2011丰台高三二模数学(文科)

x
y
O π2π
1
丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）
数 学（文科）
2011.5 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a = (A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 2或-1 2．下列四个命题中，假命题为
(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2
310x x ++>
(C) x ∃∈R ，lg 0x > (D) x ∃∈R ，12
2x =
3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x
y a =在同一坐标系中的图象可能是
(A) (B) (C) (D)
4．已知数列{}n a 中，135a =，1
11(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12- (B) 23-(C) 35(D) 5
2
5．如图所示，已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是 (A) 3122c b a =- (B) 2c b a =- (C) 2c a b =- (D) 31
22
c a b =-
6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数
的解析式可能是
(A) 441sin()555y x =
+ (B) 31
sin(2)25
y x =+
A
B
C O
(C) 441sin()555y x =
- (D) 41
sin(2)55
y x =+
7．已知x ，y 的取值如下表：
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a = (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0
8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 (A) (0,3) (B) (0,3] (C) (0,4) (D) [0,4] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数121i
z i
-=
+对应的点位于第 象限． 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是
．
12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过
10，则支出的钱数最多是___元． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
正视图
侧视图
俯视图
14．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的
延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数2
1()sin cos 2
f x x x x =-． （Ⅰ）求()12
f π
-
的值； （Ⅱ）若[0,
]2
x π
∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．
16.（本小题共13分）
已知梯形ABCD 中，//BC AD ，1
12
BC AD =
=
，CD G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD
的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折到△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；
（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．
17.（本小题共13分）
F
G
E
A
B
C
D '
A
B
C
E
D
F
G
A
B C A D P 1 P 2
P 3
P 4
P 5
某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中
考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生
中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
18.（本小题共14分）
已知函数21(),(0)2a
f x x a x
=
+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．
19.（本小题共14分）
已知椭圆C 的长轴长为22，一个焦点的坐标为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；
（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．
20.（本小题共13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}
n
c中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）
数学（文科）参考答案2011.5
4、关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。

遇到这样既不成等差又不
成等比的数列，求
2011
a=，只能是周期性。

5、这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

6、本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A，ω，φ每一个字母的意义。

7、本题就是考查回归方程过定点(,)
x y。

8、考查意图：考查学生对函数概念的理解。

考察了学生数形结合的能力。

试题分析：讲评时首先要从正面求解得到结论：有2个零点，即函数y=f(x)与直线y=kx有两个交点。

然后从反面：排除法。

本题一定是数形结合。

首先k=0不成立，排除D，其次，二次函数的顶点是（4,12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A，B，得到结果。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．新课标第一网
9．Ⅲ10．3 11．(0,)π写成闭区间也给满分
12．1513．1214．8，
(1)
4
n n+π
12、本题的关键是写对不等式组，考察学生写出不等关系，其次才是线性规划问题。

14、本题的关键是读懂题，读懂了就非常简单。

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）∵2
1()sin cos 2f x x x x =
-
1
2cos 22
x x =- sin(2)6
x π
=-， ……5分
∴()sin(2)sin()12
1263f π
π
ππ-
=-⨯
-=-= ． ………………7分 （Ⅱ）∵02
x π
≤≤
∴02x π≤≤．
∴52666x ππ
π
-
≤-
≤
． ………………9分
∴1sin(2)126x π-≤-≤， 即1
()12
f x -≤≤． ………………11分
∴min 1()2f x =- 此时266
x ππ
-=- ∴0x =．………………12分
∴当0x =时，min 1
()2
f x =-． ………………13分
15、三角函数部分虽然已经考过几次，但二次函数型仍然没有考过，请老师们在复练时一定要练习到。

16.（本小题共13分）xkb1aaa
16、本题重点考查的是翻折问题。

在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。

证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线．
F
G
E
A
B
C
D '
A
B
C
E
D
F
G
∴EF //D B '． ………………2分
又∵EF ⊄平面AD B '，D B '⊂平面
AD B '， ………………4分
∴EF // 平面
AD B '． ………………6分 （Ⅱ）∵G 是AD 的中点，1
12
BC AD =
=，即2AD =，
∴1DG =． 又∵CD CG =
∴在DGC ∆中，
222DG GC DC += ∴DG GC ⊥． ………………9分
∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ，
∴GC ⊥平面
AD G '． ………………12分
又∵GC ⊂平面CD G '，
∴平面CD G '⊥平面
AD G '． ………………13分 17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：
1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分
（Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………6分
（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………7分
[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………8分
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；
[]90,100分数段抽取1人，记为M ． ………………9分
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，
则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， ………………10分
则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，
(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种．
事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种……12分
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51
()153
P A =
=． …………13分 18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分
2
()a
f x x x '=-
． ………………3分 ∵1x =时函数()y f x =取得极小值，∴(1)0f '=． ………………4分 ∴1a =． ………………5分 当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， …………6分 ∴1x =是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =有意义． ………………7分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，
322
()a x a
f x x x x -'=-=．
令()0f x '=，得x = ………………9分
………………11分
………………13分
当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为
，(0,)+∞；
当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞
，，单调递增区间
为)+∞． ………………14分
19.（本小题共14分）
（实际上，P 是不同于A ，B 的任一点，结论都成立．）
解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且1c =
，2a = ……………1分
∴a =
2221b a c =-=． ………………2分
∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=． ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ） 2222
x y y x
⎧+=⎨=⎩ ………………5分
∴
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或
3x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
………………7分
即(
)33A
，(33
B --，
P ．
所以1233
ABP S ∆=
=
． ………………9分 （ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
椭圆的右顶点为P
2222x y y kx
⎧+=⎨
=⎩ ， 消y 整理得 22
(21)2k x +=， 不妨设x 1>0>x 2，
∴
1x =
2x =
1y =
2y =-12分
AP BP k k ⋅=
= ………………13分
2
22
2
212221
k k k -+=-+22212422k k -==--++ ∴ AP BP k k ⋅为定值1
2
-． ………………14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，
∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．
当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ． ……………3分 又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，
∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．
∴ 12n n b -= (*)n ∈N ． …………6分 （Ⅱ）2121n
n n b n c a b ==-=-．
123n n T c c c c =+++
12(21)(21)(21)n =-+-+
+-12(222)n n =++-
2(12)12
n n -=--．
所以 122n n T n +=--． ………………9分
（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N
因为 21n n c =-，
所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列．
所以 2k l m c c c =+，即2(21)(21)(21)k m l -=-+-，
2222k m l ⋅=+， 即222m k l k --=+．
（方法一）
因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以1l k -≥，0m k -<． 所以 2
2l k
-≥，20m k ->，
11 / 11 所以 2
22m k l k --+> 与222m k l k --=+矛盾． 所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分
（方法二）2222k m l ⋅=+2(12)m l m -=+
所以 1
2122
k l m m +-=+， 即1212k m l m +--=+． 所以 1221k m l m +---=．
因为(,,*)m k l m k l <<∈N ，
所以 12k m +-，2l m -均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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