2019年江西省赣州市龙华中学高二数学理月考试题含解析

2019年江西省赣州市龙华中学高二数学理月考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是
，则两条直角边，的方程是（）
Ａ．，
Ｂ．，
Ｃ．，
Ｄ．，
参考答案：
B
2. 命题“”的逆否命题是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
3. 椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为
，则的最大值
为
（）
不能确定
参考答案：
．
解析：.（时取等号）
4. 方程表示的曲线是（）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线
参考答案：
D
略
5. 计算的结果是（）
A B．C．
D．
参考答案：
A
略
6. 用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】C7：等可能事件的概率．
【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率
都相等均为
【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某
男学生被抽到的机率是
故选C
【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．
7. 已知两点给出下列曲线方程：①；②；
③；④，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是
（）
A ①③
B ②④
C ①②③
D ②③④
参考答案：
D
8. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为( )
A．B．2 C．D．
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a，a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．
9. 设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（）.
A. f：x→y＝x
B. f：x→y＝x
C. f：x→y＝x
D. f：x→y＝x 参考答案：
A
10. 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）
A．4B．C．4D．
参考答案：
A
【考点】正弦定理．
【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．
【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，
由正弦定理知=，
∴b===4，
故选A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形高的比为
2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数
是．
参考答案：
33
略
12. 已知正三棱锥底面的三个顶点A、B、C在球的同一个大圆上，点P在球面
上，如果，则球的表面积是
参考答案：
略
13. 已知函数f（x）的定义域是R，f（x）=（a为小于0的常数）设x1＜x2且f′（x1）=f′（x2），若x2﹣x1的最小值大于5，则a的范围是．参考答案：
（﹣∞，﹣4）
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【分析】求出原函数的导函数，作出图象，再求出与直线y=﹣2x+a平行的直线与函数y=的切点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由f（x）=，得．
作出导函数的图象如图：
设与直线y=﹣2x+a平行的直线与函数y=的切点为P（）（x0＞0），由y=，得y′=，则=﹣2，
解得x0=1，则，
∴x2=1，在直线y=﹣2x+a中，取y=4，得．
由x2﹣x1=1﹣＞5，得a＜﹣4．
∴a的范围是（﹣∞，﹣4）．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
14. 已知点和圆上的动点P，则
的取值范围是.
参考答案：
15. 动点M与定点F(3,0)的距离比它到直线x+1=0的距离多2，则动点M的轨迹方程为______
参考答案：
略
16. 曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________ ．
参考答案：
略
17. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________；
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设为函数的两个零点，求证：.
参考答案：
(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明，
【分析】
（1）利用导数求函数单调区间的一般步骤即可求出；
（2）将零点问题转化成两函数以及图像的交点问题，通过构造函数
，依据函数的单调性证明即可。

【详解】解：（1）∵，
∴.
当时，，即的单调递减区间为，无增区间；
当时，，由，得
，
当时，；当时，，
∴时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由（1）知，的单调递减区间为，单调递增区间为
，
不妨设，由条件知即
构造函数，则，
由，可得.
而，∴.
知在区间上单调递减，在区间单调递增，
可知，
欲证，即证.
考虑到在上递增，只需证，
由知，只需证
令，则
. 所以为增函数.
又，结合知，
即成立，所以成立.
【点睛】本题考查了导数在函数中的应用，求函数的单调区间，以及函数零点的常用解法，涉及到分类讨论和转化与化归等基本数学思想，意在考查学生的逻辑推理、数学建模和运算能力。

19. 设复数z满足，且是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限．
(I)求复数z；
(II)求的值．
参考答案：
略
20. 如图，四棱锥的底面为矩形，底面
,.为线段的中点，在线段上，且.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
如图，以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则,.
（1）
所以,
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
，
由，解得
取，去平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则由，
得.
21. （12分）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：
【考点】分段函数的应用；3D：函数的单调性及单调区间．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，即可写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，即可求实数a的值；
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，分类讨论求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，解得a=0，经检验符合题意．
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，
①当0≤x≤1时，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0恒成立，a∈R
②当x∈（1，3]时，原不等式等价于|ax﹣1|≥|（3x﹣3）|x﹣a|
令g（x）=|（3x﹣3）（x﹣a）|，h（x）=|ax﹣1|
当a＞1时，0＜≤1，由ax﹣1=（3x﹣3）（a﹣x），即3x2﹣（2a+3）x﹣1+3a=0，△=（2a+3）2﹣
12（﹣1+3a）=0，a=（另一根舍去），∴a＞；
a=1时，不满足h（3）＞g（3）；
0＜a＜1时，＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即﹣3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；
a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；
综上所述a＞．
【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22. （本小题满分12分）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛浙江赛区在杭州宣布正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
参考答案：
（Ⅰ）,
,∴, ……………………… 2分
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
……… 4分（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．
答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．……………… 6分（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
，
X可能的取值是0，1，2，
3．
；
；
；
．
的分布列为：
………………11分所以．……… 12分（或，所以．）.。