河南省郑州外国语学校2014届高三11月月考数学(理)试卷Word版含答案

郑州外国语学校2013—2014学年上期高三11月月考试试卷
数 学 （理）
（120分钟 150分）
命题人：张振啟
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。

每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.若集合{|23},M x x =-<<2
{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =( )
A. (2,)-+∞
B. (2,3)-
C. [1,3)
D. R
2. 关于x 的二次方程)(,01)2(2
R a ai x i x ∈=+++-有实根，则复数i
a ai
z +-=
2对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11
[,]42
内，则输入的实数x 的取值范围是( )
A.(,2]-∞-
B.[2,1]--
C.[1,2]-
D.[2,)+∞
4.直线l 与函数[]sin (0,)y x x π=∈的图像相切于点A ，且//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极大值点，与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC =（ ）
A. 2
B. 2
π C. 24π D.
244π- 5.已知 a b ，
为非零向量，则“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 6、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足,20,8,6643≤≥≤S S S 当4a 取得最大值
时，数列{}n a 的公差为（ ） A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
7．若圆C:2
2
2430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
8.平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成
四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.
π23 B. π3 C. π3
2 D. π2 9、已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是( )
A.两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
成中心对称. B.①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4
π
个单位即得②.
C.两个函数在区间(,)44
ππ
-
上都是单调递增函数. D.两个函数的最小正周期相同.
10．设F 1, F 2分别为双曲线2221x a b
2
y －＝（a >0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任
一点。

若2
1
2
｜PF ｜｜PF ｜的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A ．（1
．（1，3） C ．（1，3] D ．，3）
11. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若1
2()423x
x f
x m m +=
-+-为定义域R 上的“局部奇函数”
，则实数的取值范围是（ ）
.11A m ≤≤+
.1B m -≤≤
.C m -≤≤ .1D m -≤≤
12．已知函数f （x ）是定义在
R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，f （x ）＝
(1,1]
(12),(1,3]
x t x x ∈∈⎪⎩－－－ 其中t>0．若函数y ＝()f x x －15的零点个数是5，则t 的取值
范围为( )
A ．（25，1）
B ．（25，65）
C ．（1，6
5
） D ．（1，＋∞）
二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分。

请将答案填在答题卷的相应位置。

13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.
14.设⎰
=
20
2sin π
xdx a ，则6)2(x
a
x +展开式的常数项为 .
15.在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，
若210
121012=-S S
，则2013S 的值等于 . 16.设函数f (x )＝x 2
－1，对任意x ∈[32
，＋∞)，
f (x
m
)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒 成 立，
则实数m 的取值范围是 .
三、解答题：共70分.
17．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、2
3
MCN ∠=
π，在ABC ∆中，角A 、B 、C c ．
（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c （Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，
并求周长的最大值．
18.（本小题满分12分）设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，
245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2
=，*∈N n ．
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设))(1(λ-+=n n n nb S C ，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111-ABCD A B C D 中，1⊥AA 平面ABCD ． （Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为1AC BD ⊥的充分条件，并给予证明；
①⊥AB BC ，②⊥AC BD ；③ABCD 是平行四边形．
（Ⅱ）设四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都为1，且∠BAD 为锐角，
求平面1BDD 与平面11BC D 所成锐二面角θ的取值范围．
正视侧视
图
俯视图
C 1
A
20.（本小题满分12分）已知椭圆E ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的右焦点F 2与抛物线x
y 42=的焦点重合，过F 2作与x 轴垂直的直线交椭圆于S ，T 两点，交抛物线于C ，D 两点，且22|
|||=ST CD ．
（I ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）设Q （2，0），过点（－1，0）的直线l 交椭圆E 于M 、N 两点．
（i ）当3
19
=
⋅QN QM 时，求直线l 的方程； （ii ）记ΔQMN 的面积为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式S ≤λtan ∠MQN 恒成立，求λ的最小值．
21．（本小题满分12分已知函数()(2)ln x g x a =-，()2=ln h x x ax + ()a R ∈ 令
()()()f x g x h x '=+.
(Ⅰ)当0a =时，求()f x 的极值； (Ⅱ) 当0a <时，求()f x 的单调区间； (Ⅲ)当32a -<<-时，若存在[]121,3λλ∈，， 使得()()()12ln 32ln 3f
f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD//EC ；
（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD 的长。

23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为：1,x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4
sin(22π
θρ+
=．
（Ⅰ）求曲线C 的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,M N ，若点P 的坐标为(1,0)，求||||PM PN ⋅的值． 24.（本小题满分10分）已知不等式3|||2|≤-++m x x 的解集为}12|{≤≤-x x ． （Ⅰ ）求m 的值；
（Ⅱ ）若m c b a =++22232，求c b a 32++的取值范围．
郑州外国语学校2013—2014学年上期高三11月月考试试卷
数 学 （理）参考答案
一、 选择题：CDBDC BCACC BB
二 、 填空题
π3
160 -2013 (－∞，
∪
[＋∞) 三、 解答题：17． 解（Ⅰ）
a 、
b 、
c 成等差，且公差为2，
∴4a c =-、2b c =-. 又
23MCN ∠=
π，1
cos 2
C =-， ∴
222122
a b c ab +-=-， ∴()()()()2
2
2421
2422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =.
（
Ⅱ
）
在
ABC
∆中，
sin sin sin AC BC AB
ABC BAC ACB
==
∠∠∠，
∴
2sin sin 3AC
BC ===πθ
⎛⎫-θ ⎪⎝⎭
，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫
=-θ ⎪⎝⎭.
∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =+
+2sin 2sin 3π⎛⎫
=θ+-θ ⎪⎝⎭
12sin 2⎡⎤=θθ⎢⎥⎣
⎦
2sin 3π⎛
⎫=θ+ ⎪⎝⎭
又
0,3π⎛⎫
θ∈ ⎪⎝⎭
，∴2333πππθ<+<
, ∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大
值2+．
18、解：（Ⅰ）由245S S =，,0>q 得 12,2-==n n a q
又11)1(11
2
12
+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==---n n b b b n T b n T n n n n n n （)1>n ， 则得
)
1(2
3142132111232211+=
⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以)
1(2
+=
n n b n ，当1=n 时也满足．
（Ⅱ）12-=n n T ，所以)1
2
(
2λ-+=n C n n ，使数列{}n C 是单调递减）设，若数列{}n C 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
则0)1
224(
21<-+-+=-+λn n C C n n n 对*∈N n 都成立， 即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ， n
n n n n n n 2
32
)2)(1(21224++=
++=+-+， 当1=n 或2时，,31)1224(max =+-+n n 所以3
1
>λ．
19解：（Ⅰ）条件②⊥AC BD ，可做为1AC BD ⊥的充分条件.
证明如下：
1⊥AA 平面ABCD ，11//AA DD ，
1∴⊥DD 平面ABCD ， ∵⊂AC 平面ABCD ，1∴⊥DD AC .
若条件②成立，即⊥AC BD ，∵1=DD BD D ，∴⊥AC 平面1BDD ， 又1⊂BD 平
面1BDD ，1∴⊥AC BD ．
（Ⅱ）由已知，得ABCD 是菱形，∴⊥AC BD .
设AC
BD =O ，1O 为11B D 的中点，则1⊥OO 平面ABCD ，
∴1OO 、AC 、BD 交于同一点O 且两两垂直.
以1,O ,OB C OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系-O xyz ，如图所示．6
分
设OA m =，OB n =，其中2
2
0,0,1m n m n >>+=，
则(0,,0)A m -，(,0,0)B n ，(0,,0)C m ，1(0,,1)C m ，1(,0,1)D n -，
1(,,1)BC n m =-，1(2,0,1)BD n =-， 设(,,)=n x y z 是平面11BC D 的一
个法向量，
由110,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BC n BD 得0,20,xn ym z xn z -++=⎧⎨-+=⎩
令x m =，则y n =-，2z mn =，
(,,2)n m n mn ∴=-， 又(0,2,0)AC m =是平面1BDD 的一个法向量，
||cos ||||m
n AC n AC ⋅∴θ=
=
=
=令2n t =，则2
m 1t =-，BAD ∠
为锐角，0
n ∴<<，则102
<<t ，cos θ=
=
因为函数14=-y t t 在1(0,)2上单调递减，140∴=->y t t
，
所以10cos 2<<θ，……12分又02π<<θ， 32
ππ∴<<θ， 即平面1BDD 与平面11BC D 所成角的取值范围为(,)32
ππ
．
20
解：（Ⅰ）依题意，()1
=
2h x ax x
'+
所以()()1
2ln 2f x a x ax x
=-+
+ 其定义域为(0,)+∞. 当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，222121()x f x x x x
-'=-=. 令()0f x '=，解得1
2
x = 当102x <<
时，()0f x '<；当1
2
x >时，()0f x '> . 所以()f x 的单调递减区间是102⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，单调递增区间是1+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
； 所以1
2
x =
时， ()f x 有极小值为122ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值 (Ⅱ) 221()2a f x a x x -'=-+2
22(2)1ax a x x +--=()
21
(21)()0a x x a x x -+=>
当20a -<<时，112a ->，令()0f x '<，得102x <<或1
x a
>-，
令()0f x '>，得11
2x a
<<-；
当2a =-时，2
2
(21)()0x f x x -'=-≤.
当2a <-时，112a -
<， 令()0f x '<，得1x a <-或12
x >， 令()0f x '>，得11
2x a -<<；
综上所述: 当20a -<<时，()f x 的单调递减区间是102⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，1+a
⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
， 单调递增区间是1
12
a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
；
当2a =-时，()f x 的单调递减区间是()0+∞，；
当2a <-时，()f x 的单调递减区间是10a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
，1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间是112a ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，
（Ⅲ）由(Ⅱ)可知，当32a -<<-时，()f x 在[]1,3单调递减.max ()(1)21f x f a ==+；
min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a
==-++.
()()()()12max 113(12)(2)ln 363f f f f a a a λλ⎡⎤
-=-=+--++⎢⎥⎣⎦
2
4(2)ln 3.
3a a =
-+-
因为存在[]121,3λλ∈，，使得()()()12ln 32ln 3f f m a λλ->+-成立，
所以()2
ln 32ln 34(2)ln 33
m a a a +-<
-+-， 整理得2
43
ma a <
-. 又0a < 所以243m a >
-， 又因为32a -<<- ，得122339
a -<<-， 所以13238
4339
a -
<-<-，所以389m ≥- .
22．（1）证明：连接AB ，AC Q 是1O e 的切线，BAC D ∴∠=∠. 又,.//.BAC E D E AD EC ∠=∠∴∠=∠∴Q （2）PA Q 是1O e 的切线，PD 是2O e 的割线，
2.PA PB PD ∴=g 26(9)PB PB ∴=+g .3PB ∴=.又2O e 中由相交弦定理，
得PA PC BP PE =g g ，4PE ∴=.AD Q 是2O e 的切线，DE 是2O e 的割线，
2916.AD DB DE ∴==⨯g 12.AD ∴=
23.解：（Ⅰ）由)4
sin(22π
θρ+
=，得2sin 2cos ρθθ=+，
当0ρ≠时，得2
2sin 2cos ρρθρθ=+， 对应直角坐标方程为：2
2
22x y y x +=+.
当0ρ=，θ有实数解，说明曲线C 过极点，而方程2222x y y x +=+所
表示的曲线也过原点.
∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=．
（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2
21)2⎫+-=⎪⎪⎭
，
即210t --=，由于60∆=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，
则121t t =-.
∵直线l 过点(1,0)P ，
∴由t 的几何意义，可得1212||||||||||1PM PN t t t t ⋅=⋅=⋅=．
24.解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++
≤++c b a c b a 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，6
6-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-．。