高中数学 课时作业6 新人教A版选修22

高中数学 课时作业6 新人教A 版选修22
一、选择题
1．若f (x )＝(x ＋1)4
，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．4
答案 D
2．若f (x )＝sin(2x ＋π6)，则f ′(π
6)等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 A
3．y ＝cos 3
(2x ＋3)的导数是( ) A ．y ′＝3cos 2(2x ＋3) B ．y ′＝6cos 2(2x ＋3)
C ．y ′＝－3cos 2(2x ＋3)·sin(2x ＋3)
D ．y ′＝－6cos 2(2x ＋3)·sin(2x ＋3) 答案 D
4．函数y ＝sin 2
x 的图像在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )
A. 3
B.
33 C.12 D.
32
答案 D
分析 将函数y ＝sin 2
x 看作是由函数y ＝u 2
，u ＝sin x 复合而成的． 解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝3
2
.
5．y ＝sin 31
x
的导数是( )
A ．－3x 2sin 21x
B ．－32x 2sin 22x
C ．－3x
2cos 1x ·sin 21
x
D.
32x 2sin 1x ·sin 2x
答案 C
6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0
答案 A
解析 y ′＝2
2x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．
由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|
22＋12
＝ 5. 7．设y ＝f (2－x
)可导，则y ′等于( ) A ．f ′(2－x
)ln2 B ．2－x ·f ′(2－x
)ln2 C ．－2－x
·f ′(2－x
)ln2 D ．－2－x
·f ′(2－x
)log2e
答案 C
8．曲线y ＝e 12 x 在点(4，e 2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2
B ．4e 2
C ．2e 2
D ．e 2
答案 D
解析 ∵y ′＝1
2·e 12 x ，
∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2
.
∴切线方程为y －e 2
＝12
e 2(x －4)．
∴横纵截距分别为2，－e 2
，∴S ＝e 2
，故选D.
9．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2
－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( ) A ．(2,4) B ．(－3，－1) C ．(1,3) D ．(0,2)
答案 D
解析 由f ′(x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数f (x ＋1)的图像是由函数y ＝f (x )图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调减区间．
10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )
A ．2π
B ．π
C.π2
D.π4
答案 B
解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2
cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2
cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π
|a |＝π.
二、填空题
11．函数y ＝ln(2x 2
－4)的导函数是y ′＝________. 答案
2x
x 2
－2
12．设函数f (x )＝(1－2x 3)10
，则f ′(1)＝________. 答案 60
13．若f (x )＝(x －1)·e x －1
，则f ′(x )＝________.
答案 x ·e
x －1
14．设曲线y ＝e ax
在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2
解析 由题意得y ′＝a e ax
，y ′|x ＝0＝a e
a ×0
＝2，a ＝2.
15．一物体作阻尼运动，运动规律为x ＝e －2t
sin(3t ＋π
6
)，则物体在时刻t ＝0时，速度
为________，加速度为________．
答案
332－1；63－5
2
三、解答题
16．已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10
，求
f ′0
f 0
.
解析 (1＋x 2)′＝[(1＋x 2
) 12 ]′ ＝12(1＋x 2) － 12 ·2x ＝x (1＋x 2
) － 12 ，
∴f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·[1＋x (1＋x 2
) － 12 ]
＝10·x ＋1＋x 210
1＋x
2
.
∴f ′(0)＝10.又f (0)＝1，∴
f ′0
f 0
＝10.
17．求证：双曲线C 1：x 2
－y 2
＝5与椭圆C 2：4x 2
＋9y 2
＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．
证明 联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)．C 1在第一象限的部分对应的函数解析式为y ＝x 2
－5，于是有：
y ′＝[(x 2
－5) 12 ]′＝x 2－5′2x 2－5＝x x 2
－5， ∴k 1＝y ′|x ＝3＝3
2
.
C 2在第一象限的部分对应的函数解析式为 y ＝
8－49
x 2. ∴y ′＝
－89
x 2
8－49
x 2＝－2x
318－x 2. ∴k 2＝y ′|x ＝3＝－2
3
.
∵k 1·k 2＝－1，∴两切线互相垂直． ►重点班·选做题
18．曲线y ＝e 2x
cos3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程． 解析 由题意知
y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′
＝2e 2x
cos3x ＋3(－sin3x )·e 2x
＝2e 2x
cos3x －3e 2x
sin3x ，
∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. ∴该切线方程为y －1＝2x ⇒y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ， 则d ＝|m －1|5＝ 5.
解得m ＝－4或m ＝6.
当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4； 当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.
综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。