(安徽专用)高考数学 空间几何体的表面积与体积课后作业 文 新人教A版

课后作业(四十一) 空间几何体的
表面积与体积
一、选择题
1．(2012·课标全国卷)如图7－2－11，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
图7－2－11
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
2．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )
A.7
2
π B ．56π C ．14π D ．64π
图7－2－12
3．如图7－2－12所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )
A.312
B.34
C.
612 D.64
图7－2－13
4．(2013·大连模拟)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图7－2－13所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3
5．(2013·西安八校联考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－14所示，其顶点都在一个球面上，则球的表面积为( )
图7－2－14
A.43π
B.163π
C.19π3
D.19π12
图7－2－15
6．(2012·合肥质检)若正四棱锥的正视图如图7－2－15所示，则该正四棱锥的体积是( )
A.423
B.433
C.
223 D.233 二、填空题 7．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－16所示，则该几何体的表面积为________．
图7－2－16
8．圆锥的全面积为15π cm 2
，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为
________cm 3
.
9．一个几何体的三视图如图7－2－17，该几何体的表面积为________．
图7－2－17
三、解答题
10．若一个底面边长为6
2
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
11．如图7－2－18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
图7－2－18
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
图7－2－19
12．如图7－2－19，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点．记CD＝x，V(x)表示四棱锥F—ABCD 的体积．
(1)求V(x)的表达式；
(2)求V(x)的最大值．
解析及答案
一、选择题 1．
【解析】 由题意知，此几何体是三棱锥，其高h ＝3，相应底面面积为S ＝1
2
×6×3＝9，
∴V ＝13Sh ＝1
3×9×3＝9.
【答案】 B 2．
【解析】 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2bc ＝3ac ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2
b ＝1，
c ＝3
令球的半径为R ，则(2R )2
＝22
＋12
＋32
＝14，
∴R 2
＝72
，
∴S 球＝4πR 2
＝14π. 【答案】 C
3．
【解析】 在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为3
2，又S △BB 1C 1
＝1
2
， ∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝13×32×12＝3
12
.
【答案】 A 4．
【解析】 设底面边长为x ，则V ＝34
x 3
＝23，∴x ＝2.
由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3. 【答案】 B 5．
【解析】 如图所示，F 、H 是正三棱柱上下底面的中心，则球心O 是FH 的中点， 由三视图知AB ＝2，FH ＝1，则AE ＝3，
AF ＝233，OF ＝12，
∴OA ＝
（12）2＋（233）2＝ 19
12
， ∴球的表面积S 球＝4πOA 2
＝19π3
.
【答案】 C
【解析】 由题易知，该四棱锥底面正方形的对角线的长度为2，故边长为2，又该四
棱锥的高为3，故其体积为13×2×3＝23
3
.
【答案】 D 二、填空题 7．
【解析】 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
【答案】 38
8．【解析】 设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为1
2
×(2πr )a ＝πra .
由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧πra ＋πr 2
＝15π
πra ＝16πa 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧r 2＝
157
a 2＝
36×157
，
故圆锥的高h ＝a 2－r 2
＝53，
所以体积为V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π(cm 3
)．
【答案】 25
7
3π
9．
【解析】 该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，
∴S ＝S 侧＋S 表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360. 【答案】 360 三、解答题 10．
【解】 在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1， 则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6， 在Rt △BEE 1中，
BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， ∴2R ＝23，则R ＝3，
∴球的体积V 球＝43
πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2
＝12π.
【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×2×2＋2×1
2×(2)2
＝(22＋42)(cm 2
)，
所求几何体的体积V ＝23＋12
×(2)2×2＝10(cm 3
)．
12．
【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ，
∴FA ＝2，BD ＝4－x 2
(0＜x ＜2)，
∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2
，
∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2
(0＜x ＜2)．
(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23
－x 4＋4x 2
＝23－（x 2－2）2
＋4. ∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2
＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43
.。