福建省永安市2014届高三质量检查文科数学试卷Word版含答案

福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 参考公式：
柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；
锥体体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，34
3
V R π=，其中R 为球的半径.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1．复数1i
z i
=
-（i 是虚数单位）,则复数Z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{}}{
2
0,1,2,3,0
A B x x x ==-=，则集合A ∩B=( )
A ．｛0｝
B ．｛1，2，3｝
C ．｛0，1｝
D ．｛1｝
3．“2=x ”是“1l o g
2
=x ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要
条件
4. 已知向量a =（x ，1），b =（3，6），若a ⊥b ，则实数x 的
值为 （ ）
A ．
21 B ．2- C ． 2 D ． -2
1 5. 一算法的程序框图如右图所示，若输出的，
则输入的ｘ可能为( )
Ａ.－１ Ｂ.０ Ｃ.１ Ｄ.５ 6．若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则( )
A.α内的所有直线与l 异面
B. α内存在唯一的直线与l 平行 C ．α内不存在与l 平行的直线 D. α内的直线与l 都相交
7．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( ) A ．1 B ．2
C ．3 Ｄ.4
8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 9．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，
则sin BAC ∠的值为( ) A
B
D 10．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，
点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒
∠=，则椭圆C 的离心率为( ) A
B ．13 D ． 1
6
11．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x
y x =⋅ 的图象（部分）如下：则按照从左到右的顺序，图象所对应的函数序号安排正确的一组 是（ ）
A
．①④②③
B ．①④③②
C
．④①②③
D ．③④②①
12. 设函数)(x f y =的定义域为D ，对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有
x
x
b x f x f 2)()(21=+，研究函数3sin )(-+=x x x f π可得到
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ） A ．4027 B ．4027- C ．8054 D ．8054-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==， 则AE AF ⋅的值为 .
14．．若变量x ，y 满足10,
220,40.x y x x y ⎧⎪
⎨⎪⎩
－＋≥－y －≤＋－≥则x ＋2y 的最大值为
15. 在区间[1,6]上随机取一实数x ，使得2[2,4]x ∈的概率为
16.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）。

那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_________。

三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数(
)4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，x ∈R .
(Ⅰ） 求函数()f x 的最小正周期和值域； (Ⅱ）若0,2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且()1
2
f θ=
，求sin 2θ的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人玩掷骰子游戏：甲先掷一个骰子，记下向上的点数；然后乙再掷，同样记下向上的点数.如果两人所掷点数之和为偶数则甲胜，否则乙获胜. (Ⅰ）求甲胜且点数之和为6的事件发生的概率；
(Ⅱ）这种游戏规则公平吗？用你所学的知识说明理由.
19．（本小题满分12分）
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根
据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4
1
.
(Ⅰ）设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n
的表达式；
(Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
20．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD =AB =1，∠BAD =90o
，∠BCD =45o
， E 为对角线
BD 中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使平面PBD ⊥平面BCD ,如图2.
(Ⅰ)若点F 为BC 中点，证明：EF ∥平面PCD ； (Ⅱ)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；
(Ⅲ)已知空间存在一点Q 到点P,B,C,D 的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）.
21．（本小题满分12分）
已知函数()2
ln f x x x ax =++，a ∈R .
图2
图1
(Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；
(Ⅱ）当1a =时，函数()()
1
f x
g x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.
( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828)
22．（本小题满分14分）
过点()2,0M 的直线l 与抛物线C ：2
4y x =相交于,A B 两点，过点,A B 分别作y 轴的垂
线交直线l '：22y x =--于点,A B ''．
(Ⅰ）若四边形ABBA
''是等腰梯形，求直线l 的方程； (Ⅱ）若A '，O ，B 三点共线，求证：A B '与y 轴平行； (Ⅲ）若对于任意一个以AB 为直径的圆，在直线x m =上总存在点Q 在该圆上，求实数m 的取值范围．
福建省永安市2014年5月高三质量检查试卷 文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13．9 14．11 15．15
16．2
2
n j
-（这里j 为[1,2]n
中的所有奇数）；
三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
（1）解：∵()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. …………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛
⎫
+∈- ⎪⎝
⎭
， ………3分
4x π⎛⎫⎡
+
∈ ⎪⎣⎝
⎭
. …………4分
∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣
. …………5分 （2）解法1：∵()1
2
f θ=，
1
42
πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭. ……………6分
∴cos 4πθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭. ……………7分
∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
……………9分 212cos 4πθ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
……………11分
2
12=-⨯3
4=. ……………12分
解法2：∵()1
2
f θ=，
1
42πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭. ……………6分
1
cos cos
sin sin
4
42
π
πθθ⎫
-=⎪⎭. ……………7分 ∴1
cos sin 2
θθ-=
. ……………8分 两边平方得221
cos 2cos sin sin 4
θθθθ-+=. ……………10分 ∴ 3
sin 24
θ=. ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲胜且点数的和为6”为事件A ，甲的点数为x ,乙的点数为y
则()x y ,表示一个基本事件. 两人掷骰子的结果包括（1，1），（1，2），…，（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，1），…，（6，6）共36个基本事件； ………2分 事件A 包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3）（4，2），（5，1）共5个……4分 所以36
5
=
）（A P 所以，甲胜且点数之和为6的概率为
36
5
……………6分 (Ⅱ）这种游戏公平. ……………7分 设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数.
所包含基本事件为以下18个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3）（5，5）， (6，2），（6，4），（6，6） ……………9分 所以甲胜的概率为181
();362
P B =
= ……………10分
乙胜的概率为181
()362
P C =
= ……………11分 ()()P B P C =∴
所以这种游戏是公平的 ……………12分 19．（本小题满分12分）
解. (1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(1－5
1
)万元， 第n 年投入为800×(1－
5
1)n －1
万元，所以，n 年内的总投入为. a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－5
1
)n －1=
∑
=n
k 1
800×(1－
5
1)k －1
=4000×［1－(
5
4)n ］ ……………3分
第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+4
1
)， 第n 年旅游业收入400×(1+
4
1)n －1
万元. 所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑
=n k 1
400×(45)k －1=1600×［(45
)n －1］ ………6分
(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0， 即1600×［(45)n －1］－4000×［1－(5
4
)n ］＞0， …………8分 令x =(
5
4)n
，代入上式得. 5x 2－7x +2＞0. ……………10分 解此不等式，得x ＜5
2
，或x ＞1(舍去). 即(
54)n ＜5
2
，由此得n ≥5. ……………11分 ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 ……………12分 20．（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)在△BCD 中，点E 、F 分别为BD 、BC 的中点
∴EF ∥CD ....................2分
又PCD EF
⊄ PCD CD ⊂
∴EF ∥平面PCD ....................4分 (Ⅱ) 在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD =AB =1，∠BAD =90o
，∠BCD =45o
，
∴CD ⊥BD ....................5分
因为平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD ∩平面BCD=BD ，BCD CD 平面⊂，
∴CD ⊥平面PBD ....................6分 ∴CD ⊥PB ....................7分 ∵PB ⊥PD PD ∩CD=D
∴PB ⊥平面PCD ....................8分 又PBC PB 平面⊂
∴平面PBC ⊥平面PCD ....................9分 (Ⅲ) 1 ............12分
21．（本小题满分12分）
（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ∵()2
ln f x x x ax =++， ∴()1
2f x x a x
'=
++. ……………1分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即1
20x a x
++≥对()0,x ∈+∞都成立. ………2分 ∴ 1
2a x x
-≤
+对()0,x ∈+∞都成立. ………3分
当0x >时,
12x x +≥=当且仅当1
2x x
=, 即x =时,取等号.…4分
∴a -≤即a ≥-.
∴a 的取值范围为)
⎡-+∞⎣
. ……………5分
解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞,
∵()2
ln f x x x ax =++， ∴()2121
2x ax f x x a x x
++'=++=.……………1分
方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………2分
1.当0∆≤, 即a -≤≤时, 2210x ax ++≥, 此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,
故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………3分
2.当0∆>, 即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只
需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.
设()2
21h x x ax =++, 则()010,0,4
h a ⎧=>⎪
⎨-<⎪⎩得0a >.
故a >……………4分
综合①②得a
的取值范围为)
⎡-+∞⎣
. ……………5分
（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111
f x x x x x
g x x x x x x ++=-=-=
+++. ()()
21
1ln 1x x g x x +
-'=+. ……………6分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *
)上存在极值，
∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *
)上有解,
即方程1
1ln 0x x
+
-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………7分 令()11ln x x x ϕ=+
-()0x >, 由于0x >, 则()211
0x x x
ϕ'=--<, ∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………8分
∵()413ln 3ln
33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ()51
4ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256
<<, ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………10分 ∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *
)上有解, t ∈N *
∴3t ≤. ……………11分 ∵t ∈N *
， ∴t 的最大值为3. ………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）若四边形A B BA ''为等腰梯形，则2AB k =，……………2分 故直线l 的方程为24y x =-． ……………3分
(Ⅱ）设直线A B 的方程为2x ty =+，112
2(,),(,)A xy B xy ，……………4分 则112(,)2y A y +'-
，222
(,)2
y B y +'-，……………5分
由22,4,=+⎧⎨=⎩x ty y x 得0842=--ty y ，得t y y 421=+，821-=y y ．
因为,,A O B '三点共线，所以2121222
y y ty y -=++， ………7分 即12284y y t +=+，又t y y 421=+，得24y =-，又821-=y
y ， 所以12y =，所以()()
1,2,1,4A B '-， 故直线A B '与y 轴平行； ……………8分 (Ⅲ）设),(0y m Q ，由已知以AB
为直径的圆经过点Q ， 得1-=⋅QB QA k k ，
即1202101-=--⋅--m
x y y m x y y ，……………9分 即2120120()-++y y y y y y 21212()=-++-x x m x x m ．（*）……………10分
由（Ⅱ）知，t y
y 421=+，821-=y y ，则421=x x ，44221+=+t x x ， 代入（*）式得22004y ty m -+24440m mt ---=．
因为总存在点Q ，所以关于的方程恒有解，所以0≥∆要恒成立． 即2216416t m m -+216160mt ++≥对一切的∈t R 恒成立， 整理后得44)44(22--≥+m m t m ．……………12分
①当1-≤m 时，上式不可能对一切的∈t R
②当1->m 时，224444
--≥+m m t m 对一切的∈t R 只需要0442≤--m m ，即2222+≤≤-m ．
综上，所求的实数m 的取值范围为[22-+
……………14分。