核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.2函数的单调性与
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(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；
(2)求 fHale Waihona Puke x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
第十九页，共26页。
解：(1)证法一：∵函数 f(x)对于任意 x，y∈R 总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋ y)，令 x＝y＝0，得 f(0)＝0，
再令 y＝－x，得 f(－x)＝－f(x)． 在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0 时，f(x)<0， 而 x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 因此 f(x)在 R 上是减函数． 证法二：在 R 上任取 x1，x2 且 x1>x2，则 x1－x2＞0. 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0 时，f(x)<0，而 x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在 R 上为减函数． (2)∵f(x)在 R 上是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为 f(－3)与 f(3)．而 f(3)＝ 3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3，3]上的最大值为 2，最小值为－2.
(－1，1)．
第十一页，共26页。
(2)判断函数 f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解法一：设 0<x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2
＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a＜x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0， 故 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故函数 f(x)在( a，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数 f(x)＝x＋ax(a>0)在(0， a]上是减函数，在( a，＋∞)上是增函数． 解法二：求导可得 f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)＞0，则 1－xa2＞0，解得 x＞ a或 x＜－ a(舍)． 令 f′(x)≤0，则 1－xa2≤0，解得－ a≤x≤ a. ∵x＞0，∴0＜x≤ a. ∴f(x)在(0， a]上是减函数；在( a，＋∞)上是增函数．
．
②如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1＜
x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是
．
(2)单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝
f(x) 在 这 一 区 间 具 有 ( 严 格 的 )
(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间： ①y＝－x2＋2|x|＋3； ②y＝x3－3x.
第十页，共26页。
解：①依题意，可得 当 x≥0 时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当 x＜0 时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数 y＝－x2＋2|x|＋3 在(－∞，－1]，[0，
函数的是( )
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝lnx
D．y＝|x|
解：由所给选项知只有 y＝x3 的定义域是 R 且
为增函数．故选 B.
第五页，共26页。
若函数 y＝ax＋1 在[1，2]上的最大值与最小
值的差为 2，则实数 a 的值是( )
A．2
B．－2
C．2 或－2
D．0
解：当 a>0 时，由题意得 2a＋1－(a＋1)＝2，即 a＝2； 当 a<0 时，a＋1－(2a＋1)＝2，即 a＝－2，所以 a＝±2.故选 C.
第二十页，共26页。
点拨： 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目 所给性质和相应的条件，对任意 x1，x2 在所给区间内比较 f(x1)－f(x2)
与 0 的大小，或ff（ （xx12） ）与 1 的大小．有时根据需要，需作适当的变形， 如 x1＝x2＋x1－x2 或 x1＝x2·xx12等．深挖已知条件，是求解此类题的关 键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题
第七页，共26页。
若函数 f(x)＝（ x＋x－ 1，1） x＜2，0，x≥0， 则 f(x)的单调递
增区间为________．
解：作出 y＝f(x)的大致图象如图，
由图易知 f(x)的增区间为(－∞，0]及[1，＋∞)．故填(－ ∞，0]，[1，＋∞)．
第八页，共26页。
设 a 为常数，函数 f(x)＝x2－4x＋3.若 f(x＋a)在[0，＋∞) 上
是增函数，则 a 的取值范围是________．
解 ： ∵f(x) ＝ x2 － 4x ＋ 3 ＝ (x－2) 2 － 1 ， ∴ f (x＋a) ＝ (x＋a－2)2－1，且当 x∈[2－a，＋∞)时，函数 f(x＋a)单调
递增，因此 2－a≤0，即 a≥2.故填[2，＋∞)．
第九页，共26页。
类型一 判断函数的单调性，求函数的单调 区间
1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故 y＝－x2＋2|x|
＋3 的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和
[1，＋∞)．
②y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令 y′＞0，得 x＞1 或 x＜－1， 由 y′＜0，得－1＜x＜1， ∴y＝x3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为
第二十二页，共26页。
解：(1)f(1)＝fxx＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设 0＜x1＜x2，则由 fxy＝f(x)－f(y)，得
f(x2)－f(x1)＝fxx21，∵xx21＞1，∴fxx21＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
性定义还有如下的两种等价形式： 设 x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，那么 (1)f（x1）x1－－xf（2 x2）＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，
＝(x1－x2)x1＋12x22＋34x22＋1＜0，
即 f(x1)<f(x2)，
所以 f(x)＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
证法二：(导数法) 因为 f′(x)＝3x2＋1>0 在(－∞，＋∞)上恒成立，所以 f(x)在(－
∞，＋∞)上是增函数．
第十五页，共26页。
类型二 函数单调性的应用
(3)∵f(6)＝f366＝f(36)－f(6)，又 f(6)＝1，
∴f(36)＝2，原不等式化为：f(x2＋5x)＜f(36)，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴x1x＋＞50＞，0，
解得 0＜x＜4.
x2＋5x＜36，
第二十三页，共26页。
1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数 单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调
， 区 间 D 叫 做 y ＝ f(x)
的
．
第二页，共26页。
2．函数的最值
(1)最大值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
①对于任意的 x∈I，都有
；
②存在 x0∈I，使得
．
那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
(2)最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：
第二章
函数的概念、基本初等(chūděng)函 数(Ⅰ)及函数的应用
• 2.2 函数(hánshù)的单调 性与最大(小)值
第一页，共26页。
1．函数的单调性
(1)增函数与减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：
①如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1＜
x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是
第十六页，共26页。
点拨： 函数单调性常见用途有：(1)判断函数零点；(2)
求函数值域；(3)比较大小；(4)求参数范围．
第十七页，共26页。
(2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实 数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则实数 a 的取值范围是
________．
解：2x(3x＋a)＜1 可化为 a＜2－x－3x，则在区间[0，1]上存在
(1)函数 y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．
解：y＝－(x－3)|x| ＝－x2－x2＋3x，3x，x＜x≥0，0，
作出函数图象，由图象可知其递增区间为0，32.故填0，32.
第十四页，共26页。
(2)求证：函数 f(x)＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
证法一：(定义法) 任取 x1<x2，则 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)＝(x31＋x1)－(x32＋x2) ＝(x13－x32)＋(x1－x2) ＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22＋1)
可依题目条件取 f(x)＝－23x.
第二十一页，共26页。
(2013·南昌模拟)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且对一切 x＞0，y＞0 都有 fxy＝f(x)－f(y)，当 x＞1 时，有
f(x)＞0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明；
(3)若 f(6)＝1，解不等式 f(x＋5)－f1x＜2.
第六页，共26页。
(2015·湖南)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－ x)，则 f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
解：f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又 f(－ x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数．显然， f(x)在(0，1)上单调递增．故选 A.
实数 x 使 2x(3x＋a)＜1 成立等价于 a＜(2－x－3x)max(x∈[0，1])．函
数 y＝2－x－3x 在[0，1]上单调递减，∴y＝2－x－3x 的最大值为 20
－0＝1，∴a＜1，故 a 的取值范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)．
第十八页，共26页。
类型三 抽象函数的单调性
已知函数 f(x)对于任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23.
第十二页，共26页。
点拨： 求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一
致．通常有以下几种方法：(1)定义法：先求定义域，再
利用单调性定义求解；(2)图象法：可由函数图象的直观 性写出它的单调区间；(3)导数法：利用导数取值的正负
确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域 的子集．
第十三页，共26页。
若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝ax在区间[1，2]上都是减
函数，则实数 a 的取值范围是____________．
解：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，f(x)在[1，2]上是 减函数，则 a≤1.g(x)＝ax在[1，2]上是减函数，则 a>0.∴0<a
≤1.故填(0，1]．
f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－
x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
第二十四页，共26页。
2．函数单调性的判断 (1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法等．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一 个减(增)函数的差是增(减)函数；
①对于任意的 x∈I，都有
；
②存在 x0∈I，使得
．
那么我们称 N 是函数 y＝f(x)的最小值．
第三页，共26页。
自查自纠：
1．(1)①任意两个 增函数 ②任意两个
(2)单调性 单调区间
2．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M
(2)①f(x)≥N ②f(x0)＝N
减函数
第四页，共26页。
(2014·北京)下列函数中，定义域是 R 且为增
(2)求 fHale Waihona Puke x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
第十九页，共26页。
解：(1)证法一：∵函数 f(x)对于任意 x，y∈R 总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋ y)，令 x＝y＝0，得 f(0)＝0，
再令 y＝－x，得 f(－x)＝－f(x)． 在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0 时，f(x)<0， 而 x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 因此 f(x)在 R 上是减函数． 证法二：在 R 上任取 x1，x2 且 x1>x2，则 x1－x2＞0. 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0 时，f(x)<0，而 x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在 R 上为减函数． (2)∵f(x)在 R 上是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为 f(－3)与 f(3)．而 f(3)＝ 3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3，3]上的最大值为 2，最小值为－2.
(－1，1)．
第十一页，共26页。
(2)判断函数 f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解法一：设 0<x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2
＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a＜x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0， 故 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故函数 f(x)在( a，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数 f(x)＝x＋ax(a>0)在(0， a]上是减函数，在( a，＋∞)上是增函数． 解法二：求导可得 f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)＞0，则 1－xa2＞0，解得 x＞ a或 x＜－ a(舍)． 令 f′(x)≤0，则 1－xa2≤0，解得－ a≤x≤ a. ∵x＞0，∴0＜x≤ a. ∴f(x)在(0， a]上是减函数；在( a，＋∞)上是增函数．
．
②如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1＜
x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是
．
(2)单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝
f(x) 在 这 一 区 间 具 有 ( 严 格 的 )
(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间： ①y＝－x2＋2|x|＋3； ②y＝x3－3x.
第十页，共26页。
解：①依题意，可得 当 x≥0 时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当 x＜0 时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数 y＝－x2＋2|x|＋3 在(－∞，－1]，[0，
函数的是( )
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝lnx
D．y＝|x|
解：由所给选项知只有 y＝x3 的定义域是 R 且
为增函数．故选 B.
第五页，共26页。
若函数 y＝ax＋1 在[1，2]上的最大值与最小
值的差为 2，则实数 a 的值是( )
A．2
B．－2
C．2 或－2
D．0
解：当 a>0 时，由题意得 2a＋1－(a＋1)＝2，即 a＝2； 当 a<0 时，a＋1－(2a＋1)＝2，即 a＝－2，所以 a＝±2.故选 C.
第二十页，共26页。
点拨： 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目 所给性质和相应的条件，对任意 x1，x2 在所给区间内比较 f(x1)－f(x2)
与 0 的大小，或ff（ （xx12） ）与 1 的大小．有时根据需要，需作适当的变形， 如 x1＝x2＋x1－x2 或 x1＝x2·xx12等．深挖已知条件，是求解此类题的关 键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题
第七页，共26页。
若函数 f(x)＝（ x＋x－ 1，1） x＜2，0，x≥0， 则 f(x)的单调递
增区间为________．
解：作出 y＝f(x)的大致图象如图，
由图易知 f(x)的增区间为(－∞，0]及[1，＋∞)．故填(－ ∞，0]，[1，＋∞)．
第八页，共26页。
设 a 为常数，函数 f(x)＝x2－4x＋3.若 f(x＋a)在[0，＋∞) 上
是增函数，则 a 的取值范围是________．
解 ： ∵f(x) ＝ x2 － 4x ＋ 3 ＝ (x－2) 2 － 1 ， ∴ f (x＋a) ＝ (x＋a－2)2－1，且当 x∈[2－a，＋∞)时，函数 f(x＋a)单调
递增，因此 2－a≤0，即 a≥2.故填[2，＋∞)．
第九页，共26页。
类型一 判断函数的单调性，求函数的单调 区间
1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故 y＝－x2＋2|x|
＋3 的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和
[1，＋∞)．
②y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令 y′＞0，得 x＞1 或 x＜－1， 由 y′＜0，得－1＜x＜1， ∴y＝x3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为
第二十二页，共26页。
解：(1)f(1)＝fxx＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设 0＜x1＜x2，则由 fxy＝f(x)－f(y)，得
f(x2)－f(x1)＝fxx21，∵xx21＞1，∴fxx21＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
性定义还有如下的两种等价形式： 设 x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，那么 (1)f（x1）x1－－xf（2 x2）＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，
＝(x1－x2)x1＋12x22＋34x22＋1＜0，
即 f(x1)<f(x2)，
所以 f(x)＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
证法二：(导数法) 因为 f′(x)＝3x2＋1>0 在(－∞，＋∞)上恒成立，所以 f(x)在(－
∞，＋∞)上是增函数．
第十五页，共26页。
类型二 函数单调性的应用
(3)∵f(6)＝f366＝f(36)－f(6)，又 f(6)＝1，
∴f(36)＝2，原不等式化为：f(x2＋5x)＜f(36)，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴x1x＋＞50＞，0，
解得 0＜x＜4.
x2＋5x＜36，
第二十三页，共26页。
1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数 单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调
， 区 间 D 叫 做 y ＝ f(x)
的
．
第二页，共26页。
2．函数的最值
(1)最大值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
①对于任意的 x∈I，都有
；
②存在 x0∈I，使得
．
那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
(2)最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：
第二章
函数的概念、基本初等(chūděng)函 数(Ⅰ)及函数的应用
• 2.2 函数(hánshù)的单调 性与最大(小)值
第一页，共26页。
1．函数的单调性
(1)增函数与减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：
①如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1＜
x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是
第十六页，共26页。
点拨： 函数单调性常见用途有：(1)判断函数零点；(2)
求函数值域；(3)比较大小；(4)求参数范围．
第十七页，共26页。
(2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实 数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则实数 a 的取值范围是
________．
解：2x(3x＋a)＜1 可化为 a＜2－x－3x，则在区间[0，1]上存在
(1)函数 y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．
解：y＝－(x－3)|x| ＝－x2－x2＋3x，3x，x＜x≥0，0，
作出函数图象，由图象可知其递增区间为0，32.故填0，32.
第十四页，共26页。
(2)求证：函数 f(x)＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
证法一：(定义法) 任取 x1<x2，则 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)＝(x31＋x1)－(x32＋x2) ＝(x13－x32)＋(x1－x2) ＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22＋1)
可依题目条件取 f(x)＝－23x.
第二十一页，共26页。
(2013·南昌模拟)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且对一切 x＞0，y＞0 都有 fxy＝f(x)－f(y)，当 x＞1 时，有
f(x)＞0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明；
(3)若 f(6)＝1，解不等式 f(x＋5)－f1x＜2.
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(2015·湖南)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－ x)，则 f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
解：f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又 f(－ x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数．显然， f(x)在(0，1)上单调递增．故选 A.
实数 x 使 2x(3x＋a)＜1 成立等价于 a＜(2－x－3x)max(x∈[0，1])．函
数 y＝2－x－3x 在[0，1]上单调递减，∴y＝2－x－3x 的最大值为 20
－0＝1，∴a＜1，故 a 的取值范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)．
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类型三 抽象函数的单调性
已知函数 f(x)对于任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23.
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点拨： 求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一
致．通常有以下几种方法：(1)定义法：先求定义域，再
利用单调性定义求解；(2)图象法：可由函数图象的直观 性写出它的单调区间；(3)导数法：利用导数取值的正负
确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域 的子集．
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若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝ax在区间[1，2]上都是减
函数，则实数 a 的取值范围是____________．
解：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，f(x)在[1，2]上是 减函数，则 a≤1.g(x)＝ax在[1，2]上是减函数，则 a>0.∴0<a
≤1.故填(0，1]．
f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－
x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
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2．函数单调性的判断 (1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法等．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一 个减(增)函数的差是增(减)函数；
①对于任意的 x∈I，都有
；
②存在 x0∈I，使得
．
那么我们称 N 是函数 y＝f(x)的最小值．
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自查自纠：
1．(1)①任意两个 增函数 ②任意两个
(2)单调性 单调区间
2．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M
(2)①f(x)≥N ②f(x0)＝N
减函数
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(2014·北京)下列函数中，定义域是 R 且为增