上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷 (2)

一、单选题
二、多选题
1. 的外接圆的圆心为，半径为1
，
，且，则向量
在向量
方向上的投影数量为（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 已知复数
为纯虚数，则实数
（ ）
A
．B
．
C ．2
D
．
3. 若
，为虚数单位，则
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D
．
4. 已知集合
，
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
5. 已知两个平面
，相互垂直，是它们的交线，则下面结论正确的是（ ）
A
．垂直于平面的平面一定平行于平面B ．垂直于直线的平面一定平行于平面C
．垂直于平面的平面一定平行于直线
D ．垂直于直线的平面一定与平面，都垂直
6. 已知变量x ，y 的关系可以用模型
拟合，设
，其变换后得到一组数据下：
1617181950
3441
31由上表可得线性回归方程
，则c ＝（ ）
A
．
B
．
C ．109
D
．
7.
设函数
的定义域为
，是函数
的导函数，
，则下列不等关系正确的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8. 已知椭圆
的左焦点为，过且斜率为的直线与
交于
两点，与轴交于点．若，则的离
心率为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
9. 如图，在正三棱柱
中，是棱
上任一点，则（
）
A ．正三棱柱
的表面积为B ．三棱锥
的体积为
C ．
周长的最小值为D ．三棱锥
外接球的表面积最小值为
上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷 (2)
上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷 (2)
三、填空题
四、解答题
10.
已知正方体棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M
是棱
上的动点（包括点），已知
，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．无论M ，N 在何位置，为异面直线
B ．若M 是棱中点，则点P
的轨迹长度为
C ．M ，N 存在唯一的位置，使
平面
D ．AP 与平面
所成角的正弦最大值为
11. 如图，点为边长为1的正方形
的中心，为正三角形，平面
平面，是线段
的中点，则（
）
A ．直线、是异面直线
B
．
C ．直线
与平面
所成角的正弦值为D ．三棱锥
的体积为
12. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和
世界粮食供给作出了杰出贡献.
某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：
）近似服从正态分布
.已知
时，有
，
，
.下列说法正确的是（ ）
A
．该地水稻的平均株高约为B ．该地水稻株高的方差约为100
C ．该地株高超过的水稻约占68.27％
D ．该地株高低于的水稻约占99.87％
13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去
不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1
人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．
14.
抛物线
的准线方程为
，则抛物线的标准方程是______．
15. 过点
的直线，截圆
所得弦长为
，则直线的方程为______．
16. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机
抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
感兴趣
不感兴趣合计
男生12
女生5
合计
30
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度
与性别是否有关?
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数
学期望
附：，其中.
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
17. 已知椭圆，焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点的直线交椭圆于两点，点关
于轴的对称点为，求的面积的最大值.
18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点
在双曲线C上.
(1)求线段中点的坐标;
(2)若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足
，求的值.
19. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求n.
20. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
21.
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为
，墙AB的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），
(1)
若，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，△ABC的面积尽可能大.如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积.。