高考数学 空间向量在立体几何中的应用1试题汇编 新人教A版

空间向量在立体几何中的应用
题组一
一、填空题
1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶
1111D C B A ABCD -的
容积是V ，里面装有体积为V 3
2
的水，放在水平的
地面上（如图所示）. 现以顶点A 为支撑点，将铁
桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A 处流出时， 棱1AA 与地面所成角的余弦值为
答案
11
22
2. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+，则点P 的轨迹 是 . 答案：以AB 为直径的圆； 二、简答题
3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）
如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

（I ）求证：C 1D//平面ABB 1A 1；
（II ）求直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D —A 1C 1—A 的余弦值。

答案 （I ）证明：四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，
又⊄1CC 面ABB 1A 1，所以CC 1//平面ABB 1A 1，
…………2分
ABCD 是正方形，所以CD//AB ，
又CD ⊄面ABB 1A 1，AB ⊂面ABB 1A 1，所以CD//平面ABB 1A 1，…………3分 所以平面CDD 1C
1//平面ABB 1A 1， 所以C 1D//平面ABB 1A 1 …………4分
（II ）解：ABCD 是正方形，AD ⊥CD
因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥AD ，A 1D ⊥CD ，
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ，
…………5分
在1ADA ∆中，由已知可得,31=
D A
所以)3,1,1(),0,0,1(),3,0,0(),0,0,0(11-C A A D ，
),0,1,1(),3,0,1(),3,1,0(
11B D B -
),3,1,2(1--=BD …………6分
因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1 A 1D ⊥B 1D 1。

又B 1D 1⊥A 1C 1，
所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，
…………7分 所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n=（1，1，0） …………8分
设1BD 与n 所成的角为β， 则,438
23
|
|||cos 11-=-=
=
BD n β
所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为.4
3
…………9分
（III ）解：平面A 1C 1A 的法向量为),,(c b a m =
则,0,0111=⋅=⋅A A m C A m 所以03,0=-=+-c a b a
令,3=c 可得)3,3,3(=m …………11分 则.742
21
26||||,cos ==⋅>=
<n m n m n m
所以二面角A C A D --11的余弦值为
.7
42
…………12分
4．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形ABC 边长2，CD
为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC 中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图②
(1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由 (2)求二面角D AC B --的余弦值 (3)求点C 到面DEF 的距离
图 ① 图 ②
答案 解：（1）平行（证明略）
（2）取AE 中点M,角BMD 即所求,余弦值为
7
21
（３）CDF E DEF C V V --=，可得点C 到面DEF 的距离为
7
21 5．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） （本题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.
（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值； （2）求证：11//AC B CD 面； （3）求证：11A B B CD ⊥面
答案 5. 解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中 11//BB CC
1AC C ∴∠是11AC BB 与所成的角（或其补角）………………………2分 在1Rt ACC 中，12AC CC ==
1cos AC C ∴∠=
…………………………………………4分 （2）连结1BC 交1B C 于O ，连结OD 。

……………………………5分 则O 为1BC 的中点 又D 为AB 的中点
1//OD AC ∴ ……………………………………………7分 111,OD B CD AC B CD ⊂⊄面面
11//AC B CD ∴面 ………………………………9分 （3）在直三棱柱111ABC A B C -中 1,A A ABC CD ABC ⊥⊂面面
1A A CD ∴⊥…………………………10分 ,Ac BC D AB =是中点 CD AB ∴⊥
11CD ABB A ∴⊥面…………………………11分 1CD A B ∴⊥…………………………12分 同理：11B C A B ⊥
11A B B CD ∴⊥面…………………………13分
6．（宁夏银川一中
2011届高三第五次月考试题全解全析理）
（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2．
（1）求证：AE//平面DCF ；
（2）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60．
【分析】（1）只要过点E 作BC 的平行线即可；（2）由于点B 是点A 在平面BEFC 内的射影，只要过点B 作EF 的垂线即可很容易地作出二面角A EF C --的平面角，剩下的就是具体的计算问题。

或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。

【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形，所以
AD EG
∥，
从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，
DG ⊂平面DCF ，
所以AE ∥平面DCF ．………6分
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．
在Rt EFG △
中，因为EG AD ==2EF =，
所以60CFE ∠=，1FG =．又因为CE EF ⊥，所以4CF =，
从而3BE CG ==
，于是
sin BH BE BEH =∠=
，
D
A B E
F
C
H
G
因为tan AB BH AHB =∠所以当AB 为9
2时， 二面角A EF C --的大小为60………12分
方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空
间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，
则(000)C ，
，，
(30)A a ，，，300)B ，，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，
，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE
=，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面
故AE ∥平面DCF ．………6分
（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，(30)CE b =，，，所以0EF CE =，
||2EF =，从而3()02b c b -+-=⎧=，
，
解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，解得
(1n =．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，，所以||1
|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===
，，
得到
92a =
．所以当AB 为9
2时，二面角A EF C --的大小为60．………12分
【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。

【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。

7．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥
S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交
点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；
（Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．
答案7. （本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个
侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．
解法一：
证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE ． 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，
所以SA ∥平面BDE ．
（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为AC
SO O =，所以BD SAC ⊥面．又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平 面SAC ．
（Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知
BD SAC ⊥面．
而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥． 又BD AC ⊥．
所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 即45EOC ∠=︒．
设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，
在SAC ∆中，2SA SC ==, AC =所以SO 又因为1
2
OC AC =
=SO OC ⊥,
所以SOC ∆是等腰直角三角形．
由45EOC ∠=︒可知，点E 是SC 的中点． 解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥． 建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O
，(0, 0,S
，) 0, 0A
，()
0, 0B ，
() 0, 0C
，()
0, 0D ．
所以() 0, 0AC =-
，(
)
0, 0BD =-． 设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒．
所以(, 0, )E a
，(, )BE =． 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，
则0,0
BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即0, ()0.22
y a x az =⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(
, 0, 1)2a
a
=-n ．
易知()
0, 0BD =-是平面SAC 的法向量．
因为(
, 0, 1)(0, 0)02a
BD a
⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC ． （Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知， 平面BDE 法向量为(
, 0, 1)2a
a
=-n ． 因为SO ABCD ⊥底面，
所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量． 由已知二面角E BD C --的大小为45︒．
所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=
n ，
2
=，解得1
a=．
所以点E是SC的中点．
8．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）
已知：如图，长方体
中，
、
分别是棱
,
上的点，,.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）
证明
平面；
（3）求二面角的正弦值.
答案解：
法一：
如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设,
依题意得,,,
（1）易得,,
于是
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）已知,
,
于是·=0，·=0.
因此，,,又
所以平面
（3）设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。

由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而,
所以二面角的正弦值为
法二：
（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，
由,可知EF∥BC1.
故是异面直线EF与A1D所成的角，
易知BM=CM=,
所以 ,
所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为
（2）连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为， 所以，从而
，
又由于
,所以
，
故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且
，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥
DE.
连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C, 所以AF ⊥A 1D 因为
，所以AF ⊥平面A 1ED.
（3）连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,
又NF 平面ACF, A 1N 平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N, 故
为二面角A 1-ED-F 的平面角.
易知，所以，
又所以，
在
,
连接A 1C 1,A 1F 在。

所以
所以二面角A 1-DE-F 正弦值为.
9．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）（本题满分14分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，且
11(01)PC CC λλ=<<．
（I ）求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥；
（II ）若13
λ=，求二面角1P AB B --的余弦值； （III ）是否存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影 平分1B AC ∠？若存在, 求出λ的
值, 若不存在，说明理由．
答案解：（I ）以D 为坐标原点，分别以1DA DC DD 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立
空间直角坐标系，设1AB =，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,2)D A B C B ，
1(0,1,2),(0,1,22)C P λ-，从而(1,1,0),(1,1,22)BD AP λ=--=--， 0BD AP ∴=，即AP BD ⊥． （４分）
（II ）由（Ｉ）及13λ=得，14(1,1,),(0,1,2)3
AP AB =-=， 设平面1AB P 的法向量为(1,,)n x y =，则43103320
2x x y y x y =⎧⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪+=⎩⎩， 从而可取平面1AB P 的法向量为(2,6,3)n =-，
又取平面1ABB 的法向量为(1,0,0)m =，且设二面角1P AB B --为θ， 所以 2cos 7m n
m n θ== （９分） （III ） 假设存在实数(01)λλ<<满足条件，
由题结合图形，只需满足AP 分别与1AC AB 、所成的角相等，
即 11AP AB AP AC
AP AC AP AB =，即2
624865
λλ=-+，
解得 5(0,1)4
λ=∈．所以存在满足题意得实数54，使得AP 在平面1B AC 上 的射影平分1B AC ∠ （14分）。