福建省安溪一中、德化一中2013届高三数学9月联考试卷 文 新人教A版【会员独享】

德化一中、安溪一中2013届高三期初联考
数学（文科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:
1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本次考试为闭卷考试，严禁考生携带相关书籍进入考场，严禁在考场内使用计算器．
参考公式：锥体体积公式：1
3V Sh =其中S 为底面面积，h 为高
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合M ＝{}2，3，4，5，N ＝{}3，4，5，则M ∩N ＝() A.{}2，3，4，5 B.{}2，3，4 C.{}3，4，5 D.{}3，4
2.设f (x )＝3x
－x 2
，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．（0,1）B ．（1,2）C ．(－2，－1)D ．(－1,0)
3.已知直线1:2310l x y +-=与直线2:650l x my ++=相互垂直，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．—9C ．4D ．—4
4.如图是某学生的8次地理单元考试成绩的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A ．83和85 B ．83和84 C ．82和84 D ．85和85
5. 下图给出的是计算111
1
246
100
S =
++++
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．100?i >B ．100?i ≤ C ．50?i >D ．50?i ≤
6.已知a ＝(2,1)，10a b =，52a b +=，则b = ( ) A.5B.10C ．5 D ．25
7.下列命题中，正确的是( )
A ．直线l ⊥平面α，平面β∥直线l ，则α⊥β
B ．平面α⊥β，直线m ⊥β，则m ∥α
C ．直线l 是平面α的一条斜线，且l ⊂β，则α与β必不垂直
D ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行
8. 已知0<a <1，b >1，且ab >1，则M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1
b
，则这三个数的大小关系为( )
A ．P <N <M
B ．N <P <M
C ．N <M <P
D ．P <M <N
9.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11＝22π
3，则tan a 6＝( )
A. 3 B ．－ 3 C ．±3D ．－
33
10.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π
2，x ∈R )的部分图象如图所示，则该函数表达
式为( )
A ．y ＝2sin(π3x －π6)＋1
B ．y ＝2sin(π6x －π
3)
C ．y ＝2sin(π3x ＋π6)＋1
D ．y ＝2sin(π6x ＋π
3)＋1
11. 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
12.定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，λ∈[0,1]．已知向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →
|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x －1
x
在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实
数k 的取值X 围为( )
A ．[0，＋∞) B．[112，＋∞) C．[32＋2，＋∞) D．[3
2
－2，＋∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．若i 为虚数单位，则复数
31i
i
-+＝________．
14.若抛物线y 2
＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 2
3＝1的右焦点重合，则实数p 的值为________．
15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是________．
16. 有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋1
15>2，…，则按此规律可猜想
此类不等式的一般形式为(n ∈N *
)．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．
18.（本小题满分12分）
已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，p ＝(23，1)． (1)若//m p ，求m n ⋅的值；(2)若角(0,]3
x π
∈，求函数f (x )＝m n ⋅的值域．
19.（本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．
20.（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．
(1)求证：DM ∥平面APC ；
(2)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．
21.（本小题满分12分）
椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝4
3
，
|PF 2|＝14
3
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 过圆x 2＋y 2
＋4x －2y ＝0的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．
22.（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．
(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率； (2)求f (x )的单调区间；
(3)设g (x )＝x 2
－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值X 围．
安溪一中、德化一中2013届高三期初联考 数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．） 13．12i - 14.6 15.12
-
16. 1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)
三、解答题（本大题有6小题，共74分．）
17、解：(1)由a 1＝S 1＝13(a 1－1)得a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝1
3
(a 2－1)，………………………………3分
解得a 2＝14.同理a 3＝－1
8……………………………………………………………………5分
(2)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－1
3(a n －1－1)，………………………………………………7分
得
a n a n －1＝－1
2
.………………………………………………………………………………………10分 ∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．即a n ＝(－12)n
………………………………12分
18．解：(1)若m ∥p ，得
3sin x cos x ＝23
1
⇒sin x ＝2cos x ，……………………………………………2分 因为cos x ≠0，所以tan x ＝2，……………………………………………………………………3分 所以m ·n ＝3sin x cos x ＋cos 2
x ＝3sin x cos x ＋cos 2
x sin 2x ＋cos 2x ＝3tan x ＋1tan 2
x ＋1＝23＋1
5
.……………………6分
(2)f (x )＝
3sin x cos x ＋cos x cos x ＝
32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin(2x ＋π
6
)＋1
2
.…………………………9分 因为x ∈(0，π3]，所以2x ＋π6∈(π6，5π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[1
2
，1]，
所以f (x )∈[1，32]，即函数f (x )＝m ·n 的值域为[1，3
2].………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，
10
0.25M
=，所以40M =.……2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =，40.1040
m p M === 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以24
0.12405
a =
=⨯…………………………5分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人………………………7分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25]内的人为1224{,,,}a a a a ，在区间[25,30)内的人为12{,}b b . 则任选2人共有
1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b 2234(,),(,)a b a a ，
3132414212(,),(,),(,),(,),(,)
a b a b a b a b b b 15种情况，……………………………………………9分
而两人都在[25,30)内只能是12{,}b b 一种，……………………………………………………11分 所以所求概率为114
11515
P =-
=…………………………………………………………………12分 20.解： (1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP ………………………………2分 因为MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以MD ∥平面APC …………………………………5分 (2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB ， 因为AP ⊥PC ，MD ∥AP 所以MD ⊥PC
所以MD ⊥平面PBC ，……………………………………………………………………………8分 所以MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝53，
又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝221.
于是S △BCD ＝1
2S △BCP ＝221，……………………………………………………………………10分
所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝1
3Sh ＝107.……………………………………………………………12分
21.解：(1)设椭圆的半焦距为c (c >0)，因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝43＋14
3＝6，
所以a ＝3.
又PF 1⊥F 1F 2，所以|F 1F 2|＝|PF 2|2
－|PF 1|2
＝25，
即2c ＝25，所以c ＝ 5.从而b 2＝a 2－c 2＝32－(5)2
＝4.
因此，椭圆C 的方程为x 29＋y 2
4＝1.………………………………………………………………5分
(2)方法1：圆x 2
＋y 2
＋4x －2y ＝0的方程可化为(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝5， 所以圆心M 的坐标为(－2,1)，
(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，即l ⊥x 轴时，A 、B 两点关于点(－2,0)对称，不可能关于点M 对称，所以此时不合题意，舍去.……………………………………………………………………………7分
(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 29＋y 2
4＝1y ＝kx ＋2k ＋1
，得x 29
＋
kx ＋2k ＋1
2
4
＝1，
即(9k 2
＋4)x 2
＋(36k 2
＋18k )x ＋36k 2
＋36k －27＝0，
设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－36k 2
＋18k 9k 2＋4，x 1x 2＝36k 2
＋36k －27
9k 2
＋4
，且Δ>0.
因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝2×(－2)，
所以－36k 2
＋18k 9k 2
＋4＝－4，即18k ＝16，所以k ＝8
9.…………………………………………………10分 而此时Δ＝(36k 2
＋18k )2
－4(9k 2
＋4)(36k 2
＋36k －27)
＝144(5k 2
－4k ＋3)＝144×[5×(89)2－4×89＋3]＝144×(3281
＋3)>0，符合题意.
所以直线l 的方程为y －1＝8
9(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.……………………………………12分
方法2：圆x 2
＋y 2
＋4x －2y ＝0的方程可化为(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 219＋y 214＝1， ①x 229＋y 22
4＝1， ②
由①－②，得
x 1－x 2
x 1＋x 2
9＋
y 1－y 2
y 1＋y 2
4
＝0.
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 所以
－4x 1－x 2
9
＋
2
y 1－y 2
4＝0，即y 1－y 2＝8
9
(x 1－x 2).
若x 1＝x 2，则AB ⊥x 轴，此时A 、B 两点关于点(－2,0)对称，不可能关于点M 对称，此时不合题意，舍去.……………………………………………………………………………10分 所以，x 1≠x 2，所以
y 1－y 2x 1－x 2＝89，即直线l 的斜率为8
9
. 又直线l 过点M (－2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝8
9
(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.
因此，直线l 的方程为8x －9y ＋25＝0.…………………………………………………………12分 22.解：(1)由已知f ′(x )＝2＋1
x
(x >0)， (2)
分
f ′(1)＝2＋1＝3.故曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率为3……………………………………3分
(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1
x
(x >0)． (4)
分
①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0恒成立，
所以，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．…………………………………………………………6分 ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0；在区间(－1
a
，＋∞)上，
f ′(x )<0.
所以，函数f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1
a
，＋∞)． (8)
分
(3)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ＝2，……………………………………………………………10分 由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．
(或者举出反例：存在f (e 3)＝a e 3
＋3>2，故不符合题意．)……………………………………11分 当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1
a
，＋∞)上单调递减，
故f (x )的极大值即为最大值，f (－1a )＝－1＋ln(1
－a )＝－1－ln(－a )， (13)
分
所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1
e
3.…………………………………………………………14分。