新届高考前模拟考试卷理科数学含参考答案(七)

新高考前模拟考试卷含参考答案理科数学（七）
第Ⅰ卷
满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集}5,4,3,2,1{=U ，}1{)(=B A C U Y ，}3{)(=B C A U I ，则集合=B （ ） A ．}5,4,2,1{ B ．}5,4,2{ C ．}4,3,2{ D ．}5,4,3{
2．若复数i i
a ++1（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．)1,(--∞
B ．),1(+∞
C ．)1,1(-
D ．)1,(--∞),1(+∞Y
3．对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算原理如图所示，则41log )2
1(2
2⊗-的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3-
4．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤-≤+≥2
47230
y x y x x ，则y x z +=2的最大值为（ ）
A ．2-
B ．27
C ．4
D ．5
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．18
B ．24
C ．32
D ．36
6．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ）
A ．3337
B ．6667
C ．1110
D ．3323
7．曲线1C ：21)6(sin 2--=πx y 如何变换得到曲线2C ：x
y 2sin 21
=（ ）
A ．向右平移π65个单位
B ．向右平移π
125
个单位 C ．向左平移π65个单位 D ．向左平移π125个单位
8．已知双曲线)
0(1:22
22>>=-b a b y a x C 的左右焦点分别为21,F F ，以2F 为圆心，
21F F 为半径的圆交C 的右支于Q P ,两点，若PQ F 1∆的一个内角为060，则C 的
离心率为（ ）
A. 3
B. 13+
C. 213+
D. 26
9．已知正三棱柱111C B A ABC -，侧面11B BCC 的面积为34，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A ．π4
B ．π8
C ．π38
D ．π16
10．已知函数
3
31
sin cos )(x x x x x f --=，则不等式0)1()32(<++f x f 的解集为（ ）
A ．),2(+∞-
B ．)2,(--∞
C ．),1(+∞-
D ．)1,(--∞ 11．设c b a ,,均为小于1的正数，且c b a 532log log log ==，则（ ） A ．3
15
12
1
b c a >> B ．3
12
15
1b a c >> C ．5
12
13
1c a b >>D ．2
13
15
1a b c >> 12．在数列}
{n a 中，
1
2-=n n a ，一个5行6列的数表中，第i 行第j 列的元
素为
j
i j i ij a a a a c ++⋅=
)6,,2,1,5,,2,1(ΛΛ==j i ，则该数表中所有元素之和为（ ）
A ．410213-
B ．380213-
C ．14212-
D ．4212-
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．三位同学要从B A ,两门课程中任选一门作为选修课，则B A ,两门课程都有同学选择的概率为.
14．在平行四边形ABCD 中，F E ,分别为边CD BC ,的中点，若AF
y AE x AB +=（R y x ∈,），则=-y x .
15．二项式5
)(x a
x +的展开式中各项系数的和为1-，则该展开式中系数最大
的项为.
16．抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，Q P ,是抛物线上的两个动点，线段PQ
的中点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若||||PQ MN =，则PFQ
∠
的最大值为.
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在ABC ∆中，边BC 上一点D 满足AD AB ⊥，DC AD 3=. （1）若22==DC BD ，求边AC 的长； （2）若AC AB =，求B sin .
18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.
（1）求n m ,的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有%99的把握认为消费金额与性别有关？ （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他
们线性相关，得到回归方程b x y
+-=5ˆ.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一
组数据用该区间的中点值代替）
))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
，其中d c b a n +++=
19．多面体ABCDEF 中，EF BC //，6=BF ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，四边形ACDF 是菱形，0
60=∠FAC . （1）求证：平面⊥ABC 平面ACDF ； （2）求二面角D EF C --的余弦值.
20．已知椭圆C ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，且离心率为21
，点M 为椭圆上一动点，21MF F ∆面积的最大值为3.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设B A ,分别为椭圆的左右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E .若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l 与直线AD 相交于点P ，试判断||||1PH PF +是否为定值，并说明理由.
21．已知函数
x ae ax x x f -+=
2
21)(，)(x g 为)(x f 的导函数.
（1）求函数)(x g 的单调区间；
（2）若函数)(x g 在R 上存在最大值0，求函数)(x f 在),0[+∞上的最大值；
（3）求证：当0≥x 时，
)sin 23(3222x e x x x
-≤++. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=αα
sin cos 1t y t x （t 为参数），以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为04sin 4cos 22
=+--θρθρρ.
（1）若直线l 与C 相切，求l 的直角坐标方程；
（2）若2tan =α，设l 与C 的交点为B A ,，求OAB ∆的面积. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(-++=x x x f . （1）解不等式3)(≥x f ；
（2）记函数)(x f 的最小值为m ，若c b a ,,均为正实数，且m
c b a =++221
，
求2
22c b à++的最小值.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．43 14．2 15．3
80-x 16．3π
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）∵AD AB ⊥，∴在ABD Rt ∆中，
23
sin ==
∠BD AD ABD ，
∴0
30=∠ABD ，
ABC ∆中，3,1==BC AB ，由余弦定理可得，
721
3291cos 2222=⨯
⨯-+=∠⋅-+=ABC BC AB BC AB AC
所以7=AC
（2）在ACD ∆中，由正弦定理可得DAC DC C AD ∠=
sin sin ， ∵DC AD 3=，∴DAC C ∠=
sin 1sin 3，
∵AC AB =，∴C B =，∴B DAC 21800
-=∠，
∵0
90=∠BAD
∴B B BAD BAC DAC 2909021800
00-=--=∠-∠=∠
∴)290sin(1sin 30
B B -=
∴B B 2cos 1sin 3=，化简得03sin sin 322
=-+B B ， 0)3sin 2)(1sin 3(=+-B B ，
∵0sin >B ， ∴
33sin =
B .
18．解：（1）由频率分布直方图可知，006.0001.020015.001.0=-⨯-=+n m ， 由中间三组的人数成等差数列可知n m 20015.0=+， 可解得0025.0,0035.0==n m
（2）周平均消费不低于300元的频率为6.0100)001.00015.00035.0(=⨯++， 因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为606.0100=⨯人. 所以22⨯列联表为
635
.625.840605545)40251520(10022
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K
所以有%99的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为
33055010.045015.035035.025025.015015.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，
由题意b +⨯-=385330，∴520=b
395520255=+⨯-=y .
19.（1）证明：取AC 的中点O ，连结OB OF ,，
ABC ∆是边长为2的等边三角形，所以AC BO ⊥，3=BO ，
四边形ACDF 是菱形，∴2=AF ，∵0
60=∠FAC ， ∴3,=⊥OF AC OF ，
∵6=BF ，∴2
22BF OF BO =+，
∴OF BO ⊥
又O AC FO =I ，所以⊥BO 平面ACDF
⊂BO 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面ACDF .
（2）由（1）知，OF OC OB ,,两两垂直，分别以OF OC OB ,,为z y x ,,轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为EF BC //，所以F E C B ,,,四点共面，
)3,0,0(),0,1,0(),0,0,3(F C B
得)0,1,3(),3,0,3(-=-=BC BF
设平面CEF 的一个法向量为),,(z y x n =，
由⎪
⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC n BF n 得⎪⎩⎪⎨
⎧=-=-03033y x z x ，令1=x 得)1,3,1(=n
由题意知AC FD EF BC //,//，F FD FE =I ，所以平面//ABC 平面DEF ，
所以平面DEF 的一个法向量为)1,0,0(= 设二面角D EF C --的大小为θ，则
5
5|
|||cos ==
n m θ，
所以二面角D EF C --的余弦值为55
.
20．（1）由题意可知
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==+=321222bc a c c b a ，解得3,2==b a
所以椭圆C 的方程为1
342
2=+y x
（2）由（1）可知)0,1(),0,2(),0,2(F B A -，
因为过2F 与圆E 相切的直线分别切于H B ,两点，所以1||||22==B F H F ， 所以1||||||||||||||212211-+=-+=+PF PF H F PF PF PH PF ， 设点)0)(,2(≠t t E ，则)2,2(t D ，圆E 的半径为||t 则直线AD 的方程为
)2(2+=
x t
y 2l 的方程设为1+=ky x ，则
|
|1|
12|2
t k
kt =+--
化简得
t t k 212
-=
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+-=+=121)2(2
2
y t t x x t y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=22
232636t t x t t y 所以点)36,326(2
22t t
t t P ++-
1)3(963)36(4)326(222422222=+++=+++-t t t t t t t
所以点P 在椭圆C 上，
∴4||||21=+PF PF ，即314||||1=-=+PH PF .
21．解：（1）由题意可知，=)(x g x ae a x x f -+=)('，则x ae x g -=1)('，
当0≤a 时，0)('>x g ，∴)(x g 在),(+∞-∞上单调递增；
当0>a 时，解得a x ln -<时，0)('>x g ，a x ln ->时，0)('<x g
∴)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递增，在),ln (+∞-a 上单调递减
综上，当0≤a 时，)(x g 的单调递增区间为),(+∞-∞，无递减区间；当0>a 时，)(x g 的单调递增区间为)ln ,(a --∞，单调递减区间为),ln (+∞-a .
（2）由（1）可知，0>a 且)(x g 在a x ln -=处取得最大值，
1ln ln )ln (1
ln --=⋅-+-=-a a e a a a a g a ，即01ln =--a a ，
观察可得当1=a 时，方程成立
令)0(1ln )(>--=a a a a h ，a a a a h 111)('-=-=
当)1,0(∈a 时，0)('<a h ，当),1(+∞∈a 时，0)('>a h
∴)(a h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞单调递增，
∴0)1()(=≥h a h ，
∴当且仅当1=a 时，01ln =--a a ， 所以x
e x x x
f -+=221)(，由题意可知0)()('≤=x
g x f ，)(x f 在),0[+∞上单调递
减，
所以)(x f 在0=x 处取得最大值1)0(-=f
（3）由（2）可知，若1=a ，当0≥x 时，1)(-≤x f ，即1212-≤-+x e x x ，
可得
2222-≤+x e x x ， )sin 23(322)sin 23(32222x e e x e x x x x x --+-≤--++
令
1]2)3sin 2([12)3sin 2()(2++-=++-=x e e e x e x F x x x x ，即证0)(≤x F 令2)3sin 2()(+-=x e x G x ，
]3)4sin(22[)3cos 2sin 2()('-+=-+=πx e x x e x G x x ∵
1)4sin(≤+πx ∴03)4sin(22<-+π
x ，又0>x e ，∴0]3)4sin(22[<-+π
x e x
∴0)('<x G ，)(x G 在),0[+∞上单调递减，1)0()(-=≤G x G ，
∴
01)(≤+-≤x e x F ，当且仅当0=x 时等号成立 所以
)sin 23(3222x e x x x -≤++. 22．解：（1）由,sin ,cos θρθρ==y x 可得C 的直角坐标方程为
044222=+--+y x y x ，即1)2()1(22=-+-y x ，
⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x 消去参数t ，可得)1(tan -=x y α，设αtan =k ，
则直线l 的方程为)1(-=x k y
由题意，圆心)2,1(到直线l 的距离11|
2|21=+--=k k k d ，解得3±=k
所以直线l 的直角坐标方程为)1(3-±=x y
（2）因为2tan =α，所以直线方程为022=--y x ，
原点到直线l 的距离52
2=d
联立
⎩⎨⎧=-+-=--1)2()1(02222y x y x 解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5658y x 所以
52)562()582(22=-+-=AB ，所以52525221=⨯⨯=S . 23．解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥=21,3121,21,3)(x x x x x x x f
所以3)(≥x f 等价于⎩⎨⎧≥≥331x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-32121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤3321x x x
解得1≥x 或1-≤x ，所以不等式的解集为1|{≥x x 或}1-≤x
（2）由（1）可知，当
21-=x 时，)(x f 取得最小值23， 所以23=m ，即23221=++c b a 由柯西不等式
49)221()21)21)(((2222222=++≥++++c b a c b a ， 整理得
73222≥++c b a ，当且仅当22c b a ==时，即74,72,71===c b a 时等号成立，
所以222c b a ++的最小值为73。