111100DC DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即111112020x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩， 解得)11113,0,0,1x z y λ==∴=，n ，设平面1A CD 的法向量为()2222,,x y z =n ，由12200CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得222200x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得()22220,,0,,1x y z λλ==-∴=-n ，由1212cos ||||4θ⋅===⋅n n n n得1λ=，所以1,AA AC =此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．11．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，12AB AA D ==，是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BCA --的余弦值． 【答案】（1）详见解析（2【解析】（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点，故1tan tan 22AB B ABD ∠=∠=， 所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=︒， 于是190BAB ABD ∠+∠=︒，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥， 1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥．（2）如图，建立空间直角坐标系，则000000A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭，，，，，，， 可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为(11=n ， 而平面BCD 的一个法向量为()2010=，，n ， 设二面角D BC A --的大小为θ，则1212cos θ⋅==n n n n【名师点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且EF =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求锐二面角E AC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ， 由∠PAD =120°，得∠PAO =60°，∴在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO=2sin60°=2×2∵∠BAO =120°，∴∠BAO =60°，AO =AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴BO =PO∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EFEF 是△PBD 的中位线， ∴PB =2EF=2×2， ∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABC D ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，1，0），P （0，0B0，0），D （0，3，0），∴E （0，32F302，），AE =（0，12AF ==，12，0），易得平面ABCD 的一个法向量m =（0，0，1），设平面ACE 的法向量n =（x ，y ，z），则10223102AE y z AF x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩n n ，取x =1，得n =（11），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cos θ=|||cos ,|||||⋅〈〉=m n m n m n ，∴锐二面角E –AC –D ．【名师点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及基本论证与求解能力，属中档题．。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 平面向量
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为25=-c a b ，0⋅=a b ， 所以225⋅=-⋅a c a a b 2=，222||4||455||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以专题 平面向量点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r， 则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤，即≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|． （1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义 备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的．单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量．相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ． 说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0； （2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||aa ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差）已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）．数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．（2）向量数量积的性质设a，b为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cos θ；②a⊥b⇔a·b=0；③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a，b反向时，a·b=–|a||b|．特别地，a·a=a2=|a|2或|a④|a·b|≤|a||b|，当且仅当a与b共线，即a∥b时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b．（3）向量数量积的运算律①交换律：a·b=b·a；②数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；③分配律：（a+b）·c=a·c+b·c．（4）平面向量数量积的几何意义①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫作向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫作向量a在向量b的方向上的投影．②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线；②θ为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线；③当a·b>0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）；④当a·b<0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）．【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC uuu r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC uuu r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB ACu u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC uuu r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a，b为非零向量，且a∥b，则a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a．8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a ，b >∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A【解析】∵()23=，a ，()12=-，b ，∴()()22324-=--，，a b ＝（4，1-）， ∴·(2)-a a b ＝83-＝5，故选A ． 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为 A ．12-B ．12C ．3-D ．3【答案】A【解析】因为向量()23=，a ，()2x =，b ，所以()2221x -=--，a b ， 又·(2)3-=a a b ，所以()22233x --=，解得12x =-．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型． 3．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．0【答案】A【解析】解法一：取BC 的中点为N 点，根据向量加法的平行四边形法则得到2AB AC AN +=u u u v u u u v u u u v ，()·2AM AB AC AM AN +=⋅u u u uv u u u v u u u v u u u u v u u u v ，平面向量,AB AC u u u v u u u v的模都为2，AN 是直角三角形ABC由向量投影的几何意义得到222cos 2 4.AM AN AM AN AN θ⋅=⋅==u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v故选A ．解法二：根据题意，以AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，如图所示：设(,)M x y ，则(,),(2,2)AM x y AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，所以()2()AM AB AC x y ⋅+=+u u u u r u u u r u u u r，而直线BC 的方程为2x y +=且M 在直线BC 上，所以()2()4AM AB AC x y ⋅+=+=u u u u r u u u r u u u r， 故选A ．【名师点睛】这个题目考查了向量的加法法则以及投影的几何意义；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．【答案】B【解析】菱形ABCD 的边长为2，120ABC ∠=o ，∴2AB BD AD ===，∵E 为AB 的中点，∴12DE DA AB =+u u u v u u u v u u u v ，AC AD AB =+u u u v u u u v u u u v，∴221122DE AC AD AB AB AD ⋅=-+-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 14222cos6032=-+-⨯⨯⨯=-o．故选B ．【名师点睛】本题考查向量数量积的运算，解题的关键是选择适当的基底，然后将所有向量用同一基底表示出来，再根据定义求解，属于基础题．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=A ．2B ．-2C ．12 D ．1-2【答案】D【解析】向量()()2,1,1,λ=-=a b ，则2+=a b （4，–1+2λ），2-=a b （3，–2–λ）， 又()()22+-∥a b a b ，所以4（–2–λ）–3（–1+2λ）＝0， 解得λ12=-．故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题． 6．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是A ．⊥a bB ．∥a bC ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b【答案】D【解析】选项A ，⋅a b =21(1)750⨯+-⨯=-≠，所以选项A 错误； 选项B ，∵2711⨯≠-⨯，∴a 不平行于b ，所以选项B 错误；选项C ，(1,8)-=-a b ，因为()(2,1)(1,8)100⋅-=-⋅-=≠a a b 所以选项C 错误； 选项D ，(3,6)+=a b ，因为()(2,1)(3,6)0⋅+=-⋅=a a b ，所以选项D 正确，故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算．考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示．解决此类问题的关键是准确记住公式．7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u u r u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A B ．C D ．【答案】C【解析】由题得221cos 32AB AC a a π⋅==u u u r u u u r ， 222211()()(1)(1)22BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r =22111(+)222a λλ--，所以当1=2λ时，()f λ的最大值为232,8a a -=-∴=．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量的运算法则和基底法，考查二次函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m =A ．4B ．1C ．1-D ．4-【答案】C【解析】由⊥a b ，转化为0⋅=a b ，根据向量数量积的坐标运算可得12+20m ⨯⨯=，解得1m =-，故选C ．【名师点睛】本题考查对向量之间的位置关系的转化，数量积的坐标运算，属于简单题．9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b 若,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BCD 【答案】A【解析】=Q a ，=b ，,a b 的夹角为34π，2∴-==a b==． 故选A ．【名师点睛】本题考查平面向量的模长，数量积运算，是基础题． 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D【答案】C【解析】由已知==a cos02π⋅==a b a b ，∴222(2)+=+a b a b 2222444221=+⋅+=+⨯=a a b b ，∴2+=a b C ．【名师点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：22=a a ，把向量模的运算转化为向量的数量积．11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．32【答案】C【解析】Q ∥a b ，2(1)0x x ∴-+=，∴23x =．故选C ． 【名师点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()=+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56πB ．23π C ．π3D ．6π【答案】B【解析】因为2=a ，()⊥+a a b ，所以()2⋅+=+⋅=0a a b a a b ，2⋅=-a b ．又+a b ，()22222246+=+⋅+=-+=a b a a b b b ，故28=b 也即是=b ， 所以1cos ,||||2⋅===-a b a b a b ，又0,≤≤πa b ，故a 与b 的夹角为2π3．故选B ．【名师点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=a ；（2）计算角，cos ,||||⋅=a ba b a b ．特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是⋅=0a b ．13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r【答案】C【解析】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，又点N 是AC 的中点．22112()3312632MN MC CN BC CA AC AB AC AC AB ++-==-==-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选C ．【名师点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．【答案】–8【解析】∵∥a b ，∴–k –8=0，解得k =–8．故答案为：–8．【名师点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．【答案】13【解析】因为⊥a b ，所以2m –18=0，所以m =9，所以2+a b =（4，6）+（9，–6）=（13，0），所以2+a b =13．故答案为：13． 【名师点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平．（2）设a =(,),x y 则=a16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故答案为：9．【名师点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．【答案】3【解析】由题得()1,8m +=+a c ，因为()⊥+b a c ，所以2m +2–8=0，所以m =3．故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________． 【答案】2【解析】∵(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，∴2x ＝4，即x ＝2，故答案为：2． 【名师点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．【答案】32【解析】因为12EC ED DC AD AB =+=+u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v ，所以13122λμ+=+=．故答案为：32．【名师点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．【答案】3【解析】因为1=b ，2⋅=a b ，所以22(2)222413-⋅=⋅-=⨯-=-=a b b a b b b ，故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及模的计算，属于基础题． 21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v，则||OP uuu v ＝__________．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭即()2,2，故OP =u u u v 12x x ． 【名师点睛】在三角形ABC 中，如果G 为三角形的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，反之也成立．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 【答案】π6【解析】向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1）若∥a b ，则sin2α-cos α=0，即2sin αcos α=cos α； 又π02α<<，∴cos α≠0，∴sin α=12，∴6απ=．故答案为：π6． 【名师点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题．23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．【答案】2【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ，则由垂径定理可知D 为AB 的中点．在Rt ACD △中，12AD AB = 1cos 2CAB AD A AB C ⋅∠==u u u u u r u r u u u r ，212||co 2|s 2|AB AC AB AC CAB AB ⋅==⋅∠==u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，所以2AB =u u u r ，故答案为：2．【名师点睛】本题考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积的应用，属于基础题．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．【答案】12-【解析】2(4,21)2(3,2)λλ+=--=--，a b a b ， ∵()()22+-∥a b a b ，∴()42λ--=()321λ-，解12λ=-，故答案为：12-． 【名师点睛】本题考查向量共线的的坐标运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题． 25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．【答案】8【解析】取AC 的中点D ，因为AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AO xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r， 因为21x y +=，所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD ⊥AC ，设AD =DC =m ，则BD所以1282ABC S m =⋅=≤=△．当且仅当m =8．【名师点睛】本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r，则实数m =__________．【答案】6【解析】由题得()()1,2,,3AB OC m =-=u u u r u u u r ，因为AB OC ⊥u u u r u u u r，所以–m +6=0，所以m =6．故答案为：6．【名师点睛】本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r __________．【答案】【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程：2222023x y x y y x +--==-+⎧⎨⎩，整理可得：251030x x -+=，故122x x +=，()()()1212122323262y y x x x x +=-++-+=-++=，据此可得：()1,1M ，OM ==u u u u v结合平面向量的运算法则有：|||2|OA OB OM +==u u u r u u u r u u u u r．故答案为：【名师点睛】本题主要考查直线与圆的关系，平面向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 【答案】3-或5【解析】因为()()1,1,,2m =-=a b ，所以()1,3m -=--a b ，又5-=a b ，所以()()222135m -+-=，解得3m =-或5m =，故答案为：3-或5． 【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、已知模长求参数值问题，属于基础题． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________． 【答案】2【解析】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，所以2-a b =()3,32t --．由()2-⊥a b a ，得()2-⋅a b a =()3,32t --•()1,3-=3+9–6t =0，所以t =2．故答案为：2．【名师点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】24【解析】22()3AB AD AB AB BD AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r236cos(18060)3AB BC =+⋅⋅︒-︒u u u r u u u r 213666()2432=+⨯⨯⨯-=．故答案为：24．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B ∠看成,AB BC u u u r u u u r的夹角．31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，若∥a b ，则x =__________．【答案】32-【解析】Q 向量(),1x =a ，()3,2=-b 且∥a b ，2130x ∴--⨯=，解得：32x =-，故答案为：32-． 【名师点睛】本题考查向量平行的性质，属于基础题．。
《高考真题》专题18 区域经济发展-2019年高考地理母题题源系列(解析版)
专题18 区域经济发展【母题来源】2019年新课标全国卷Ⅰ第36题【母题题文】36．阅读图文材料，完成下列要求。
（24分）澳大利亚是一个地广人稀的发达国家，第二次世界大战后，本土汽车生产主要由美日几家大型汽车品牌公司控制，整车和零部件工厂主要布局在墨尔本、阿德莱德和吉朗等地（位置见下图）。
1974年澳大利亚汽车生产以47.5万辆的产量居世界第10位。
1988年澳大利亚政府开始实施取消进口汽车配额限制并大幅降低关税的政策，使世界各地的汽车大量涌入，原本多样化的本土汽车市场进一步细分，每种品牌和车型的车辆需求都较少，汽车生产成本也居高不下，2016年仅以16.1万辆的产量排在世界第32位。
2017年10月20日，最后一条汽车生产线在阿德莱德关闭，宣告本土汽车制造成为历史。
（1）说明澳大利亚汽车生产存续期间，整车和零部件工厂布局在东南沿海地区的有利条件。
（8分）（2）分析澳大利亚汽车市场对每种品牌和车型的车辆需求都较少的原因。
（8分）（3）简述澳大利亚汽车生产成本居高不下的主要原因。
（4分）（4）指出汽车生产的退出对当地城市经济发展的影响。
（4分）【答案】（1）开发早的城市地区，基础设施齐全，易于配套；人口密集，经济发达，是主要消费市场；劳动力充足；临海，港口多，交通运输方便。
（2）人口少，市场规模小；国土面积大，自然环境多样，对车的种类和型号要求多样；进口政策放宽后，国外汽车品牌进入加剧了本土汽车市场竞争，消费者偏好趋于多元化。
（3）（发达国家）劳动力成本高；汽车厂商难以通过规模生产降低成本。
（4）外资撤离，投资减少，经济下滑；相关配套产业萎缩或消失，产业结构发生变化（更突出发展服务业和高新技术产业）。
【试题解析】（1）澳大利亚汽车生产存续期间，整车和零部件工厂布局在东南沿海地区的有利条件主要从东南沿海地区工业区位因素角度分析。
具体包括交通、基础设施、市场、劳动力等方面。
澳大利亚东南地区是西方殖民者最早到达的地区，开发早的城市地区，基础设施齐全，易于配套；从澳大利亚的自然条件看，东南部地区气候湿润温和，有利于人口分布，所以人口密集，经济发达，消费市场广阔，同时也为组装提供了充足的劳动力；阿德莱德及墨尔本吉朗都位于临海，港口多，海上交通运输条件优越。
专题 三角函数及解三角形(解析版)
2，π）单调递增5B．3D．专题三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sinx+x在[-π,π]的图像大致为cosx+x2A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在[-π,π]有4个零点其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以④f(x)的最大值为2B．②④D．①③π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=5A．15C．3255 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5④ ω 的取值范围是[ ， )【2π ，且 g ⎛ ⎫⎪= 2 ，则 f ⎛ ⎪= = - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ . ⎛ αtan + ⎪【 B b c③ f (x )在（ 0, π 10）单调递增12 295 10其中所有正确结论的编号是A ．①④C ．①②③B ．②③D ．①③④6． 2019 年高考天津卷理数】已知函数 f ( x ) = A s in(ω x + ϕ )( A > 0, ω > 0,| ϕ |< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g (x )．若 g (x )的最小正周期为A ． -2C ． 2⎝ 4 ⎭ ⎝ 8 ⎭π 3π ⎫ B ． - 2D ． 27．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B = π3△ABC 的面积为_________．，则9．【2019 年高考江苏卷】已知tan α 2 ⎛ π ⎫π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭⎝ 4 ⎭10．【2019 年高考浙江卷】在△ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ； A + C2b sin A．（2）求 sin2B + ⎪ 的值．（△2）若 ABC 为锐角三角形，且 c △=1，求 ABC 面积的取值范围．13．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；⎛ ⎝π⎫ 6⎭15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 2 3，求 c 的值；（2）若sin A要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分)]2+[f(x+)]2的值域．【cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b216．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．17．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)=sinx,x∈R.（1）已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；（2）求函数y=[f(x+ππ12418．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=3B．C．-1tan α-⎪=20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的相，将函数图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)= C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=A．22133D．-22319．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭1A．B．77C．-17D．-7π6邻对称轴之间的距离为ππ26A．sin(x+C．cos2xπ3)πB．sin(2x+)3πD．cos(2x+)321．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)，A>0,ω>0,ϕ<π的部分图象如图所示，则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为2A．C．π12π4B．D．π6π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭4D ．【（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 =A ．1B ．22C ． 6 - 26 + 2423．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π3 π 6B ．D ．π 3 5π 624． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cosx( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21 2.【解析】由 f (- x ) = sin(- x) + (- x) 2 1 + 2 = 4 + 2π > 1, f (π) = 排除 A ．又 f ( ) = ( )2π 2 -1 + π2 ， π ）单调递增答 案1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f(x)= sinx + xcosx + x 2在 [-π, π] 的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D- sin x - x== - f ( x ) ，得 f ( x ) 是奇函数，其图象关于原点对称， cos(- x ) + (- x ) cos x + x 2π π 2 π22π> 0 ，排除 B ，C ，故选 D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得f ( x ) 是奇函数，排除 A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数 f ( x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在 [-π, π] 有 4 个零点 其中所有正确结论的编号是A ．①②④C ．①④④f(x)的最大值为 2B ．②④D ．①③【答案】C【解析】Q f (- x ) = sin - x + sin (- x ) = sin x + sin x = f (x ) , ∴ f (x )为偶函数，故①正确．当π⎛π<x<π时，f(x)=2sin x，它在区间 ,π⎪单调递减，故②错误．作出y=sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，⎫2⎝2⎭当0≤x≤π时，f(x)=2sin x，它有两个零点：0,π；当-π≤x<0时，f(x)=sin(-x)-sin x =-2sin x，它有一个零点：-π，故f(x)在[-π,π]有3个零点：-π,0,π，故③错误．当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时，f(x)=2sin x；当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时，f(x)=sin x-sin x=0，又f(x)为偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数f(x)=sin x+sin x的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|π2为周期且在区间(B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π4，π2)单调递增的是【答案】A【解析】作出因为y=sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为y=cos x=cos x，周期为2π，排除C；作出y=cos2x图象如图2，由图象知，其周期为πππ，在区间(，)单调递增，A正确；242πππ242故选A．图12 )，2sin2α=cos2α+1，则 sin α=5B ．3D ． 【 解 析 】 Q 2sin 2α = cos2 α +1 ， ∴ 4sin α ⋅ cos α = 2cos 2 α .Q α ∈ 0, ⎪ ,∴ cos α > 0 ， sin α > 0,∴2sin α = cos α ，又sin 2α + cos 2α = 1 ，∴ 5sin 2 α = 1,sin 2α = ，又sin α > 0 ，∴ s in α =图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 y = f ( x ) 的周期是函数 y = f ( x ) 周期的一半；② y = sin ω x 不是周期函数.4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0，πA ．1C ．3【答案】B552 55⎛ ⎝ π⎫ 2 ⎭15 5 5，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．④ω的取值范围是[，)ππkπ-④当f(x)=sin（ωx+）=0时，ωx+=kπ（k∈Z），所以5，所以当k=5时，5π-12296π-5≤2π，当k=6时，x=5105>2π，解得5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5③f (x)在（0,π10）单调递增1229510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③B．②③D．①③④【答案】D【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；π55x=ω因为f(x)在[0,2π]上有5个零点，x=ωππω≤ω<，③函数f(x)=sin（ωx+）的增区间为：-+2kπ<ωx+<+2kπ，2k-π+2k⎪π10⎭10<x<⎝⎭.7⎫综上可得，f(x)在 0,⎝10⎭【最小正周期为2π，且g ⎪=2，则f ⎪=又g(x)=A s inωx,∴T=42，∴A=2，故④正确.ππππ5252⎛⎛3⎫⎪⎝ωω取k=0，当ω=1271时，单调递增区间为-π<x<π，52482973当ω=时，单调递增区间为-π<x<π，102929⎛π⎫⎪单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的A．-2 C．2⎛π⎫⎝4⎭⎛3π⎫⎝8⎭B．-2D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)=A s inϕ=0,∴ϕ=kπ,k∈Z,∴k=0,ϕ=0；又g(π)=12π21ω2=2π,∴ω=2，∴f(x)=2sin2x，f(3π8)= 2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g(x)，再根据函数性【解析】函数 f (x ) = sin 2 2x = 1 - cos 4 x .=1= - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ .⎛ α tan + ⎪= = = - ，得 3tan 2 α - 5tan α - 2 = 0 ，tan α + ⎪ tan α (1 - tan α )sin 2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sin质逐步得出 A, ω,ϕ 的值即可.7．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2π，周期为 .2 2【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B =π3△ABC 的面积为_________．【答案】 6 3，则【解析】由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，所以 (2c)2 + c 2 - 2 ⨯ 2c ⨯ c ⨯解得 c = 2 3, c = -2 3 （舍去），1 3所以 a = 2c = 4 3 ， Sac sin B = ⨯ 4 3 ⨯ 2 3 ⨯= 6 3.22 2 12 = 62 ，即 c 2 = 12 ，【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于 c 的方程，应用 a, c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．9．【2019 年高考江苏卷】已知【答案】210tanα 2 ⎛ π ⎫ π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【解析】由 tan α tan α 2⎛ π ⎫ tan α + 1 tan α + 1 3⎝ 4 ⎭ 1 - tan α解得 tan α = 2 ，或 tan α = -13.⎛π ⎫ π π ⎝4 ⎭ 4 42 (sin 2α + cos 2α )=22 ⎝sin 2 α + cos 2 α ⎭ 2 ⎝ tan 2 α + 1 ⎭= ； 当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ ⎝ 2 2 + 1 ⎭10 13 3 ]= 2 .⨯ [2 ⨯ (- ) + 1 - (- )2 当 tan α = - 时，上式=1π ⎫ 2 = .4 ⎭ 10⎛【答案】 12 2 . .【解析】如图，在△ABD 中，由正弦定理有：AB= ,cos ∠BAC = = ，所以 BD ===2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2 21 123 210(- )2 + 13综上， sin 2α + ⎝⎪【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取转化法，利用分类讨 论和转化与化归思想解题.由题意首先求得 tan α 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可 10．【2019 年高考浙江卷】在 △ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3 ，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．7 2 ，5 10BD 3π= ，而 AB = 4, ∠ADB =sin ∠ADB sin ∠BAC 4,AC = AB 2 + BC 2 = 5 ， sin ∠BAC =BC 3 AB 4 12 2 AC 5 AC 5 5.π π 7 2cos ∠ABD = cos(∠BDC - ∠BAC ) = cos cos ∠BAC + sin sin ∠BAC =4 4 10.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思( )cos C + sin C = 2sin C ，可得 cos (C + 60︒ )= - 【 B b c想.在 △ABD 中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．【答案】（1） A = 60︒ ；（2） sin C =6 + 2 4.【解析】（1）由已知得 s in 2 B + sin 2 C - sin 2 A = sin B s in C ，故由正弦定理得 b 2 + c 2 - a 2 = bc ．b 2 +c 2 - a 2 1 由余弦定理得 cos A = = ．2bc 2因为 0︒ < A < 180︒ ，所以 A = 60︒ ．（2）由（1）知 B = 120︒ - C ，由题设及正弦定理得 2 sin A + sin 120︒ - C = 2sin C ，即 6 3 1 2 +2 2 2 2．由于 0︒< C < 120︒，所以 sin(C + 60︒)=2 2，故sin C = sin (C + 60︒ - 60︒ )= sin (C + 60︒ )cos60 ︒ - cos (C + 60︒ )sin 60︒= 6 + 2 4．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ；（2△）若 ABC 为锐角三角形，且 c =1△，求 ABC 面积的取值范围．A + C 2= b sin A ．【答案】（1）B =60°；（2） ( 3因为 cos B 从而3△ABC<．因此，△ ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭ .b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪.3, ) . 8 2【解析】（1）由题设及正弦定理得 s in A s in A + C= sin B sin A ．2因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin A + C B B B B= cos ，故 cos = 2sin cos ．2 2 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ，因此B =60°．2 2 2（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S△ABC = 3 4a ．c sin A sin (120︒ - C )3 1由正弦定理得 a = = = + ．sin C sin C 2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ，23< S82⎛ 3 3 ⎫ ⎪ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题13．【2019 年高考北京卷理数】在△ ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）4 73 .【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭所以 (c + 2)2 = 32 + c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ . （2）由 cos B = - 得 sin B = ⎪ 的值．⎛ （ 得 3b s in C = 4a sin C ，即 3b = 4a ．又因为 b + c = 2a ，得到 b = a ， c = a ．由余弦定理可得a 2 + c 2 -b 2 a 2 + a 2 - a 21 cos B = = =- ．2因为 b = c + 2 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 c = 5 .所以 b = 7 .1 32 2.由正弦定理得 s in C = c 5 3 sin B = b 14.在 △ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以 cos C = 1 - sin 2 C = 11 14.所以 sin( B - C ) = sin B cos C - cos B sin C = 4 3 7.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2B + ⎝π⎫6⎭【答案】（1） - 1 4 3 5 + 7；（2） - .16【解析】 1）在 △ABC 中，由正弦定理 b c=sin B sin C，得 b s in C = c s in B ，又由 3c sin B = 4a sin C ，4 23 34 169 92ac 42 ⋅ a ⋅ a3sin 2B + ⎪ = sin 2B cos + cos 2B sin =- ⨯ - ⨯ =- （2）若 sin A 3 2 ⨯ 3c ⨯ c ，得 ( ) π⎫ 2 5= cos B = 2 ⎭ 5⎛（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 sin B = 1 - cos 2 B =7cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故815 15， 从 而 sin 2 B = 2sin B cos B = - ， 4 8⎛ π⎫ π π 15 3 7 1 3 5 + 7 ⎝6 ⎭ 6 6 8 2 8 2 16．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 23，求 c 的值；cos B π= ，求 sin(B + ) 的值．a 2b 2【答案】（1） c =3 2 5；（2） . 3 5【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 2 2 (3c)2 +c 2 - ( 2) 2 1由余弦定理 cos B = ，得 = ，即 c 2 = .2ac 3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B =a 2b， 由正弦定理 a b cos B sin B= =sin A sin B 2b b，所以 cos B = 2sin B .4从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .5因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 2 55.因此 sin B + ⎝⎪ .【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.'因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=84=.105所以PB=BD12==15.cos∠PBD45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.5②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知 AD = AE 2 + ED 2 = 10 ，从而 cos ∠BAD = AD 2 + AB 2 - BD 2 7= > 0 ，所以∠BAD 为锐角.2 A D ⋅ AB 25所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，1 1 1此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 3 = 9 ；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由 （ 2 ） 知 ， 要 使 得 QA ≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA =15 时 ，CQ = QA 2 - AC 2 = 152 - 62 = 3 21 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综 上 ， 当 PB ⊥AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ = 3 21 时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.在线段AD 上取点M （3， ），因为 OM = 32 + ⎪ < 32 + 42 = 5 ，因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为 3 4.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 -4 25直线PB 的方程为 y =- x -.334 3，所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415 ⎛ 15 ⎫24⎝ 4 ⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.（2）求函数 y = [ f ( x + π )]2 + [ f ( x + )]2的值域． 又 θ ∈ [0, 2π) ，因此θ =π（2） y = ⎢ f x + + ⎢ f x + ⎪⎥ = sin 2 x + 12 ⎭⎥⎦ 4 ⎭⎦ ⎝ + sin 2 x + ⎪ 12 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 1 - cos 2 x + ⎪ 1 - cos 2 x + ⎪= + = 1 - cos 2 x - sin 2 x ⎪π ⎫ 6 ⎭ cos 2 x + ⎪ ．再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （ 13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.17．【2019 年高考浙江卷】设函数 f ( x ) = sinx, x ∈ R .（1）已知θ ∈ [0,2 π), 函数 f ( x + θ ) 是偶函数，求θ 的值；π 12 4【答案】（1）θ = π 3π或 ；（2） [1-2 23 3 ,1 + ] ． 2 2【解析】（1）因为 f ( x + θ ) = sin( x + θ ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin( x + θ ) = sin( - x + θ ) ，即 sin x cos θ + cos x sin θ = - s in x cos θ + cos x sin θ ，故 2sin x cos θ = 0 ，所以 cos θ = 0 ．3π或 ． 2 2⎡ ⎣ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎡ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎛ ⎪ ⎝ ⎣ ⎝ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎪⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝2 ⎭ 1 ⎛3 3 ⎫ 2 2 2 ⎝ 2 2⎭= 1 - 3 2⎛ π ⎫⎝ 3 ⎭因此，函数的值域是[1-3.【3B．tan α-⎪=【解析】Q cosα=-,a∈(-π,0)，∴α∈⎛-π,-π⎫⎪，3,1+]．22【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力18．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=A．2213C．-13D．-223【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，所以cosα=-22+1=-63，因此cos2α=2cos2α-1=13.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点P(-2，1)，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭A．17B．7C．-17D．-7【答案】C45⎝2⎭33∴s inα=-,tanα=，54π ⎫ tan α - 1 4 1 则 tan α - ⎪ == = - .故选 C ． 4 ⎭ 1 + tan α 7 3 1 +20．【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ) (ω > 0) 的相，将函数图象向左平移 个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) =) + ] = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x 的图象，故选 C ．3- 1 ⎛⎝4【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知 c os α 的值，结合同角三角函数关系式可求 tan α，然后根据两角差的正切公式即可求解．π6邻对称轴之间的距离为 π π2 6A ． sin( x +C ． cos2 x π 3 ) πB ． sin(2 x + )3πD ． cos(2 x + )3【答案】C【解析】由函数 f ( x ) = sin(ω x +π π T π)(ω > 0) 的相邻对称轴之间的距离为 ，得 = ，即 T = π ，所6 2 2 2以 π =2πω ，解得 ω = 2 ，π π将函数 f ( x ) = sin(2 x + ) 的图象向左平移 个单位，6 6得到 g ( x ) = sin[2( x + π 6 π ⎛ 6 ⎝ π π ⎫ 3 6 ⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．21．【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数 f (x ) = A s in (ωx + ϕ )，A > 0,ω > 0, ϕ < π的部分图象如图所示，则使 f (a + x )- f (a - x ) = 0 成立的 a 的最小正值为 2⇒>,∴ω<所以a的最小正值为.C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=4D．A．C．π12π4B．D．π6π3【答案】B【解析】由图象易知，A=2，f(0)=1，即2sinϕ=1，且ϕ<ππ，即ϕ=，26由图可知，f(11π11ππ11ππ12k-2 )=0,所以sin(⋅ω+)=0,∴⋅ω+=kπ,k∈Z，即ω=,k∈Z，1212612611 11π2π11π24又由图可知，周期T>，且ω>0，12ω1211所以由五点作图法可知k=2,ω=2，π所以函数f(x)=2sin(2x+)，6因为f(a+x)-f(a-x)=0，所以函数f(x)关于x=a对称，即有2a+ππkππ=kπ+,k∈Z，所以可得a=+,k∈Z，6226π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出A,ϕ,ω，可得函数f(x)的解析式，再由f(a+x)-f(a-x)=0易知f(x)的图象关于x=a对称，即可求得a的值.22．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭A．1B．C．6-2【答案】D 226+2 4【解析】由43S=(a+b )2-c2，得43⨯12ab sin C=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2ab cos C，∴23ab sin C=2ab cos C+2ab，即 3 sin C - cos C = 1 ，即 2sin C - 6 ⎭ = 1 ，则 sin C - ⎪ = ，+ = sin cos + cos sin = 3 ⨯ 2 + ⨯ 2 = 6 + 2 sin C + = sin ⎝ ⎝ 3 4 ⎭ 2 2 2 2 44 ⎭ 3 4 3 4 π ⎫⎛⎝ π ⎫ ⎪ ⎛ ⎝π ⎫ 1 6 ⎭ 2∵ 0 < C < π ，∴ - π π 5π π π π< C - < ， ∴ C - = ，即 C = ，6 6 6 6 6 3则 ⎛ ⎛ π π ⎫ π π π π 1 ⎪ ⎪，故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出 C 的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．23．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π 3 π 6B ．D ．π 3 5π 6【答案】D【解析】∵ a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，∴ 3 sin A cos C + 3 sin C cos A = -b cos A ，∴ 3 sin( A + C ) = 3 sin B = -b cos A ，∴ 3a sin B = -b cos A ，由正弦定理可得： 3 sin A s in B = - sin B cos A ，∵ sin B > 0 ，∴ 3 sin A = - cos A ，即 tan A = - 3 3，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = 5π 6.故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，可得 3a sin B = -b cos A ，再由正弦定理得到tan A = -3 ，结合 A ∈ (0, π) ，即可求得 A 的值．3【， a = 2 3 ， △ABC 的面积为，24． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．【答案】（1） A =π 3；（2） 5 3 .【解析】（1）∵ 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) ，∴由正弦定理可得：3 sin B cos A = sin A(sin A cos C + sin C cos A) = sin A s in( A + C ) = sin A s in B ，即 3 sin B cos A = sin A s in B ，∵ sin B ≠ 0 ，∴ tan A = 3 ，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = π3．（2）∵ A = π 5 33 41 3 5 3∴ bc sin A = bc =2 4 4，∴ bc = 5 ，∴由余弦定理可得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，即12 = b 2 + c 2 - bc = (b + c)2 - 3bc = (b + c)2 - 15 ，解得： b + c = 3 3 ，∴ △ABC 的周长为 a + b + c = 2 3 + 3 3 = 5 3 .【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 3 sin B cos A = sin A s in B ，由 sin B ≠ 0 ，（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 = = sin 2 x - 所以 - ≤ sin （2 x - ）≤ 1 .⎪⎩c + 2 > 1 所以实数 c 的取值范围为 (-1,- ) .（2）首先求得函数 f (x )在区间 ⎢0, ⎥ 上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于 c 的不等式组，求可求 tan A = 3 ，结合 A ∈ (0, π) ，可求 A =π3．（2）利用三角形的面积公式可求bc = 5 ，进而根据余弦定理可得b + c = 3 3 ，即可计算△ABC 的周长的值．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cos x( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21【答案】（1）1；（2） (-1,- ) .21【解析】（1） f ( x ）3 sin x cos x - cos 2 x + 2= 31cos 2 x2 2π=sin(2 x - ) ，6 π所以 f ( ) = 1 .31 2.（2）因为 0 ≤ x ≤ π 2，π π 5π所以 - ≤ 2 x - ≤ ，6 6 6 1 π2 6⎧1 ⎪ c <- 1由不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，得 ⎨2 ，解得 -1 < c < - . 212【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦解不等式组可得 c 的取值范围.。
专题18 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）(,82． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦专题18 解三角形综合定理求解），最后考查△ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
考查的很全面，是一道很好的考题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin cos 0A A =，a，b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【答案】（1）4c = ；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =． 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=． 解得6c =-（舍去），4c =．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=． 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅． 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力．【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tan C ；sin 2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ．3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）． 【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形；③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有：①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状． 注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知在ABC △中．,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c +-=，ABC △的面积为（1）求角C 的大小；（2）若c =，求sin sin A B +的值．【答案】（1）π3；（2）32．【解析】（1）由ABC △的面积为1sin 2ab C = 由2228a b c +-=及余弦定理可得2cos 8ab C =，故tan 3C ==π； （2）∵,2cos 8,83C ab C ab ==∴=π，又2228,a b c c +-==6a b +=， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 得()sin sin sin 3sin sin 2a C b C C A B a b c c c +=+=+=． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图，在ABC △中，4AB =，点D 在边BC的延长线上，已知7cos 9CAD =∠，AC AD ==（1）求sin B 的值；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）sin 3B =；（2）【解析】（1）在A C D △中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠729=+-，所以3CD =， 在ACD △中，221cos 23AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅． 因为()0,ACD ∠∈π，所以sin 3ACD ∠=，所以()sin sin sin ACB ACD ACD ∠=π-∠=∠=． 在ACB △中，sin sin AC AB B ACB=∠．所以3sin 4B ==，（2）()1cos cos cos 3ACB ACD ACD ∠=π-∠=-∠=-． 在ABC △中，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠．所以2100BC +-=，解得BC =所以ABC △的面积为11sin 422AB BC B ⋅=⨯= 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理、以及三角形的面积公式即可，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=．（1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A =；（2）2+【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===．（2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =．因为ABC △，所以1sin 2bc A =即21123=24c =，解得2c =． 【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos b B a A A B -=，a b ¹．（1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=-及正弦定理得，22sin sin B A -cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠， ∴2266A B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23A B π+=， ∴()3C A B π=π-+=． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．5．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图所示，在平面四边形ABCD 中，2BC CD ==，BCD △的面积是2．（1）求BCD ∠的大小；（2）若260ABD ACB ∠=∠=o ，求线段AD 的长．【答案】（1）90︒；（2）AD =【解析】（1）在BCD △中，2BC CD ==，12BCD S =△sin 2BC CD BCD ⨯⨯⨯=，解得sin 1BCD =， 90BCD ︒∴∠=．（2）由2BC CD ==，90BCD ︒∠=，得到45,CBD BD ︒∠==260ABD ACB ︒∠=∠=，45,45CBD CAB ︒︒∠=∴∠=，在ABC △中，由正弦定理有：sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即2sin30sin45AB ︒︒==在BAD △中由余弦定理有：(22226AD ︒=+-⨯=，AD ∴=【名师点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．6．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()222222(2sin sin )sin a b cA B a c b B +--=+-． （1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）∵()()2222sin sin a b c A B +--= ()222sin a c b B +-． ∴()2cos 2sin sin 2cos sin ab C A B ac B B -=．∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=，又在ABC △中，sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又0C <<π，∴π3C =． （2）由12CD CA CB =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=， 即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，②由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+． 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C <<π，所以23C π=． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．8．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】在ABC ∆中，已知内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足π2sin 6a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积等于12，求a 的最小值． 【答案】（1）π6；（21【解析】（1）)π2sin cos 6a B c a B B c ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，得)()sin cos sin sin A B B C A B +==+，sin sin cos A B A B + sin cos cos sin A B A B =+，sin cos sin A B A B =，又据题意，sin 0B ≠cos A A =， 解得π6A =． （2）1sin 22S bc A bc =⇒=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-(222b c bc =+≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1． 【名师点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】如图所示，在ABC △中，45B D ∠=︒，是BC 边上一点，23AD AC DC ===，．（1）求ADC △的面积；（2）求BD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⨯ 22231912232+-==-⨯⨯．∴120ADC ∠=︒，故sin ADC ∠=． ∴1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠△1232=⨯⨯=． （2）1204575BAD ADC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，()sin sin75sin 3045BAD ∠=︒=︒+︒sin30cos45cos30sin45=︒︒+︒︒=．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠∠， ∴sin sin AD BAD BD B ⋅∠=∠212==+ 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos (2)cos b A c a B =-+．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，ABC △的面积为ABC △的周长．【答案】（1）23B π=；（2）6． 【解析】（1）由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B AC A B =--，即()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．又角C 为ABC △的内角，所以sin 0C >，所以1cos 2B =-． 又()0,B ∈π，所以23B π=．（2）由1sin 2ABC S ac B ===△8ac =． 又()222236b a c ac a c ac =++=+-=，所以a c +=ABC △的周长为6．【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．11．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】（1）π3C =；（2 【解析】（1）因为()ccos 2cos 0B b a C +-=，所以()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，所以()sin 2sin cos B C A C +=．又因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A C =．又因为()0,A ∈π，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =． 又()0,C ∈π，所以π3C =． （2）据（1）求解知，π3C =， 所以222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-．又2c =，所以224a b ab =+-．又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤．所以ABC ∆面积的最大值()max max 11sin 4sin 223ABC S ab C π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭△ 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可求解，属于常考题型．12．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在ABC △中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，ABBD =，2AD =．（1）求ADB ∠；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）34ADB π∠=；（2）3． 【解析】（1）已知ABBD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 22AD BD AB ADB AD BD +-∠==-⨯⨯， 又因为()0,ADB ∠∈π，所以34ADB π∠=． （2）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以4ADC π∠=， 因AD AC ⊥，所以ADC △为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S =+=⨯+⨯⨯=△△△． 13．【贵州省思南中学2018–2019学年高二下学期第二次月考数学】如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，3AD =，7AC =，13cos 14ACD ∠=．（1）求BC 的长：（2）求ABC △的面积．【答案】（1）2）4【解析】（1）∵在ACD △中，3,7AD AC ==，13cos 14ACD ∠=． ∴由余弦定理可得：2222cos =AD AC CD AC CD ACD -+⋅⋅∠， 所以2139492714CD CD +⨯⨯⨯＝﹣， 由于7CD <，∴解得5=CD ， ∵2223571cos 2352CDA +-∠==-⨯⨯，∴3CDB π∠=，又∵2DCB π∠=，∴BC = （2）在CBD △中，2DCB π∠=，3CDB π∠=，∴C 点到AB 的距离h =10BD =，∴ABC △面积113224S =⨯⨯=．【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．。
2019年高考语文母题题源系列专题18文言断句含解析
文言断句【母题来源】2019年高考新课标Ⅰ卷【母题原题】1．【2019年高考新课标Ⅰ卷】阅读下面的文言文，完成问题。
贾生名谊洛阳人也年十八以能诵诗属书闻于郡中吴廷尉为河南守闻其秀才召置门下甚幸爱孝文皇帝初立，闻河南守吴公治平为天下第一，故与李斯同邑而常学事焉，乃征为廷尉。
廷尉乃言贾生年少，颇通诸子．．百家．．议下，诸老先生不能言，贾生尽为之对，．．之书。
文帝召以为博士。
是时贾生年二十余，最为少。
每诏令人人各如其意所欲出。
诸生于是乃以为能不及也。
孝文帝说之，超迁，一岁中至太中大夫。
贾生以为汉兴至孝文二十余年，天下和洽，而固当改正朔，易服色，法制度，定官名，兴礼乐．．，乃悉草具其事仪法，色尚黄，数用五，为官名，悉更秦之法。
孝文帝初即位，谦让未遑也。
诸律令所更定，及列侯悉就国．．，其说皆自贾生发之。
于是天子议以为贾生任公卿之位。
绛、灌、东阳侯、冯敬之属尽害之，乃短贾生曰：“洛阳之人，年少初学，专欲擅权，纷乱诸事。
”于是天子后亦疏之，不用其议，乃以贾生为长沙王太傅。
贾生既辞往行，及渡湘水，为赋以吊屈原。
为长沙王太傅三年。
后岁余，贾生征见。
孝文帝方受釐，坐宣室。
上因感鬼神事，而问鬼神之本。
贾生因具道所以然之状。
至夜半，文帝前席。
既罢，曰：“吾久不见贾生，自以为过之，今不及也。
”居顷之，拜贾生为梁怀王太傅。
梁怀王，文帝之少子，爱，而好书，故令贾生傅之。
文帝复封淮南厉王子四人皆为列侯。
贾生谏，以为患之兴自此起矣。
贾生数上疏，言诸侯或连数郡，非古之制，可稍削之。
文帝不听。
居数年，怀王骑，堕马而死，无后。
贾生自伤为傅无状，哭泣岁余，亦死。
（节选自《史记·屈原贾生列传》）下列对文中画被浪线部分的断句，正确的一项是（）A．贾生名谊/洛阳人也/年十八/以能诵诗属书闻于郡中吴廷尉/为河南守/闻其秀才/召置门下/甚幸爱/ B．贾生名谊/洛阳人也/年十八/以能诵诗属书闻于郡中/吴廷尉为河南守/闻其秀才/召置/门下甚幸爱/ C．贾生名谊/洛阳人也/年十八/以能诵诗属书闻于郡中/吴廷尉为河南守/闻其秀才/召置门下/甚幸爱/ D．贾生名谊/洛阳人也/年十八/以能诵诗属书闻/于郡中吴廷尉为河南守/闻其秀才/召置门下/甚幸爱/ 【答案】C【试题解析】此题考查文言断句的能力。
专题 解三角形-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题15 解三角形【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在ABC △中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ×BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.【命题意图】三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力． 【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用. 【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则 1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C. 2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ,h B =c sin A =a sin C ,h C =a sin B =b sin A ． （2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B. 6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例） （1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解4===2.sin sin sin a b c R R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径②当A为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时,需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．3.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.△中，角A，B，C的对边分别为a，1．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABCC=︒，则c=b，c，若ABC△的面积和周长分别为20，60A．7B．8C．5D．6【答案】A【解析】由题意可得，11sin sin6022ABC S ab C ab ==︒△，∴1sin602ab ︒=40ab =. ∵20a b c ++=，∴20c a b -=+．由余弦定理可得，()()222222cos60320120c a b ab a b ab c =+-︒=+-=--， 解得7c =．故选A ．【名师点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到()2222a b a b ab +=+-.2．【陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校际联考数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC △的面积为AB ．3C D 【答案】D【解析】在ABC △中，2227cos 28b c a A bc +-==，将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =，由7cos 8A =得sin A ==，所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D.【名师点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12⨯（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.3．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次)4月二诊数学试题卷】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3B π=，1cos 3A =，b =，则边c 的长为A． B．C．D．【答案】B【解析】因为1cos 3A =，()0,A ∈π，所以sin 3A =， 在ABC △中()11sin sin 323C A B =+=+=由正弦定理sin sin b c B C=，所以sin sin 6b c C B ===故选B.【名师点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △为锐角三角形，且满足2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是 A ．2b a = B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =【答案】B【解析】依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C AC A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角形内角和定理以及正弦定理边角互化，属于基础题.5．【甘青宁2019届高三3月联考数学试题】在ABC △中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =A． BC．D【答案】B【解析】在三角形ABD 中，由余弦定理得254996513cos 2577014A +-===⨯⨯.在三角形ABC 中，由余弦定理得BC ==故选B.【名师点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,a c A ===且b c <，则b =A ．3B ．C ．2D 【答案】C【解析】因为cos A =，所以1sin 2A ==且6A π=，由正弦定理可得：sin sin a c A C=，即：212=，解得：sin 2C =，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，362B πππ=π--=，此时B C >，与b c <矛盾，所以3C π=舍去. 当23C π=时，2366B πππ=π--=，由余弦定理可得：2222cos 4122242b ac ac B =+-=+-⨯⨯=， 所以2b =， 故选C.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计算能力，属于中档题.7．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1,sin sin ,234A B C a π===，则ABC △的面积为___________.【解析】由正弦定理得sin ,sin sin 3sin 3a ab B Bc C C A A ====，所以164sin sin 33bc B C ==，从而1sin 2ABC S bc A ==△. 【名师点睛】本题考查了正弦定理、面积公式，正确使用公式是解题的关键.8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学试题】在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC △，则ab 的最小值为___________. 【答案】48【解析】在ABC △中222a b ab c ++=，结合余弦定理2222cos a b ab C c +-=， 可得1cos 2C =-，所以sin 2C =，1sin 2ab C =代入化简可得4ab c =， 代入222a b ab c ++=中可得222216a b a b ab +=-，因为222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号，所以22216a b ab ab -≥，解不等式可得48ab ≥， 所以ab 最小值为48.【名师点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题. 9．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且2sin c A =，c =ABC △的面积为，则a b +的值为___________. 【答案】52sin c A =2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=.所以ABC △的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 10．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，且BC 边上的高等于tan A ，则ABC △的周长的取值范围为___________.【答案】(2,1+ 【解析】由题可知：11tan sin 22ABC S a A bc A ∆==, 故cos 1bc A =222221122b c a b c bc bc +-+-⇒⋅==，即223b c +=,又22222b c b c ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则b c +≤当且仅当b c =时，取等号.又1b c a +>=，则21a b c <++≤,所以ABC △的周长的取值范围为(2,1.故填(2,1.【名师点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，+的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.从而求得b c。
2019年全国卷Ⅲ理数高考真题解析(精编版)(解析版)
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}
21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I （ ） A. {}1,0,1-
B. {}0,1
C. {}1,1-
D. {}0,1,2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴Q 11x -≤≤， ∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-I ，
故选A ．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2.若(1i)2i z +=，则z =（ ）
A. 1i --
B. 1+i -
C. 1i -
D. 1+i 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解即可.。
解三角形-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
解三角形【母题来源一】【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =______________，cos ABD ∠=______________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有sin sin AB BDADB BAC=∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =，ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=．【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想．在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解．解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sinB =______________，c =______________．【答案】73【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B ==， 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c ．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______________，cos ∠BDC =______________．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥， 在△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△ ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．【命题意图】1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．3．考查数形结合、化归与转化、运算求解等能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象． 【命题规律】解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用．常见的命题角度有： （1）直接利用正、余弦定理解三角形； （2）与三角形面积有关的问题； （3）三角形形状的判断；（4）解三角形与三角恒等变换相结合． 【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向． 第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步，求结果．第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形． 【方法总结】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则 1．正弦定理：sin sin sin a b c ==A B C． 2．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，3．余弦定理的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===． 4．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ． （2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B ． 5．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 6．利用正、余弦定理求边和角的方法（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （4）常见结论①π A B C ++=，其变式有πA B C +=-，π222A B C+=-等． ②三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C+=； cossin 22A B C+=． 7．求三角形面积的方法（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 8．三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 9．三角形中的综合问题（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题．利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题．（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等．（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解．1．【浙江省绍兴市2018届高三3月适应性模拟】在ABC △中，内角C 为钝角，3sin 5C =，5AC =，AB =BC =A ．2B ．3C ．5D ．10【答案】A【解析】由题可得4cos 5C ==-，由余弦定理可得45-=解得2BC =， 故选A ．2．【浙江省台州中学2018届高三模拟】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC △的面积S C =，且1a =，b =c =A BCD 【答案】B【解析】由题意可得ABC △的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =，由余弦定理可得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c = 故选B ．3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =A ．2π3 B ．π3 C ．π6D ．5π6【答案】D【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，∴cos cos cos A C C A b A =-，∴)cos A C B b A +==-，sin cos B b A =-，sin sin cos A B B A =-，∵sin 0B >cos A A =-，即tan A =， ∵(0,π)A ∈，∴5π6A =． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由cos )cos 0A C C b A ++=，可得sin cos B b A =-，再由正弦定理得到tan A =，结合(0,π)A ∈，即可求得A 的值． 4．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若sin sin b A a C =，1c =，则b =______________，ABC △面积的最大值为______________．【答案】112【分析】由正弦定理，结合sin sin b A a C =，1c =，可求出b ；由三角形面积公式以及角A 的范围，即可求出ABC △面积的最大值．【解析】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==； 所以111S sin sin 222ABC bc A A ==≤△， 当sin 1A =，即90A =︒时，ABC △面积最大． 故ABC △面积的最大值为12． 【名师点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题． 5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在ABC △中，45C =︒，6AB =，D 为BC 边上的点，且5AD =，3BD =，则cos B =______________，AC =______________．【答案】59【分析】利用余弦定理求出cos B ，可得sin B ，在ABC △中利用正弦定理可求得AC ． 【解析】如图，因为6AB =，5AD =，3BD =，在ABD △中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅，所以sin B 9=，由正弦定理sin sin AC AB B C =，可得3AC =．【名师点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中档题．6．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c ，点E 为边AC 上的中点，已知2a =，4b =，3c =，则cos C =______________，BE =______________．【答案】11162【分析】直接利用余弦定理可得cos C ，利用中线定理的向量表示法将BE u u u r表示出，平方可得模．【解析】在ABC △中，由余弦定理可得22211cos 216a b c C ab +-==，同理可得1cos 4B =-， 又1()2BA B BC E =+u u u u r u u r u u u r ，平方可得2110 (49223cos )44B B E ⨯++⨯⨯==⨯u u u r ，所以2BE =． 【名师点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题．7．【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试】在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则cb的取值范围是______________．【答案】【解析】由正弦定理可得sin sin22cos sin sin c C B B b B B===， 由于ABC △为锐角三角形，所以π02C <<，所以π022B <<，即π04B <<，而π32B C B +=>，所以π6B >，2cos B <<故cb的取值范围是． 8．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知tan()24A π+=，则sin A 的值为______________，若4B π=，4a =，则ABC △的面积等于______________．16【分析】第一空根据两角和正切公式得tan A ，再根据同角三角函数关系得sin A 的值，第二空先根据正弦定理得b ，再根据两角和正弦公式得sin C ，最后根据面积公式得结果． 【解析】因为tan()24A π+=，所以tan 121tan A A+=-，解得1tan 3A =，因此sin A =，因为sin sin B A b a=，所以b =因为sin sin()C A B =+==所以ABC △的面积等于14162=． 【名师点睛】本题考查了两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题．9．【浙江省杭州市2018届高三上学期期末考试】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =，3b =，sin 2sin C A =，则sin A =______________，设D 为AB 边上一点，且2BD DA =u u u r u u u r，则BCD △的面积为______________．2【解析】由sin 2sin C A =可得2c a ==所以cos5A ==，所以sin A ==， 又2BD DA =u u u r u u u r，所以点D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，所以2132325BCD S =⨯⨯⨯=△． 10．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足22cos 2A A +=，1b =，ABC S =△，则A =______________，sinB sin b cC +=+______________． 【答案】3π2 【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得1sin(2)62A π+=，可求得2(,)666A ππ7π+∈，利用正弦函数的图象和性质可求A 的值，利用三角形面积公式可求c 的值，进而利用余弦定理可求a 的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解．【解析】因为22cos 2A A =，所以cos 221A A =， 所以1sin(2)62A π+=， 因为0A <<π，所以2(,)666A ππ7π+∈， 所以266A π5π+=，解得3A π=．因为1b =，11sin 122ABC S bc A c ===⨯⨯△ 所以2c =，所以由余弦定理可得a == 所以2sin sin sin b c a B C A+==+．【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比例的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．11．【浙江省宁波市2018届高三上学期期末考试】在锐角ABC △中，已知2A B =，则角B 的取值范围是______________，又若a ，b 分别为角A ，B 的对边，则ab的取值范围是______________．【答案】(,)64ππ【解析】因为在锐角ABC △中，2A B =， 所以()3C A B B =π-+=π-，所以022B π<<且02B π<<且032B π<π-<， 解得64B ππ<<，所以角B 的取值范围是(,)64ππ；又cos 22B <<，所以2sin sin sin22cos 2sin sin sin a R A A B B b R B B B ====∈，故ab的取值范围是． 12．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学试题】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b ab c ++=，且ABC △，则ab 的最小值为______________． 【答案】48【解析】在ABC △中222a b ab c ++=，结合余弦定理2222cos a b ab C c +-=，可得1cos 2C =-，所以sin 2C =，1sin 2ab C =代入化简可得4abc =， 代入222a b ab c ++=中可得222216a b a b ab +=-，因为222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号，所以22216a b ab ab -≥，解不等式可得48ab ≥，所以ab 最小值为48．【名师点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题． 13．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】在ABC △中，A ，B ，C 内角所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =且cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，则c 的最小值为______________．【答案】12【分析】由正弦定理和三角函数的化简可得1sin sin 4B C =，再根据正弦定理即可求出结果．【解析】因为cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，所以sin cos sin cos 4sin sin sin C B B C A B C +=，所以sin()sin 4sin sin sin B C A A B C +==，因为sin 0A ≠，所以1sin sin 4B C =，所以1sin 4sin C B=， 由正弦定理sin sin b c B C =，可得2sin 28sin sin C c C B=⨯=， 当sin 1B =时，min (1sin )4C =， 当1sin 4C =时，则c 的最小值为12． 【名师点睛】本题考查了三角函数的化简与性质和正弦定理的应用，属于中档题．14．【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试】设ABC △的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知2222a b c +=，则tan tan C A =______________，tan B 的最大值为______________．【答案】3- 【解析】因为2222a b c +=，所以由余弦定理可得C 为钝角， 所以222222tan sin cos 2tan cos sin 2b c a c C C A bc a b c A C A a ab+-⋅==+-⋅22222222222222222332b c a b a b a b a b c a b a b b +-++-====-+-+---； 所以tan 3tan C A =-，所以2tan tan 2tan tan tan()tan tan 113tan A C A B A C A C A +=-+===-+213tan tan A A+，由基本不等式可得13tan tan A A +≥tan 3A =时等号成立， 所以tan B=． 15．【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b =3c =，3A C +=π，则cos C =______________，ABC S =△______________．【分析】由b =，3c =，3A C +=π，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式可求出结果．【解析】由于3A C +=π，则3A B C A C ++=+，解得2B C =，由于b =，3c =，利用正弦定理可得则sin2sin b c C C=，即32sin cos sin C C C =，解得cos 3C =， 由222cos 2a b c C ab+-=，可得1a =，又sin C =11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯=△． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆．16．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】如图所示，在ABC △中，D 是边BC 中点，且cos ADC ∠1cos 3C ==，则AC CD的值等于______________，若3AD =，则AB =______________．【答案】32【分析】直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果．【解析】作ACD △的高线AE ，因为cos ADC ∠1cos 3C ==，所以可设3AD AC x ==， 所以CE x =，所以2CD x =，解得32AC CD =； 在ACD △中，利用余弦定理可得2219942323x x x x =+-⨯⨯⨯， 解得1x =，所以3AC =，4BC =，所以2222cos 17AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅⋅=，所以AB =【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数的变换，余弦定理和三角形面积公式的应用．17．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，2sin c A =，c =ABC △的面积为2，则a b +的值为______________． 【答案】52sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，所以sin 2C =， 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=．所以ABC △的面积1sin 242S ab C ===，解得6ab =． 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=．【名师点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题．18．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，且BC 边上的高等于tan A ，则ABC △的周长的取值范围为______________．【答案】(2,1+ 【解析】由题可知11tan sin 22ABC S a A bc A ==△， 故cos 1bc A =222221122b c a b c bc bc +-+-⇒⋅==， 即223b c +=，又222()22b c b c ++≥，则b c +≤ 当且仅当b c =时取等号．又1b c a +>=，则21a b c <++≤，所以ABC △的周长的取值范围为(2,1+．【名师点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，从而求得b c +的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围．19．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】在ABC △中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a c b +-，且C 为钝角，则tan B =______________，c a 的取值范围是______________． 【答案】43 5(,)3+∞ 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理可得tan B ，利用正弦定理可知sin sin c C a A =，根据三角函数恒等变换及三角函数性质可求出其取值范围． 【解析】因为22211sin ()23S ac B a c b ==+-， 所以2223sin cos 42a c b B B ac+-==，即4tan 3B =， 因为C 为钝角，所以4sin 5B =，3cos 5B =， 由正弦定理可得sin sin()sin cos 34cos sin sin sin 55tan cC B A B A B a A A A A+===+=+， 因为C 为钝角，所以2A B π+<，即2A B π<-， 所以1tan A >1tan()2B π-4tan 3B ==， 所以34455533c a >+⨯=， 故c a 的取值范围是5(,)3+∞． 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换及正切函数的性质，属于难题．20．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，2c =，3A π=，则sin a C =______________，a b +的取值范围是______________．(14++【分析】由正弦定理可得sin a C 的值，由正弦定理可以把a b +表示为角C 的函数，由锐角三角形得出角C 的取值范围，进而可得a b +的取值范围．【解析】由正弦定理sin sin a c A C =，可得πsin sin 2sin 3a C c A ===． 由sin sin sin abc A B C ==，可得sin sin sin c A a C C ==，sin sin c B b C ==2π2sin()3sin C C-，所以2sin cos )2111sin sin sin 2sin cos tan 222C C C C a b C C C C C C +++=+=+=+=+， 因为ABC △是锐角三角形， 所以π02C <<，2ππ032C <-<，ππ62C <<， 所以ππ124C <<，所以2tan 12C <<．所以11a b <+<+．故a b +的取值范围是(14++．【名师点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键．21．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知在ABC △中，1cos 3B =，3AB AC ==，延长BC 至D ，使1CD =，则AD =______________，sin CAD ∠=______________．【答案】9【分析】直接利用解三角形知识，根据正弦定理和余弦定理的应用求出结果．【解析】如图所示，在ABC △中，1cos 3B =，3AB AC ==，延长BC 至D ，使1CD =， 则1cos cos 3B ACD =-∠=，所以1cos 3ACD ∠=-． 所以2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，整理得21912313AD =++⨯⨯⨯，解得AD =． 在ACD △中，1cos 3ACD ∠=-， 利用正弦定理sin sin AD CD ACD CAD =∠∠，可得sin 3ACD ∠=．所以sin sin CD ACD CAD AD ⋅∠∠==． 【名师点睛】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和相关的运算问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
专题18 三角函数综合-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
专题18 三角函数综合【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R ． （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）由题可得2222[()][()]124ππsin ()sin ()124y f x x x f x =ππ=++++++ππ1cos(2)1cos(2)136212sin 2)2222x x x x -+-+=+=--π1cos(2)23x =-+． 因此，函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域是[1,1]22-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=．（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换． （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ． （1）求2()3f π的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，可得22211()()()2322f π=----=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =，可得()cos 22f x x x =--2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数sin()y A x ωϕ=+的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即sin()y A x ωϕ=+，然后利用三角函数sin y A u =的性质求解．【命题意图】1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．3．通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力．4．三角函数的图象与性质，高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想． 【命题规律】一般以选择题或填空题的形式考查，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查．试题难度不大，多为低档题． 【答题模板】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下． 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且 3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+， 其中cos ϕϕ==tan b aϕ=4．半角公式（1）sin2α=；（2）cos2α=；（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+． 5．积化和差公式（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-； （2）1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；（3）1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；（4）1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--．6．和差化积公式（1）sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；（2）sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=； （3）cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=； （4）cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-． 7．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-．（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=． （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°． 8．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0，ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数． （2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ．（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间； 由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间． （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解， 令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x ． 利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解， 令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴． 9．三角函数值域的不同求法（1）利用sin x 和cos x 的值域直接求；（2）把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； （3）通过换元，转换成二次函数求值域． 10．已知三角函数解析式求单调区间：（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；（2）求形如y ＝A s in(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．11．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．12．三角函数图象的对称性：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 13．求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义；②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2||ωπ， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为||ωπ．14．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：（1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，[ 则,22M m M mA b -+==． （2）求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得2Tπω=． （3）求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时32x ωϕπ+=． 15．易错提醒（1）讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．（2）闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响，注意最值不一定在区间端点处取到．（3）要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．（4）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知函数()sin()(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且cos 2cos 0ϕϕ+=．（1）求ω和()2f π的值； （2）若3()(0)25f αα=<<π，求sin α．【答案】（1）2ω=，()22f π=-；（2）310+． 【分析】（1）由()f x 的周期可得ω，结合cos 2cos 0ϕϕ+=，且02ϕπ<<，可得3ϕπ=，进而得()sin(2)3f x x π=+，代入计算即可得()2f π的值；（2）由3()(0)25f αα=<<π，得4co s ()35απ+=-，则sin sin[()]33a a ππ=+-，化简即可求值．【解析】（1）因为函数()sin()(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=． 因为cos 2cos 0ϕϕ+=，所以22cos 1cos 0ϕϕ-+=，解得cos 1ϕ=-（舍去）或1cos 2ϕ=， 因为02ϕπ<<，所以3ϕπ=，所以()sin(2)3f x x π=+，所以()sin()232f ππ=π+=-．（2）因为3()sin()235f ααπ=+=<，所以2απ+为钝角，所以4cos()35απ+==-， 所以(sin sin 3[])3a αππ-+= sin cos cos sin 33()()33ααππ=-ππ++314525=⨯+=． 【名师点睛】本题考查了求三角函数的解析式，同角三角函数的关系，两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题．2．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知函数．（1）求的值；（2）当，时，求函数的取值范围．【答案】（1）1；（2），．【分析】（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可求解的值；（2）由（1）得，当，时，得，，即可求解的取值范围．【解析】（1）由题可得，则．（2）由（1）得，当，时，，，则，，即的取值范围为，．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象与性质的最基本知识点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数，其中，3．且．（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递减区间．；（2）[，]．【答案】（1）4【分析】（1）由 及函数 的解析式可得出4；（2）将原式化简为，然后根据周期计算公式和正弦的递减区间求法即可得结论．【解析】（1）由题可得= ，又，所以，所以4．（2）由（1）可得， 所以函数 最小正周期 ，函数 单调递减区间为[，] ．【名师点睛】考查三角函数的化简和基本性质，正确化简是解题关键，属于基础题． 4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，在单位圆上，∠AOB ＝α(62αππ<<)，∠ BOC＝3π ，且△AO C（1）求sin α的值； （1）求2cos()sin(()2326ααππ-+．【答案】（1；（2）87．【分析】由题意先求得sin()3απ+，再利用两角差的正弦公式求得结果．【解析】（1）由题可得1sin()23AOC S απ=+=△，所以sin()3απ+=， 因为62απ<<π，所以5236απππ<+<，所以1cos()37απ+=-， 所以sin sin()33ααππ=+-sin()cos cos()sin 3333ααππππ=+-+1127+ （2）因为cos()cos()sin()2326226αααππππ-=+-=+， 所以282cos()sin()2sin ()1cos()23262637ααααππππ-+=+=-+=． 【名师点睛】本题主要考查诱导公式及同角基本关系式的应用，考查了两角差的正弦公式、二倍角公式，属于中档题．5．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知函数． （1）求函数 的对称轴方程；（2）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，若关于x 的方程 在 ，上恰有一解，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）对称轴方程为， ．（2） ， ．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数 的对称轴方程；（2）由题意在 ，上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数的图象，求得实数m 的取值范围．【解析】（1）由题可得函数，令，可得， ，故函数 的对称轴方程为， ．（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象，若关于x 的方程 在 ，上恰有一解，即在 ，上恰有一解， 即在 ，上恰有一解．在 ，上，，，函数，当，时，单调递增；当，时，单调递减，而 ，，，所以或，解得 或 ，即实数m 的取值范围 ， ．【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题． 6．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若()6f α=，3(,)88αππ∈，求cos2α的值．【答案】（1）3[,]()88k k k π-π+π+π∈Z ；（2【解析】（1）由题可得11cos21()sin2)2224x f x x x +π=+-=+， 令222242k x k πππ-+π≤+≤+π，可得88k x k 3π-π+π≤≤+π， 函数()f x 的单调增区间是3[,]()88k k k π-π+π+π∈Z ．（2）由()6f α=，可得1sin(2)43απ+=，因为3(,)88απ∈π，所以2(,)42αππ+∈π，所以cos(2)4απ+=所以cos2cos[(2)]44ααππ=+-=7．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】已知函数()sin cos )222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()f B =，且b =22a c +的取值范围． 【答案】（1）π5π[2π,2π]66k k -++，k ∈Z ；（2）(3,6]．【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式可得函数π()sin()3f x x =-+间；（2）由()f B =可得π=3B ，利用余弦定理可以得到,a c 的关系式，再利用基本不等式可求22a c +的取值范围．【解析】（1）由题可得2()sin cos 222x x x f x =+1cos )sin 22x x =-+πsin()32x =-+， 所以πππ2π2π232k x k -+<-<+，解得π5π2π2π66k x k -+<<+，k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]66k k -++，k ∈Z ．（2）因为π()sin()322f B B =-+=，所以πsin()03B -=，所以π=3B ．又b =223a c ac =+-，即22=3+a c ac +，而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤， 又2233a c ac +=+>，所以2236a c <+≤， 故22a c +的取值范围为(3,6]．【名师点睛】（1）对于形如()sin cos f x a x b x ωω=+的函数，我们可将其化简为()f x =)x ωϕ+，其中cos ϕ=sin ϕ=；（2）解三角形中的范围问题，可以利用正弦定理把目标函数转为关于角的三角函数，也可以利用基本不等式及已知的等式关系求出相应的范围．8．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）】已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）． （1）求π()3f 的值；（2）当π[0,]2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(1,)2--．【解析】（1）21()cos cos 2f x x x x =-+1=2cos 222x x -π=sin(2)6x -，所以π()13f =．（2）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x -≤-≤，所以1sin 226x π-≤-≤（）1． 由不等式()2c f x c <<+恒成立，可得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-． 所以实数c 的取值范围为1(1,)2--．【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；（2）首先求得函数()f x 在区间π[0,]2上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组，求解不等式组可得c 的取值范围．9．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+． （1）求7()12f π的值； （2）已知锐角ABC △，()1f A =，12ABC S =△，b c +=a ． 【答案】（1）0；（21．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，即可代入求值；（2）由()f A =2sin(2)16A π-=，可得6A π=，由三角形的面积公式，余弦定理可求a 的值．【解析】由题可得2()cos 2cos 1cos22sin(2)6f x x x x x x x π=-+=-=-，（1）77()2sin(2)2sin 012126f πππ=⨯-=π=． （2）由()2sin(2)16f A A π=-=，可得1sin(2)62A π-=，因为(0,)2A π∈，所以52(,)666A πππ-∈-，所以266A ππ-=，解得6A π=，因为111sin 242ABC S bc A bc ===△，b c +=所以2bc =，224b c +=，所以2222cos 4224a b c bc A =+-=-⨯=-，所以1a ==．10．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知函数 ．（1）求 的最小正周期；（2）若在 中 ，，求的值． 【答案】（1） ；（2） 或．【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数 ，再求其最小正周期；（2）先化简 ，得到，B =或，，再利用正弦定理求的值．【解析】（1）由题可得， 所以函数 的最小正周期为．（2）因为 ，所以， 因为A +B =，所以，所以， 所以，所以，所以 ，所以 或． 所以 ，B = 或 ，． 所以或．【名师点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力；（2）解答本题注意不要漏解，或．11．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试】已知函数2()cos(2)sin (0)2f x x x ϕϕ=++≤<π．（1）若6ϕπ=，求()f x 的值域； （2）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．【答案】（1）[0,1]；（2）2π．【分析】（1）6ϕπ=时，化简函数()f x ，利用三角函数的性质求出()f x 的值域；（2）化简函数()f x ，根据三角函数的图象与性质求出ϕ的值．【解析】（1）由题可得1111()cos2cos(2)42232f x x x x π=+=++， 所以函数()f x 的值域为[0,1]．（2）由题意11())cos 2sin222f x x x ϕϕ=--+， 因为函数()f x 的最大值为32，所以221))12ϕϕ-+=，所以cos 0ϕ=， 又0ϕ≤<π，所以2ϕπ=． 【名师点睛】对三角函数考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解．12．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二】已知函数．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求在[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最小值为0，最大值为．【分析】（1）将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值．【解析】（1）由题可得，所以的最小正周期为．（2）因为，，所以，所以当，即时，；当，即时，．综上，的最小值为0，最大值为．【名师点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题．13．【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知向量，，，，函数．（1）求图象的对称中心；（2）求在区间[，]上的最大值和最小值，并求出相应的值．【答案】（1），，；（2）时，最小值为，时，最大值为．【分析】（1）首先利用向量的数量积坐标公式求得函数 的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果；（2）根据题中所给的 ，，可以得到， ，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值．【解析】（1）由题可得， 令，得， ，所以对称中心为， ， ．（2）当 ， 时，，，， ， ， ，且时，最小值为 ，时，最大值为 ．【名师点睛】该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记 ．14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数2()2cos cos f x x x x =-．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求方程1()3f x =-在区间[0,]2π内的所有实根之和． 【答案】（1）[,]63k k πππ-π+，k ∈Z ；（2）23π． 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数性质即可求减区间；（2）根据正弦函数图象与性质求简单三角方程的根．【解析】（1）由题可得()1cos212sin(2)6f x x x x π=+=--， 由()f x 单调递减可知，sin(2)6x π-递增，故222262k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，即63k x k πππ-≤≤π+． 所以函数()f x 的单调递增区间是[,]63k k πππ-π+，k ∈Z ．（2）由112sin(2)63x π--=-，可得2sin(2)63x π-=．由sin(2)6x π-在[0,]3π上递增，在[,]32ππ上递减，且12123<<， 可得方程2sin(2)63x π-=在[0,]2π上有两不等实根α，β，且23αβ+π=． 所以23αβπ+=，故方程1()3f x =-在区间[0,]2π内的所有实根之和为23π．【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图象与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题．15．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】已知函数()),4f x x x π=+∈R ．（1）求函数()f x 在[0,]4π上的值域； （2）若01()3f x =，求0tan x ． 【答案】（1）；（2）34． 【分析】（1）根据[0,]4x π∈可求得24x π+的范围，利用正弦函数在3[,]44ππ的图象特点可求得函数()f x 在[0,]4π上的值域；（2）将()f x 展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可．【解析】（1）因为[0,]4x π∈，所以32444x πππ≤+≤， 当242x ππ+=时，()f x， 当244x ππ+=时，()f x 最小为1， 所以函数()f x 在[0,]4π上的值域为；（2）由题可得22222sin cos cos sin ())sin2cos24cos sin x x x xf x x x x x xπ+-=+=+=+，因为01()3f x =，所以22000022002sin cos cos sin 1cos sin 3x x x x x x +-=+， 化简可得2002tan 3tan 10x x --=，所以0tan x =【名师点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．16．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知函数．（1）求的值；（2）设 是 中的最小角，，求的值． 【答案】（1） ；（2）．【分析】（1）代入函数 的解析式求值即可；（2）化 为正弦型函数，根据， 的值求的值． 【解析】（1）由题可得．（2），因为 ， ，所以 ，，所以 ， ， ，， 所以．17．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】已知函数2()cos cos()2f x x x x π=+．（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值． （2）若01()10=-f x ，0(,)123x ππ∈，求0cos 2x 的值．【答案】（1）当,6x k k π=-+π∈Z 时，max 3()2=f x ；（2． 【分析】（1）化简函数()f x ，结合正弦函数的图象与性质得到结果； （2）利用两角和余弦公式即可得到0cos2x 的值．【解析】（1）由题可得2()cos cos()2f x x x x π=+1cos 2sin 222x x +=-1sin(2)62x π=--+， 故当,6x k k π=-+π∈Z 时，max 3()2=f x ． （2）因为01()10f x =-，0(,)123x ππ∈， 所以011sin(2)6210x π--+=-，即03sin(2)65x π-=， 又02(0,)62x ππ-∈，所以04cos(2)65x π-=，所以00003cos2cos[(2)]?cos(2)cos ?sin(2)sin 66666610x x x x ππππππ=-+=---=． 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系．。
《高考真题》专题17 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题17 解三角形综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【答案】（1）5；（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=， 故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.【命题意图】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象. 【命题规律】解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 常见的命题角度有：（1）直接利用正、余弦定理解三角形； （2）与三角形面积有关的问题； （3）三角形形状的判断；（4）解三角形与三角恒等变换相结合． 【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向. 第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步，求结果.第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【方法总结】（一）利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等．（2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=. （二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. （三）求三角形面积的方法（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． （四）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． （五）三角形中的综合问题（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.1．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】已知△ABC 中，π4A =，3cos 5B =，8AC =.（1）求△ABC 的面积； （2）求AB 边上的中线CD 的长. 【答案】（1）28；（2）2CD =. 【解析】（1）3cos ,5B =且(0,π)B ∈，∴4sin 5B ==．sin sin(π)sin()C A B A B ∴=--=+34sin cos cos sin 252510A B A B =+=+⨯=. 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin AC ABB C=，即84510=解得AB = 所以△ABC的面积为11sin 82822S AB AC A =⋅⋅=⨯=. （2）在△ACD中，2AD =， 所以由余弦定理得222658282CD =+-⨯⨯=，所以CD =． 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查了同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题.（1）由3cos 5B =即可求得4sin 5B =，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得sin C =利用正弦定理即可求得AB =. （2）在△ACD 中，由余弦定理列方程即可得解.2．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学试题】已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos b A C c A B +=. （1）求sin A ；（2）若a =，4b =，求c .【答案】（1）sin A =；（2）1c =.【解析】（1）因为sin cos sin cos 4b A Cc A B +=，所以由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=， 因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B +=所以sin()B C +=，所以sin(π)A -=，所以sin A =． （2）解法一：因为V ABC 为锐角三角形，所以A 为锐角，因为sin A =， 所以1cos 4A =．因为a =，4b =，所以由余弦定理得(22214244c c =+-⨯⨯⨯，所以2220c c --=，所以1c =. 解法二：因为V ABC 为锐角三角形， 所以A ，B 为锐角，因为a =，4b =，所以由正弦定理得4sin sin 6b A B a ⨯===，所以cos B =因为sin A =， 所以1cos 4A =． 所以sin sin[π()]C A B =-+sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+=，由正弦定理得sin 1sin a Cc A==. 【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题. （1）由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=，进而sin()B C +=，则sin A 可求；（2）解法一：由余弦定理得c 的方程求解即可；解法二：由正弦定理得sin sin b A B a ==得sin sin[π()]C A B =-+1)24=，再利用正弦定理得c 即可.3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学试题】在V ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos sin sin sin .C B A A C -=- （1）求角B 的大小；（2）若V ABC 的面积为b =，求a c +的值. 【答案】（1）π3；（2）7. 【解析】（1）2222222c cos 1sin 1sin sin si os n sin sin sin C B C B B C A A C -=--+=-=-， 由正弦定理得：222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，()0,πB ∈，π3B ∴=.（2）11πsin sin 2234S ac B ac ac ====， 12ac ∴=，由余弦定理可得：()()22222π2cos 22cos36133b ac ac B a c ac ac a c =+-=+--=+-=， 即()249a c +=，7a c ∴+=.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型. （1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为222a c b ac +-=；利用余弦定理可求得cos B ，从而得到B ；（2）利用三角形面积公式可求得ac ；利用余弦定理可构造关于a c +的方程，解方程求得结果. 4．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．【答案】（1）见解析；（2）2+. 【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C B C B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=， sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =，∴△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+【名师点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及两角和正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.（1）将正切化弦，结合两角和正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，再由正弦定理可得到结论；（2）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（1）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果.5．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos cos cos C A B A B +=． （1）求cos B 的值；（2）若2a c +=，求b 的取值范围.【答案】（1）13；（2）23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】（1）因为cos cos cos cos C A B A B +=，所以cos()cos cos cos A B A B A B -++=，即sin sin cos A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =>， 又因为22sin cos 1B B +=， 解得：1cos 3B =. （2）∵2a c +=，可得2c a =-，由余弦定理可得：2222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---=-+，∵02a <<，2b ≤<，∴b 的取值范围为2⎫⎪⎪⎣⎭. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值． （2）由（1）可求1cos 3B =，又由2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围．6．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】在△ABC 中，AB C ，，的对边分别为a b c ，，，60,cos A B ︒==（1）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （2）若 cos cos 2c B b C +=，求△ABC 的面积. 【答案】（1）4；（2【解析】（1）因为cos 3B =，所以sin B =， ()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B =+=+=+⨯=， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===. （2）由cos cos 2c B b C +=，得222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以由sin sin a b A B =，得sin sin 3a Bb A ==故11sin 2223△ABC S ab C ==⨯⨯=【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题. （1）根据正弦定理可得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD ∠，从而sin sin DC BBD C=，根据条件求出sin ,sin B C 即可；（2）由余弦定理化简条件 cos cos 2c B b C +=可得2a =，利用正弦定理及三角形面积公式1sin 2△ABC S ab C =即可求解. 7．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，△ABC 的面积为22sin AD B. （1）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（2）若2BD AB =，AD =b .【答案】（1）12；（2）b =【解析】（1）由△ABC 的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：△ABD 的面积为24sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=， 所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=. （2）因为2BD AB =，所以在△ABD 中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠， 由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=， 因为(0,π)BAD ∠∈， 所以π2BAD ∠=，在直角△ABD 中，AD =1sin 2BDA ∠=， 所以2BD =，1AB =. 因为2BC BD =， 所以4BC =，在△ABC 中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=，所以b =.【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力. 8．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin 2sin 3sin A B C +=，3sin a A =. （1）求△ABC 外接圆的面积； （2）求边c 的最大值.【答案】（1）9π4；（2. 【解析】（1）设△ABC 外接圆的半径为R ， 由3sin a A =，利用正弦定理可得23sin a R A ==，解得32R =， 所以外接圆的面积为29ππ4S R ==. （2）由222sin 2sin 3sin A B C +=及正弦定理可得22223a b c +=，由余弦定理，得222223(2cos )a b a b ab C +=+-，整理得226cos 2ab C a b =+，即cos 363a b C b a =+≥=，则sin 3C ==，当且仅当b =时取等号，由正弦定理得2sin 3sin c R C C ==≤所以边长c .【名师点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. （1）由题意，利用正弦定理可得23sin a R A ==，解得32R =，即可求解外接圆的面积；（2）由22223a b c+=及余弦定理，整理得226cos 2ab C a b =+，利用基本不等式求得cos 3C ≥，进而得到sin C ≤，再由正弦定理，即可求解边长c 的最大值. 9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学试题】如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求△BCE 的面积. 【答案】（1）10；（2）607. 【解析】（1）因为D 在边BC 上， 所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在△ADB 和△ADC 中，由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =， 所以229529160BD BD +-++-=， 所以225BD =，即5BD =. 所以边BC 的长为10.（2）由（1）知△ADC 为直角三角形， 所以14362△ADC S =⨯⨯=，212△△ABC ADC S S ==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2△△ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25△△△△△ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S =+=+7125△BCE S ==，所以607△BCE S =，即△BCE 的面积为607. 【名师点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．（1）由题意可得cos ∠ADB ＝﹣cos ∠ADC ，由已知利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2﹣16＝0，进而解得BC 的值．（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1432=⨯⨯=6，S △ABC ＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得25△△ACE BCE S S =，根据S △ABC ＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值． 10．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知△ABC 中2π3ACB ∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 周长的最大值． 【答案】（1）7c =；（2）2. 【解析】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，2b a c b ∴-=-=， 2b c ∴=-，4a c =-，2π3ACB ∠=， ∴由余弦定理得：()()()()222222422π1cos322242c c c a b c abc c -+--+-===---，整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c =， 又40a c =->，则4c >，7c ∴=.（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2ππR =，解得：1R =， 由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C====， 22ππsin sin sin 33ba c∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭θθ， 可得：2sin b θ=，2sin π3a ⎛⎫=-⎪⎝⎭θ，c =，∴△ABC 的周长()π2sin 2sin 3f a b c ⎛⎫=++=+-+⎪⎝⎭θθθππ2sin 2sin cos 2cos sin 33=+-θθθsin =++θθπ2sin 3⎛⎫=++ ⎪⎝⎭θ又π0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭θ， ππ2π333∴<+<θ， ∴当ππ32+=θ，即6π=θ时，()f θ取得最大值2.∴△ABC 周长的最大值为2.【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()fθ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.11．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知向量()sin ,cos ,x x =a =b ),cos x x (),f x =⋅a b .（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在△ABC 中，3sin BC B C ==，若()1f A =，求△ABC 的周长.【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()2cos cos f x x x x =+11cos222x x =++，所以()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由题意可得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<， 所以π5π2=66A +，故π3A =.设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则2222cos a b c bc A =+-. 所以2227a b c bc =+-=， 又sin 3sin B C =， 所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =. 所以3,b =故△ABC 的周长为4【名师点睛】本题考查正余弦定理、辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查计算化简的能力，属基础题.（1）由向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入公式即可求得最小正周期. （2）由()1f A =，可得π3A =，结合正弦、余弦定理，可求得b ，c 的值，即可求解周长.。
专题18 立体几何综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版) Word版含解析
专题18 立体几何综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =． 设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --． 【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）4. 【解析】方法一：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）在平面DEF 中，过P 作PH ⊥EF 于点H ，连接DH ，如图，由于EF 为平面ABCD 和平面PEF 的交线，PH ⊥EF ， 则PH ⊥平面ABFD ，故PH ⊥DH . 则DP 与平面ABFD 所成的角为PDH ∠. 在三棱锥P -DEF 中，可以利用等体积法求PH . 因为DE ∥BF 且PF ⊥BF ，所以PF ⊥DE ， 又△≌△PDF CDF ，所以∠FPD =∠FCD =90°，所以PF ⊥PD ，由于DE ∩PD =D ，则PF ⊥平面PDE ， 故13F PDE PDE V PF S -=⋅△， 因为BF ∥DA 且BF ⊥平面PEF ， 所以DA ⊥平面PEF ， 所以DE ⊥EP .设正方形的边长为2a ，则PD =2a ，DE =a ，在△PDE 中，PE =，所以2PDE S =△，故36F PDE V a -=， 又2122DEF S a a a =⋅=△，所以23F PDE V PH a -==，所以在△PHD 中，sin PH PDH PD ∠==故DP 与平面ABFD 方法二：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE . 又DP =2，DE =1，所以PE. 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得32PH EH ==.则33(0,0,0),(0,0,(1,,0),(1,,2222H P D DP --=(0,0,2HP =为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||4||||3HP DP HPDP θ⋅===. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为4. 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3-. 【解析】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ， 从而AB ⊥平面P AD .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ， 由（1）可知，AB ⊥平面PAD ， 故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A，(0,0,2P，2B，(,1,0)2C -.所以(PC =-，(2,0,0)CB =，2(PA =，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,220,x y z ⎧-+-=⎪⎨=可取(0,1,=-n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为【思路点拨】（1）根据题设条件可以得出AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB//CD ，就可证明出AB ⊥平面P AD ，进而证明出平面P AB ⊥平面P AD .（2）先找出AD 中点，找出相互垂直的线，建立以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，(,,)x y z =m 是平面PAB的法向量，根据垂直关系，求出(0,1,=-n 和(1,0,1)=m ，利用数量积公式可求出二面角的平面角.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等． 【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. 【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： （1）建立恰当的空间直角坐标系； （2）求出相关点的坐标； （3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算； （5）转化为几何结论． 【方法总结】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a 2，b 2，c 2)，v =(a 3，b 3，c 3)，则 （1）线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ=0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2=0； （2）线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ=λv ⇔a 2=λa 3，b 2=λb 3，c 2=λc 3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v =0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a =λb （λ∈R ）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β=||||AC BD AC BD ⋅⋅uuu r uu u ruuur uu u r . 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|. 3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ=(a 3，b 3，c 3)，直线l 与平面α的夹角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则||sin |cos ,|||||θ⋅==〈〉a a a μμμ.4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a 3，b 3，c 3)，v =(a 4，b 4，c 4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|||cos ||cos ,|||||θ⋅==〈〉v v v μμμ.5.用向量解决探索性问题的方法（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，∥EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB =， 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-， 设平面APC 的法向量为(),,x y z =m ，则00AP AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，可得22,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ，∴cos ,1AB AB AB⋅===⋅mm m 解得13λ=或1λ=-（舍去）， ∴PF =【名师点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1∥CB 平面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，平面CAB ⊥平面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）29. 【解析】（1）连接1AB ，交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11△∽△AGA B GE ，所以1112AA AG GB EB ==， 又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1∥FG CB ， 又1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ， 所以1∥CB 平面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点．因为平面CAB ⊥平面11ABB A ，平面CAB 平面11ABB A AB =，所以CO ⊥平面1ABA ，连接1OA ，因为1△ABA 是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标， 不妨设2AB =，则(1,0,0)A，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =，得1(B -， 则1BB的中点3(2E -，从而13(,,0)22A E =--，112(,)33A F =.设平面1A FE 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则111100A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111113022033x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，得一组解为11115x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩1(1=-n .易知平面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，则121212cos ,29⋅<>==n n n n n n ，所以二面角1F A E A --的余弦值为29. 【名师点睛】本题考查直线与平面平行的证明，二面角的余弦值的求解，考查空间想象能力以及推理计算能力．3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，∥CD AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O (如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）45°. 【解析】（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =. 又∥CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形， 又BC CD ⊥，则AB OD ⊥，由AE BE =，OB OA =，得EO AB ⊥. 又EODO O =，则AB ⊥平面EOD ．又AB Ì平面ABE ， 故平面ABE ⊥平面EOD ．（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，△EAB 为等腰直角三角形，且AB =2CD =2BC ，则OA OB OD OE ===， 取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1），则1,0,0（)CD =-，(0,1,1）DE =-， 设平面ECD 的法向量为（，，）x y z =n ，则0,0,CD DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 即0x y z -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得平面ECD 的一个法向量011（，，）=n ， 因为OD ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为010OD =（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,2=OD θ==n ， 因为(0,90)θ∈︒，所以45θ=︒，故平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为45°. 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题的关键在于熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形11ADD A ，11CDD C 为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（2）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）因为11B A ⊥平面11ADD A ， 所以111B A DD ⊥， 又11111111,DD D A B A D A A ⊥=，所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 又因为11//DD CC ， 所以1CC ⊥平面1111D C B A ， 又11B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，平面11ADD A 平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥，所以11C D ⊥平面11ADD A ，经计算可得1111B E BC EC 从而2221111B E B C EC =+，所以在11△B EC 中，111B C C E ⊥， 又11,CC C E ⊂平面1111,CC E CC C E C =，所以11B C ⊥平面1CC E .（2）如图，以点A 为原点，1,AD AA 所在的直线分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，，，，，()()11,2,10,1,0C E ，.则1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--，， 设平面1B CE 的法向量为(,,)x y z =m ，则100，，B C CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m 即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，，消去x ，得20y z +=， 不妨设1z =，可得()3,2,1=--m ， 又()111,0,1B C =-，设直线11B C 与平面1B CE 所成的角为θ，于是111111sin cos ,14||B C B CB C θ⋅====⋅m m m故直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值为7. 【名师点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.解题的关键是认真审题，注意合理转化，计算准确.5．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学】如图，在四棱锥S ABCD -中，△BCD 为等边三角形，,120AD AB SD SB BAD ===∠=︒.（1）若点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，求证：平面∥BMN 平面SAD ； （2）若二面角S BD C --为直二面角，求直线AC 与平面SCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）13. 【解析】（1）△BCD 为等边三角形，且N 是线段CD 的中点，90BND ∴∠=︒，AD AB =，120BAD ∠=︒，30ADB ABD ∴∠=∠=︒，90ADC ∴∠=︒，∥BN AD ∴，BN ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，∥BN ∴平面SAD ，点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，∥MN SD ∴，MN ⊄平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，∥MN ∴平面SAD ， MNBN N =，∴平面∥BMN 平面SAD .（2）如图，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，SO BD ⊥， 二面角S BD C --为直二面角，SO ∴⊥平面ABCD ，不妨设2AB =，则1SO AO ==，BO DO ==3CO =，以O 为坐标原点，,,OC OB OS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系则()0,0,1S ，()1,0,0A -，()3,0,0C ，()0,D ，()DC ∴=，()DS =，()4,0,0AC =，设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00DC DS ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n，即30x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3y =，得1x =-，3=-z，()3∴=--n ，cos ,4AC C A A C ⋅∴<>===n n n， ∴直线AC 与平面SCD .【名师点睛】本题考查面面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，关键是能够利用面面垂直的性质证得线面垂直，从而建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量法来求解线面角.6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11CAB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且1A M AC =.令122AA AC CB ===，则1A M =以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，(1C -，()0,1,0B ，(1A ，()2,0,0CA =，(()111110,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+(=-，(1CA =.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，所以20x x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则y =()0,=n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C，所以(1CA =是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA⋅<>=⋅n nn4==.所以二面角11C AB C --【名师点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求解，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量法求解空间角，是中档题．7．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线∥OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为直线MF ⊂平面ABFE ， 故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上，如图所示，因为AO BF ，M 为AB 的中点，所以△≌△OAM MBF ，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =，连结DF ，交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点，连结MN ，因为MN 为△DOF 的中位线，所以MN OD ，又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD 平面EMC . （2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，D，(0,C ，(1,4,0)F -，所以ED =，(1,EC =，设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =，设平面EMC 的法向量为(,,)x y z =m，则200040x ty EM EC x y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩m m ，取2y =-，则x t =，z = 所以平面EMC的一个法向量为,t ⎛=- ⎝m ， 因为DE 与平面EMC 所成的角为60︒2=，=，所以2430t t -+=， 解得1t =或3t =，所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒，取ED 的中点Q ，则QA 为平面CEF 的法向量，因为1,0,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,0,22QA ⎛=- ⎝⎭，,t ⎛=- ⎝m ， 设二面角M EC F --的大小为θ，所以|||cos |||||QA QA θ⋅===⋅m m ，因为当2t =时，cos 0θ=，平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时，θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时，θ为锐角，所以1cos 4θ=. 【名师点睛】此题考查了线面平行的证明，用空间向量法解决线面所成的角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中．。
2019年高考全国Ⅲ卷理科数学(解析版)
2019年高考全国Ⅲ卷理科数学（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}A【考查目标】本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．2．若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋iD【考查目标】本题主要考查复数的四则运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2＋2i2＝1＋i.3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8C【考查目标】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7. 4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C ．20D ．24A 【考查目标】 本题主要考查二项展开式通项公式的应用，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2C 【考查目标】 本题主要考查等比数列通项公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1D 【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.7．函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )B 【考查目标】 本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 因为f (x )＝2x 32x ＋2－x ，所以f (－x )＝－2x 32－x＋2x ＝－f (x )，且x ∈[－6，6]，所以函数y ＝2x 32x ＋2－x 为奇函数，排除C ；当x ＞0时，f (x )＝2x 32x ＋2－x ＞0恒成立，排除D ；因为f (4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( ) A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线B 【考查目标】 本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解析】 取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，选B.9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( ) A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127C 【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解析】 执行程序框图，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＝2－121，x ＝14，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＝2－122，x ＝18，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＝2－123，x ＝116，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x ＝132，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x ＝164，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x ＝1128，满足x ＜ε＝1100，输出s ＝2－126，选C.10．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324B ．322C ．2 2D ．32A 【考查目标】 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 11．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－32)＞f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－23)＞f (2－32) C ．f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)＞f (2－32)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 C 【考查目标】 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象．【解析】 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314. 12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④D 【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理．【解析】 如图，根据题意知，x A ≤2π＜x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π＜x B ，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________． 23【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a |·|c |＝21×4＋5＝23. 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．4 【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4. 15．设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．(3，15) 【考查目标】 本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.118．8 【考查目标】 本题主要考查空间几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力与运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．【解题关键】 求解本题的关键是运用平面几何知识求得四边形EFGH 的面积．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．(12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 【考查目标】 本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图能力、阅读理解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．【解题思路】 (1)根据P (C )的估计值为0.70及频率之和为1可求得a ，b 的值；(2)根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值． 解：(1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【考查目标】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C ＜90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【误区警示】 确定a 的范围时，要注意该三角形为锐角三角形，每个角均为锐角． 19．(12分)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2. (1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B CG A 的大小．【考查目标】 本题主要考查四点共面、面面垂直的证明、二面角的求解，考查考生的推理论证能力与空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)根据AD ∥CG 可证明四点共面，通过证明AB ⊥平面BCGE 即可证明面面垂直；(2)过E 作BC 的垂线，以垂足为原点，BC 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角．解：(1)由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz ，则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B CG A 的大小为30°.【解后反思】 (1)证明空间线面位置关系时思路要清晰，证明过程中的条件要写全，步骤要规范；(2)本题没有直接建立空间直角坐标系的条件，需要证明垂直关系，才能建立坐标系． 20．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【考查目标】 本题主要考查导数在研究三次函数单调性、最值中的应用，考查考生的运算求解能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)求出导函数，分a ＞0，a ＝0，a ＜0讨论即可；(2)根据(1)中函数的单调性，结合已知区间分a ≤0，a ≥3，0＜a ＜3求解满足题意的a ，b . 解：(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增； 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(ⅲ)当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1. 21．(12分)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【考查目标】 本题主要考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想和化归与转化思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算． 解：(1)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 【真题互鉴】 本题第(1)问考查的是抛物线的阿基米德三角形，与2018年全国Ⅲ卷理科第16题背景一样，弦AB 必过焦点． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．【考查目标】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)分别求出三段弧所在圆的极坐标方程，再确定极角的取值范围；(2)根据(1)中得到的三段曲线，求出每段曲线上到原点的距离为3的所有点对应的极角即可．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)． 【解题关键】 解决本题的关键是求极角的取值范围，需要考生准确理解极角的含义．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 【考查目标】 本题主要考查基本不等式在求最值、不等式恒成立求参数问题中的应用，考查考生的化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)利用完全平方式、基本不等式求解最值即可；(2)仿照(1)的转化求解出式子的最小值，再解不等式即可证明．解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
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【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】（1）3B π=；（2）(,82． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦专题18 解三角形综合定理求解），最后考查△ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
考查的很全面，是一道很好的考题． 【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin 0A A =，ab =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【答案】（1）4c = ；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =． 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=．解得6c =-（舍去），4c =．（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=． 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅． 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力． 【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，有时也以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有： （1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题． 【知识总结】 1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理 正弦定理余弦定理内容sin a A =sin b B =sin cC=2R ． a 2=b 2+c 2–2bc cos A ；b 2=c 2+a 2–2ca cos B ； c 2=a 2+b 2–2ab cos C ．变形（1）a=2R sin A ，b=2R sin B ，c=2R sin C ； （2）sin A=2a R ，sin B=2bR，sin C=2cR； （3）a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C ； （4）a sin B=b sin A ，b sin C=c sin B ，a sin C=c sin A ； （5）sin sin sin a b c A B C ++++=sin aA=2R ．cos A=222–2b c a bc +；cos B=222–2c a b ac +；cos C=222–2a b c ab+．解决的问题（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．（1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（3）已知两边和其中一边的对角，求其他角和边．2．三角形中的常见结论在△ABC 中，常有下列结论： （1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b ⇔A>B ⇔sin A>sin B ． （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tan C ；sin2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ． 3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）．【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有： ①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状． 注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知在ABC △中．,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c +-=，ABC △的面积为 （1）求角C 的大小；（2）若c =，求sin sin A B +的值． 【答案】（1）π3；（2）32．【解析】（1）由ABC △的面积为1sin 2ab C = 由2228a b c +-=及余弦定理可得2cos 8ab C =，故tan 3C ==π； （2）∵,2cos 8,83C ab C ab ==∴=π，又2228,a b c c +-==6a b +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==， 得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+=． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图，在ABC △中，4AB =，点D 在边BC的延长线上，已知7cos 9CAD =∠，AC AD ==（1）求sin B 的值； （2）求ABC △的面积．【答案】（1）sin 3B =；（2）【解析】（1）在ACD △中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠729=+-，所以CD =， 在ACD △中，221cos 23AC CD AD ACD AC CD +-∠==⋅．因为()0,ACD ∠∈π，所以sin 3ACD ∠=，所以()sin sin sin ACB ACD ACD ∠=π-∠=∠=． 在ACB △中，sin sin AC ABB ACB=∠．所以3sin 4B ==，（2）()1cos cos cos 3ACB ACD ACD ∠=π-∠=-∠=-． 在ABC △中，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠．所以21003BC BC +-=，解得BC =所以ABC △的面积为11sin 422AB BC B ⋅=⨯= 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理、以及三角形的面积公式即可，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222333b c a +-=． （1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A =；（2）2+【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a +-=，所以222cos 2b c a A bc +-==从而1sin 3A ===．（2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =．因为ABC △，所以1sin 2bc A =即21123=24c =，解得2c =． 【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos b B a A A B -=，a b ¹． （1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S =【解析】（1）由sin sin cos cos b B a A A B -=-及正弦定理得，22sin sin B A -cos cos A A B B =，∴1cos21cos222B A --- A B =，cos2cos2A A B B -=-， 即2sin 22sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又a b ≠，∴2266A B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23A B π+=， ∴()3C A B π=π-+=． （2）由12CD CA CB u u u v u u u v u u u v =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，② 由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 24S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．5．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】如图所示，在平面四边形ABCD 中，2BC CD ==，BCD △的面积是2．（1）求BCD ∠的大小；（2）若260ABD ACB ∠=∠=o ，求线段AD 的长．【答案】（1）90︒；（2）AD =【解析】（1）在BCD △中，2BC CD ==，12BCD S =△sin 2BC CD BCD ⨯⨯⨯=，解得sin 1BCD =， 90BCD ︒∴∠=．（2）由2BC CD ==，90BCD ︒∠=，得到45,CBD BD ︒∠==260ABD ACB ︒∠=∠=Q ，45,45CBD CAB ︒︒∠=∴∠=，在ABC △中，由正弦定理有：sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即2sin30sin45AB ︒︒==在BAD △中由余弦定理有：(22226AD ︒=+-⨯=，AD ∴=【名师点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据． 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答．6．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()222222(2sin sin )sin a b c A B ac b B +--=+-．（1）求角C ；（2）若c =ABC △的中线2CD =，求ABC △的面积．【答案】（1）π3C =；（2）S = 【解析】（1）∵()()2222sin sin a b cA B +--= ()222sin ac b B +-．∴()2cos 2sin sin 2cos sin ab C A B ac B B -=． ∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=， 又在ABC △中，sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又0C <<π，∴π3C =． （2）由12CD CA CB u u u v u u u v u u u v =+可得：22216CA CB CA CB ++⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，即2216a b ab ++=，①又由余弦定理222222cos 8c a b ab C a b ab =+-=+-=，② 由①②两式得4ab =，∴ABC △的面积1sin 2S ab C === 【名师点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用及三角形的面积公式，解题的关键是根据需要进行适当的变形，逐步达到求解的目的，属于基础题．7．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =，求ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+． 【解析】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=， 整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C <<π，所以23C π=． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式．解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题．8．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】在ABC ∆中，已知内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足π2sin 6a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积等于12，求a 的最小值．【答案】（1）π6；（21【解析】（1）)π2sin cos 6a B c a B B c ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，得)()sin cos sin sin A B B C A B +==+，sin sin cos A B A B + sin cos cos sin A B A B =+，sin cos sin A B A B =，又据题意，sin 0B ≠cos A A =， 解得π6A =． （2）1sin 22S bc A bc =⇒=，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-(222b c bc =+≥ 4=-当且仅当b c =时取等号，即)2241a ≥-=，所以a 1． 【名师点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式求最值，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】如图所示，在ABC △中，45B D ∠=︒，是BC 边上一点，23AD AC DC ===，．（1）求ADC △的面积；（2）求BD 的长．【答案】（1；（2）1．【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⨯ 22231912232+-==-⨯⨯．∴120ADC ∠=︒，故sin ADC ∠=． ∴1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠△123222=⨯⨯⨯=． （2）1204575BAD ADC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，()sin sin75sin 3045BAD ∠=︒=︒+︒sin30cos45cos30sin45=︒︒+︒︒4=．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠∠， ∴sin sin AD BAD BD B ⋅∠=∠212==+ 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos (2)cos b A c a B =-+．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，ABC △的面积为ABC △的周长．【答案】（1）23B π=；（2）6． 【解析】（1）由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B AC A B =--，即()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=．又角C 为ABC △的内角，所以sin 0C >，所以1cos 2B =-． 又()0,B ∈π，所以23B π=．（2）由1sin 2ABC S ac B ===△8ac =． 又()222236b a c ac a c ac =++=+-=，所以a c +=ABC △的周长为6．【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．11．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos 0c B b a C +-=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】（1）π3C =；（2 【解析】（1）因为()ccos 2cos 0B b a C +-=，所以()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，所以()sin 2sin cos B C A C +=．又因为A B C ++=π，所以sin 2sin cos A A C =．又因为()0,A ∈π，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =． 又()0,C ∈π，所以π3C =． （2）据（1）求解知，π3C =， 所以222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-．又2c =，所以224a b ab =+-．又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤．所以ABC ∆面积的最大值()max max 11sin 4sin 223ABC S ab C π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭△ 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可求解，属于常考题型．12．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在ABC △中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，ABBD =，2AD =．（1）求ADB ∠；（2）求ABC △的面积．【答案】（1）34ADB π∠=；（2）3． 【解析】（1）已知ABBD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⨯⨯， 又因为()0,ADB ∠∈π，所以34ADB π∠=． （2）因为ADB ADC ∠+∠=π，所以4ADC π∠=， 因AD AC ⊥，所以ADC △为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S =+=⨯+⨯⨯=△△△．13．【贵州省思南中学2018–2019学年高二下学期第二次月考数学】如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，3AD =，7AC =，13cos 14ACD ∠=．（1）求BC 的长：（2）求ABC △的面积．【答案】（1）2）4【解析】（1）∵在ACD △中，3,7AD AC ==，13cos 14ACD ∠=． ∴由余弦定理可得：2222cos =AD AC CD AC CD ACD -+⋅⋅∠， 所以2139492714CD CD +⨯⨯⨯＝﹣， 由于7CD <，∴解得5=CD ， ∵2223571cos 2352CDA +-∠==-⨯⨯，∴3CDB π∠=，又∵2DCB π∠=，∴BC = （2）在CBD △中，2DCB π∠=，3CDB π∠=，∴C 点到AB 的距离2h =，而10BD =，∴ABC △面积113224S =⨯⨯=．【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．。