6-6 广义积分与伽玛函数

微积分 六⑤
x1
dx
C .
1 0
x 2x 1
3
x 1
2
dx
D . e x 1 dx
0
1
1
20/32
1. 设f(x)在(a,b]连续，x=a 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) a

若 lim a f ( x ) dx 极限存在，则称瑕积分 a f ( x ) dx 0
2
x
f (x)
1 0

2 e
f (1 ) f ( 0 )
0
f (1 )

1 1
e dt 0
2 e 1 e 1
t
f (0) 3 e

e dt e
t
t
1 0

1 e
1
1
原式
微积分 六⑤
1
5/32
4 .已 知 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 5 , f ( ) 2, 求 f ( 0 ) .
(1 )

ln x d x ;
1
( 2)

xe
0
x
dx;
解： (1 )

1
ln x d x lim
t 1
t

t 1
t
ln x d x
1

t 1
ln x d x x ln x
t 1

t ln t x
lim
t
x t ln t t 1

b
b
收敛，记为 a f ( x ) dx lim a f ( x ) dx 0

b
b
注意：瑕点就是无穷间断点. 2.设f(x)在[a,b)连续，x=b 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) b
t
1

1 0
x f ( x ) dx
4 .已 知 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 5 , f ( ) 2, 求 f ( 0 ) .
0
微积分 六⑤
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1. 若3 f (ax )dx 2 f ( x )dx , 则a ____ . 2
微积分 六⑤
c
c

f ( x ) dx
是否收敛.
结论如下：如果这两个积分都收敛，则原积分也收敛
f ( x ) dx
,否则原积分发散.
其中任何一个无穷积分发 散,则原积分发散
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例5. 计算广义积分 解：


dx 1 x
2
2
.
dx 1 x
lim ( 1 e
b
) 1 故原反常积分收敛.
1
(2)


dx x
(ln x )
lim ln x 0
x
1
故原反常积分发散.
微积分 六⑤
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例3.讨论 解:当
1
1 x

d x 的敛散性
1时

1
1 x

dx
x

2
x
2.2、概念 形如


f ( x )d x
a

b
f ( x )d x


f ( x )d x
的积分称为无穷限积分
微积分 六⑤
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1.
a

f ( x ) dx
t
设 f(x)在 [ a , ) 连续， 如果 lim 则称反常积分 a

a

t a
设 f(x)在 ( , b ] 连续，如果 lim

b
t

b t
f ( x ) d x 极限存
f ( x ) d x 收敛，并称此极限为反
常积分的值，记为

b
f ( x ) d x lim
t

b
f ( x )d x
t
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例2.判别下列积分的敛散性，收敛时求其值.
2
lim [ln( 1 x ) | 0 ]
2 b b
所以 0
2 xdx 1 x
2
发散，从而

2 xdx 1 x
2
也发散.
如果用奇函数对称区间上积分性质则有：


2 xdx 1 x
2

0
微积分 六⑤
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如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断，则称该点为 f(x)的瑕点，并称积分 a f ( x ) dx 为瑕积分. 瑕积分比广义积分难，难在瑕点不容易发现。如：
若 f(x) 为无界函数，则称 a f ( x ) dx 为瑕积分
b
微积分 六⑤
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2.1、引例 例1 求由曲线y =
所“围成”的开口曲边梯形的面积。 解：如图，由定积分几何意义 0
S
y 1 (x≥0)与坐标轴 A 2 1+x
1 y= 1+x2 B b x


1
0
1 x
2
dx
?
在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，则 b 1 dx 曲边梯形A0bB的面积 S 1 2 0 1 x 当b→+∞时， S 1 S 即
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1. 若3 f (ax )dx 2 f ( x )dx , 则a ____ .
0 0
1
a
1 1 ex 2 .设 f ( x ) 1 1 x
3. f ( x )

x 0 x 0 ,求
2 0
f ( x 1 ) dx .

x
2
e dt 求
0 0
1
a
3
解：令 ax t ,
且 x 0 ,1
1 0
则x
1 a
t
dx
1 a
dt
t 0, a
a
3 f ( ax ) dx 3 f ( t )
0
1 a
a 0
dt
a
3
a
f ( t ) dt
0

a
3 a
3
a
0
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx a 3 2
f ( x ) d x 极限存在
f ( x ) dx 收敛， 并称此极限为广义
积分的值，记为 2. f ( x ) dx 在则称反常积分
微积分 六⑤
b

f ( x ) d x lim
t

t
f ( x )d x
a
如果上式极限不存在，则称广义积分发散. （请同学们参照1.给出定义）
0 2
1

2
0
dx 1 x

b
0

dx 1 x
2
lim
a a 1
a
dx lim
0 a
x
b 0 1
b
1 x
2
dx
b 0
lim arctan x
lim arctan x
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2 dx dx 2 2 arctan x 0 2 2
0
x e
t
x
d x lim
t

t 0
x e
x t
dx
t x
lim

xde
0
t
x
lim [ x e
t
t
0
e
0
dx ]
lim [ te
t
e
1]
1
故原反常积分收敛，且

ห้องสมุดไป่ตู้ 0
x e
x
dx 1
微积分 六⑤

0 1
dt 1 e
t
e u
t

1 1 e
1
1 u u

1
du
u
1

1 1 e
(
1 u

1 1 u
1
) du ln
u 1 u
1
1 e

2 0
f ( x 1 ) dx ln
1 u
1 e
ln( 1 t ) 0 ln( 1 e )
微积分 六⑤
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3. f ( x )
0

解
原式＝


0
f ( x ) sin xdx


0
f ( x ) sin xdx

0
＝


0
f ( x ) d cos x


sin xd f ( x )
＝ [ f ( x ) cos x ] 0


0
f ( x ) cos xdx
[ f ( x ) sin x ] 0
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约定记号：若 F ( x ) f ( x ) 则

a
f ( x )dx F ( x )
0
a
lim F ( x ) F ( a )
x

上题可以写成：
(2) x e
x
dx 0
x 0
xde
x
[ xe



e
0
x

1 x
2
0
1 x
2
奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用！ 对否？
微积分 六⑤
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奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用！ 例6. 积分
解：0


2 xdx 1 x
2
是否收敛？
b
2 xdx 1 x

2
lim 0
b
2 xdx 1 x
t

x
1
dx
为什么 ？

t 1
ln x d x lim ( t ln t t 1)
故原反常积分发散
微积分 六⑤
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例2.判别下列积分的敛散性，收敛时求其值.
(1 )

ln x d x ;
1
( 2)

xe
0
x
dx;
x
解： 2 ) (
t
b

1 1
1 x
2
dx

1 x
1 1
1 ( 1) 2
注意:被积函数不满足可积条件,则不能使用牛顿--莱布尼兹公式
C 例7. 下列积分属于瑕积分的为_____ (P223,1(3))
A .
1 0
sin x x
dx
B .
1 0
x 1
3
一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有没 有无穷间断点
反常积分 1
微积分 六⑤
dx x

在 1 收敛;在 1 时发散.
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例4. 下列积分收敛的是（ C ）
A

2
dx x
, B

1
dx x
, C

2
dx x
, D 2

1
x dx
2
3. 形如 f ( x ) dx 的积分 对于积分 f ( x ) dx 我们采取将其一分为二的方法， 考虑如下的两个积分 f ( x ) dx 与 c 且 f ( x ) dx f ( x ) dx c 注意：c为常数，通常取0或1



0
f ( x ) cos xdx
＝ f ( ) f ( 0 ) ＝ 2 f ( 0 ) 5
f (0) 3
微积分 六⑤
微 积
Fundamental Improper Integrals
分
电 子 教 案
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 y 三、Г-函数
o
y f (x )
2
微积分 六⑤
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1 1 ex 2 .设 f ( x ) 1 1 x
x 0 x 0 ,求
2 0
f ( x 1) d x .
解:
设 x 1 t ，则 dx dt ，
且当 x 0时， t 1；当 x 2时， t 1。于是 0 1 dt 1 1 2 dt f ( x 1 ) dx f ( t ) dt 1 t 0 1 t 0 1 1 e
x
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引入定积分概念时，有两个基本要求： 1、积分区间[a,b]是有限的； 2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的。 这种通常意义下的积分称为常义积分。 破坏这两个条件中的一条，就称为反常积分或广义 积分。 即： b 若[a,b]变为无限区间，则称 a f ( x ) dx 为无穷限积分

x
2
e dt 求
x
2
t
1 t

1 0
x f ( x ) dx
x
2
解
f ( x ) (
e dt ) e
1 0
(2 x )
1 0
1

1 0
x f ( x ) dx

2
xd f ( x ) x f ( x )
1 0


1 0
f ( x )d x
2x e
dx ]
lim [ te
t
t
e
t
1] 1
微积分 六⑤
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练习：判别下列各反常积分的敛散性.
(1)

e
e
x
0
dx , (2)

dx x
x
1
解
(1 )


x
dx lim
b
0
b

b
e
dx lim ( e
b
x
b
)
0
0

0
1 1 x
2
d x lim
b

b 0
1 1 x
2
dx
微积分 六⑤
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0

1 1 x
2
d x lim
b 0
b→+∞

b
1 1 x
2
y
dx
0
A
1 y= 1+x2
0
lim arctan x
b
b
lim [arctan b arctan 0 ]
1
1
1
1 t 1 1 1 lim t 1 1 记住结论！ 1 1 当
1

故
1
dx x



1