2020-2021学年人教 版九年级上册数学《第24章 圆》单元测试卷

2020-2021学年人教新版九年级上册数学《第24章圆》单元测
试卷
一．选择题
1．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（）
A．36°B．44°C．54°D．64°
4．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）
A．8米B．6米C．5米D．4米
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）
A．3B．6C．9D．12
6．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
7．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（）
A．80°B．60°C．50°D．40°
8．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．
C．D．
9．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）
A．2B．4﹣C．D．﹣
10．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）
A．B．C．1D．
二．填空题
11．如图，在5×5的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均1．以点O为圆心，5为半径画圆，共经过图中个格点（包括图中网格边界上的点）．
12．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是．
13．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是．
14．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是，它是（填写“真“或“假“）命题；用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设．15．平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣3，2），则△ABC的外心的坐标为．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
18．将一个长为4，宽为3的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，问：得到圆柱体的表面积是（表面积包括上下底面和侧面，结果保留π．）
19．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD 绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为．
20．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．
三．解答题
21．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
22．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC＝BD，试说明：AB＝CD．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，△MCN的面积是；
（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．
24．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
25．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，AE平分∠CAB交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．
26．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD ∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
参考答案与试题解析一．选择题
1．解：∵⊙O的半径是5cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm，
故选：B．
2．解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝2，
在Rt△OCE中，∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝＝，
∴AE＝OA+OE＝3+．
故选：B．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．
故选：C．
4．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，由题意得，AB＝8，CD＝2，
∵OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4，
设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米，
由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，
故选：C．
5．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，
则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，
即CE⊥BC，
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOD＝∠COE，
∴＝，
∴AD＝CE＝2，
∵BC＝6，
∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，
∵OB＝OE，
∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，
故选：A．
6．解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）．故选：D．
7．解：∵B、C分别是弧AD的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝3×40°＝120°，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
故选：B．
8．解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：B．
9．解：连接AC交EF于M，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵△AEF是等边三角形，
∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，
∴OM＝OF＝，
∴CM＝，
∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，
∴∠CGM＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴GH＝2CM＝2．
故选：A．
10．解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝6，
∵＝，
∴OD⊥AB，
∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，
∴＝＝
∴＝＝
∴OH＝，AH＝，
∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，
∵DM⊥AC，
∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，
∴＝，
∴＝，
∴DM＝1，
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，⊙O共经过图中4个格点
故答案为4．
12．解：∵正方形ABCD的半径是3，∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，∴BC＝＝＝3，
故答案为：3．
13．解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°．
故答案为60°．
14．解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题；
用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角“第一步应假设：一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，真，一个三角形中有两个角是直角．15．解：如图，作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P，
则P点为△ABC的外心，
所以△ABC的外心的坐标为（0，3）．
故答案为（0，3）．
16．解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2021＝505×4+1，
∴A2021的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
17．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，BC＝6，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，
∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，
∴AD＝BD＝6，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××6×﹣＝9﹣3π．故答案为9﹣3π．
18．解：情况①：绕4cm的边所在的直线旋转时，
π×3×2×4+π×32×2
＝24π+18π
＝42π（cm2）；
情况②：绕3cm的边所在的直线旋转时，
π×4×2×3+π×42×2
＝24π+32π
＝56π（cm2）．
故答案为42π或56π．
19．解：连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OM＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′M＝OH＝＝2，
∵四边形MB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CN＝2CG＝4，
故答案为：4．
20．解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴＝，
∴AO＝，
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，
∴AO＝，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO ＜，
故答案为：＜AO＜．
三．解答题
21．解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6．
22．证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
23．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S
＝×4×2＝4（cm2）；
△CMN
故答案为4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，
整理得5t2﹣32t+52＝0，
∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是cm．
24．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
＝CD•AM＝×＝，
∴S
△ACD
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S
＝×＝，
△ABC
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
25．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：
连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠OAE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥CD，
∵EF⊥CA，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）过O作OH⊥AD于H，
∵EF⊥CA，OE⊥EF，
∴四边形OEFH是矩形，
设AF＝x，则EF＝OH＝2x，AH＝5﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2＝OA2，
∴（5﹣x）2+（2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴AH＝5﹣2＝3，
∴AD＝2AH＝6．
26．解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．27．解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．。