二分支人字齿轮传动系统的固有频率参数灵敏度分析

2023年第47卷第3期Journal of Mechanical Transmission
二分支人字齿轮传动系统的固有频率参数灵敏度分析
张全清王三民赵春阳马耀辉任鸿飞
（西北工业大学机电学院，陕西西安710072）
摘要针对某大功率舰船中常用的二分支人字齿轮传动系统，计算其固有频率的参数灵敏度数值，分析了啮合刚度、转动惯量、制造误差等结构参数的变化对传动系统固有频率的影响；建立分支传动的扭转动力学模型，利用有限元分析验证了分支传动的振动模态特性；采用模态法推导出多元激励下的参数灵敏度表达式，并将其应用于二分支人字齿轮传动系统的平稳性分析。

基于理论计算的灵敏度数值和实际工作条件，对传动系统结构进行了优化设计。

实例验证发现，由此获得的修改方案明显改善了轮系的抗振性能；该分析方法获得的关键参数对系统实现抗振降噪效果明显。

该分析方法同样可用于其他类型分支传动的减振降噪设计。

关键词二分支人字齿轮传动灵敏度固有频率结构优化
Parameter Sensitivity Analysis of Natural Frequency of a Two Branch
Herringbone Gear Transmission System
Zhang Quanqing Wang Sanmin Zhao Chunyang Ma Yaohui Ren Hongfei
(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi´an 710072, China)
Abstract Parameter sensitivity values of natural frequency of the two branch herringbone gear drive system commonly used in a high-power ship are calculated,and the influence of structural parameters such as meshing stiffness,moment of inertia and manufacturing error on natural frequency of the transmission system is obtained. The torsional dynamic model of the branched drive is established, the vibration mode characteristics of the branched drive are verified by finite element analysis, the parameter sensitivity expression under multi-excitation is deduced by the mode method, and it is applied to the stability analysis of the two-branched herringbone gear drive system. Then, according to the sensitivity value calculated theoretically and the actual working conditions, by optimizing the structure of the transmission system, the modified scheme obtained by this method significantly improves the vibration resistance of the gear train, and through an example, it is found that the key parameters obtained by this analysis method have obvious effect on anti-vibration and noise reduction of the system. This analysis method can also be used in vibration and noise reduction design of other types of branch drives.
Key words Two branch herringbone gear transmission Sensitivity Natural frequency Structural opti⁃mization
0 引言
近年来，在国防领域，随着海军的现代化进程，对舰船的速度、动力、降噪和抗振等提出了更高的要求。

在高速重载的舰船大功率传动装置中，大量使用了人字齿分支传动装置，这些传动装置的正常工作，有效地保证了舰船的工作特性，比如舰船的稳定性。

众所周知，船用齿轮传动系统应尽可能降低结构噪声，以免被声呐捕捉；且需要对传动系统进行抗共振分析，以保证传动系统的固有频率与其内部零件的轴频、齿频不发生重合或接近；振动明显时，需对结构进行变动以满足减振降噪要求。

其中，参数灵敏度分析是目前在结构优化方面最为普遍的分析方法，对减振降噪设计具有积极的指导意义。

近些年，国内外诸多学者对齿轮传动系统的固
文章编号：1004-2539（2023）03-0001-07DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.001
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有频率参数灵敏度进行了大量富有意义的研究。

Ambarisha 等[1-3]主要研究了斜齿行星齿轮传动系统的固有特性，揭开了研究齿轮系统固有特性的序幕。

Zhang 等[4]运用参数灵敏度分析研究了齿轮修形对动态特性的影响，确定了轮齿修形参数和传动误差波动之间的定量关系。

赵永强等[5-7]对二级人字齿行星齿轮传动系统的固有频率啮合刚度敏感性进行了深入研究，并提出了模态应变能与参数灵敏度的数学关系。

林梅彬[8]建立了齿轮非线性动力学模型，对非线性系统进行了扭转刚度、啮合刚度的灵敏度分析。

唐帆等[9]研究了虚拟响应下多源随机激励系统的参数灵敏度特性，对汽车进行了平稳性设计。

李永欣等[10]基于特征灵敏度技术对船用齿轮箱的减振进行了优化设计。

张栋林等[11]利用灵敏度技术分析了封闭差动轮系的固有特性以及频率对刚度和质量的灵敏度。

Zhao 等[12]基于风力发电机组的扭转动力学进行了灵敏度分析，发现系统固有频率对于轴的扭转刚度和齿轮啮合刚度十分敏感。

Zhang 等[13]研究了各级行星数和耦合刚度对两级闭式行星齿轮组固有模态的影响，以分析其动态响应和避免共振。

然而，关于分路结构参数对二分支传动系统固有特性的研究相对较少。

所以，本文主要研究分支传动系统固有特性与分扭级和并车级参数的关系。

首先，对某船用二分支人字齿轮传动系统进行特征灵敏度分析，获得
各结构参数对系统模态频率的影响程度；然后，选取对系统影响显著的参数进行优化设计，得到了满足降噪减振要求的结构修改方案。

1 系统的抗振分析
本文研究的二分支人字齿轮传动系统，指的是由所有齿轮、轴、花键等组成的系统，不包含箱体。

传动系统的几何模型如图1
所示。

图1　几何模型
Fig. 1　Geometric model
该型号大功率舰船中采用二分支人字齿轮传动系统，其整个系统的基本参数如表1所示。

研究分支传动系统固有频率对啮合刚度、转动惯量、制造误差的参数灵敏度。

其中，制造误差取齿廓偏差和螺旋线偏差之和。

采用传统思路搭建该几何模型的系统扭转动力学模型，即主要使用集中参数法联合有限元理论法建立模型：用铁木辛柯梁单元模拟人字齿轮中间轴段、用集中质量节点模拟人字齿轮两侧斜齿轮；在
分析过程中忽略齿侧间隙的影响。

整个系统由输入端、分扭级、并车级和输出端的6个人字齿轮以及中间轴段相互联接而成，每个人字齿轮左右两侧斜齿轮都为1个集中质量节点，故系统共有12个节点。

表1　传动系统结构参数
Tab. 1 Structural parameters of the transmission system
质量/kg 转动惯量/（kg·mm 2）
齿数模数/mm 螺旋角/（°）压力角/（°）齿宽/mm 制造误差/μm 啮合刚度/（N/m ）弯曲刚度/（N/m ）
扭转刚度/（N/m ）
分扭级
输入轮
2.1
3 310303223076351.03×10104.69×109
轴段1
1.1×106
轴段23.13×107
分扭轮19.6
201 625105322307635 1.03×10104.69×109
轴段33.13×107
分扭轮29.6
201 6251053223076
35轴段4181 000
并车级并车轮15.3
20 156354.252230122351.51×10108.78×109
轴段51.34×108
并车轮25.3
20 156354.25223012235轴段61.34×108
1.51×10108.78×109
输出轮35.2
2.333×106
1304.252230122
35轴段71.13×107
2
第3期张全清，等：二分支人字齿轮传动系统的固有频率参数灵敏度分析
动力学模型如图2
所示。

图2　传动系统扭转动力学模型
Fig. 2　Torsional dynamic model of the transmission system
采用扭转振动动力学模型的原因在于：纯扭模型较为简单、运算速度快、求解时间短、实用性能更高；而轮系多发生扭转振动，采用扭转模型进行分析，对系统降噪减振设计更具指导意义。

在分支传动系统中，考虑人字齿轮的结构特点，每个等效节点都有3个方向自由度，齿轮副啮合和轴承支撑均被简化为弹簧和阻尼器，不考虑惯性作用的影响。

最终得到的二分支人字齿轮传动系统扭转动力学方程为
[M ]q t (t )+[C ]q t (t )+[K t ]q t (t )=F t (t )
（1）
式中，[Μ]为系统的转动惯量矩阵；[C ]为系统等效阻尼矩阵；[K t ]为系统等效刚度矩阵，满足[K t ]=[K b ]+[K m ]，即为扭转刚度和啮合刚度之和；q t (t )
为系统的广义位移向量，q t =[θ1L ，θ1R ，θ2L ，θ2R ，θ3L ，θ3R ，θ4L ，θ4R ，θ5L ，θ5R ，θ6L ，θ6R ]T ；F t (t )为载荷
向量。

上述公式中各向量的详细描述见文献[14]。

由式（1）可得系统无阻尼扭转自由振动方程为
[M ]q t (t )+[K t ]q t (t )=0（2）转换可得其特征方程为
((K b +K m )-ω2i [M ])ϕi =0
（3）
式中，ωi 为系统的第i 阶固有频率；ϕi 为对应ωi 的模态振型。

特征值方程式（3）对应的频率方程为
|((K b +K m )-ω2i [M ])|=0
（4）
由式（4）求得特征值ω2i ，再代入式
（3），即可求得固有频率ωi 对应的模态振型ϕi 。

基于表1所示数据，通过程序计算得到多路分流轮系的固有频率及各阶振型，如表2所示。

表2　轮系前8阶固有频率及模态振型（集中参数法）
Tab. 2　First 8 natural frequencies and modal shapes of the gear
train （lumped parameter method ）
阶数12345678
频率/Hz 132.062 8149.905 1181.351 5210.444 3226.979 1289.585 2311.454 1333.966 8
振型特点分扭级齿轮扭转振动并车级齿轮扭转振动分扭及并车级齿轮反向扭转振动分扭及并车级齿轮反向扭转振动输入及分扭级齿轮扭转振动输入齿轮两侧反向扭转振动输出及并车级齿轮的扭转振动并车齿轮两侧反向扭转振动
同时，利用表1中数据建立传动系统的三维模
型，导入Ansys Workbench 中进行有限元模态分析。

为便于运算收敛，需对几何模型进行简化处理，包括：①忽略几何模型中的小倒角、细小孔洞、螺纹等对整体特性影响微弱的小特征；②对所有的轴承表面施加固定约束（fixed ），对轴和轴承、轴和花键、花键和齿轮都采用固连约束（bonded ），齿轮啮合设置为无摩擦（Frictionless ）。

划分网格后的有限元模型如图3所示。

有限元模态分析的224.34 Hz 固有频率对应的振型如图4所示。

由图4可以看出，有限元模态分析224.34 Hz 下对应的模态振型具备的特点为输入齿轮和分扭级齿轮的扭转振动，与理论分析第5阶
固有频率226.97 Hz 对应的模态振型是一致的。

这说明，本节建立的扭转动力学模型和系统固有特性理论分析都是准确可靠的，则后续进行的特征值灵敏
度分析同样具有可信度。

图3　传动系统的有限元模型
Fig. 3　Finite element model of the transmission system
某大功率舰船常用的二分支人字齿轮传动系统常在13 455 r/min 转速工况下运行，传动系统中齿轮的啮合频率和各轴转频如表3所示。

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图4　224.34 Hz固有频率振型
Fig. 4　Vibration mode of 224.34 Hz natural frequency
表3　传动系统各轴转频和齿轮啮合频率
Tab. 3　Rotation frequency and gear meshing frequency of each
shaft of the transmission system
齿轮
输入齿轮一级从动轮二级主动轮输出齿轮
项目
齿数z
z1
z2
z3
z4
30
105
35
150
实际转速/
（r/min）
13 455
3 844
3 844
896.9
转轴频率/
Hz
224.25
64.06
64.06
14.94
啮合频率/
Hz
6 727
6 727
2 242
2 242
对比表2和表3可知，正常工作时，轮系的前8阶固有频率远远小于各个齿轮的啮合频率，不会发生扭转共振。

当系统在13 455 r/min的转速工作时，输入轴的轴频为224.25 Hz，和传动系统的第5阶固有频率226.97 Hz基本重合，由图3可知，此时传动系统分扭级齿轮将发生严重的扭转共振，振动和噪声明显。

因此，有必要对轮系的结构做出修改，改变系统第5阶固有频率，避免共振发生。

2 人字齿轮分支传动系统特征灵敏度
分析
减振降噪一直是分支传动系统近年来国内外的热门研究话题，获得对系统固有特性影响剧烈的参数变得十分重要，而结构参数的灵敏度分析就是用来评判系统设计参数改变引起系统固有特性变化率的手段。

在传动系统设计初期，灵敏度分析可以迅速找到影响系统固有特性显著的关键参数，为研究人员提供精确的修改建议，实现真正的减振降噪设计。

第1节中验证了动力学方程和理论模态分析的正确性，本节进行参数灵敏度分析。

对式（3）两侧同时左乘ϕT i可得
ϕT i([K t]-ω2i[M])ϕi=0（5）若ωi是系统的独立特征值，则可以通过模态法求解系统的特征值的导数；联立特征值的导数与固有频率两者之间的关系式，从而求解出各系统参数的特征灵敏度。

为了降低运算量，我们进行的结构参数特征灵敏度分析都是针对调谐系统展开的，即传动系统的分扭级和并车级中各自的两个齿轮参数相同，且参数变化规律一致。

结合式（5）求ωi对结构参数的1阶导数，假设结构参数为ε，并且为参数可变，则对式（5）两侧同时求ε偏导可得
(∂ϕT i∂ε)([K t]-ω2i[M])ϕi+ϕT i(∂[K t]∂ε-
∂(ω2i[M]∂ε))ϕi+ϕT i([K t]-
ω2
i[M])(
∂ϕi
∂ε)=0
（6）
因([K t]-ω2i[M])是对称阵，所以有ϕT i([K t]-
ω2
i[M])=0，式（6）可以转换为
ϕT i[∂[K t]∂ε-∂(ωi[M]∂ε)]ϕi=0（7）
则有
∂ωi
∂ε=
1
2(ϕT i
∂[K t]
∂εϕi-ω2iϕT i
∂[M]
∂εϕi)
(ωiϕT i[M]ϕi)-1（8）式（8）就是ωi对结构参数ε的灵敏度求解式。

则系统固有频率对啮合刚度K mn（分扭级齿轮啮合刚度K m12=K m13=K m1、并车级啮合刚度K m46=K m56=
K
m2
）、转动惯量J t（输入齿轮转动惯量J1、分扭级齿轮转动惯量J2、并车级齿轮转动惯量J3、输出齿轮转动惯量J4）和制造误差ψ的灵敏度计算公式分别为∂ωi
∂K mn=
1
2(ϕT i
∂[K t]
∂K mnϕi)(ωiϕT i[M]ϕi)-1（9）∂ωi
∂J t=-
1
2(ω2iϕT i
∂[M]
∂J tϕi)(ωiϕT i[M]ϕi)-1（10）∂ωi
∂ψ=
1
2(ϕT i
∂[K t]
∂ψϕi-ω2iϕT i
∂[M]
∂ψϕi)
(ωiϕT i[M]ϕi)-1（11）如此便得到了分支传动系统固有频率关于结构参数的灵敏度计算式。

通过上述公式，编写相应的Matlab运算程序，就可以得到二分支人字齿轮传动系统的各阶固有频率对各结构参数ε的灵敏度。

可使用上述方法对某大功率舰船中常用的二分支人字齿轮传动系统进行固有频率的参数灵敏度分析。

3 实际应用
由灵敏度计算式（9）~式（11）和各项参数可以求得二分支传动系统的各阶固有频率对参数的灵敏度数值，计算结果绘制成轨迹线图，如图5所示。

由
4
第3期张全清，等：二分支人字齿轮传动系统的固有频率参数灵敏度分析
图5
可得以下结论：
图5　系统各阶固有频率对参数的灵敏度数值Fig. 5　Sensitivity values of natural frequencies of each order
of the system to parameters
（1）比较不同阶数下的灵敏度数值，发现各结构参数的灵敏度系数有正相关和负相关。

负相关意味着增大该阶固有频率需要降低对应的参数数值；若灵敏度数值趋于零，则代表系统对该结构参数不敏感，调整该参数对各阶固有频率影响极小。

（2）同时发现，转动惯量对低阶固有频率影响显著。

说明在前几阶调整系统的转动惯量能够有效地改变低阶频率；而啮合刚度、制造误差对高阶固有频率的影响更加明显。

（3）相比分扭级结构参数，并车级结构参数的变化对系统固有特性的影响程度更加明显。

（4）可得各激励对轮系第5阶固有频率影响程度
的顺序：啮合刚度K m 2>啮合刚度K m 1>制造误差ψ>转动惯量J 3>转动惯量J 2>转动惯量J 4>转动惯量J 1。

已知啮合刚度K m 2的变化对系统固有频率影响程
度较大，但两者间的具体关系却不清楚。

为了直观地反映出传动系统各阶固有频率与啮合刚度K m 2的变化之间的规律，绘制出系统前8阶固有频率随啮合刚度K m 2变化的三维轨迹曲线图，如图6所示。

由图6可知，啮合刚度K m 2对传动系统6阶以上的固有频率影响明显，而前两阶固有频率几乎不受啮合刚度K m 2的影响，这与啮合刚度K m 2对系统的参数灵敏度数量级变化是一致的。

当啮合刚度K m 2超过2.0×1010 N/m 时，伴随着啮合刚度K m 2的增大，除
去系统的第5阶、第7阶、第8阶之外的其余几阶固有频率的三维曲线走势都较为平稳，表示系统的第5阶、第7阶、第8阶固有频率在啮合刚度K m 2达到2.0×1010 N/m 以上时，对其变化较为敏感。

为了从本质上验证啮合刚度K m 2的变化对系统固
有频率的影响，可以利用模态能量法来表示系统固
有频率对啮合刚度K m 2的灵敏度。

在第i 阶模态中，
传动系统振幅最大处的啮合应变能为E i m =1
2ϕT i K t ϕi。

第i 阶模态的啮合应变能为E i m ，满足如下公式
E i m =E i m 12L +E i m 12R +E i m 14L +E i m 14R +
E i m 36L +E i m 36R +E i m 56L +E i m 56R （12）
E i muvj =1
2
k muvj (δi muvj )2（13）
δuvj =(θuj r uj -θvj r vj )cos βuj -e uvj （14）式中，u =1、3、5；v =2、4、6；j =L 、R ；δuvj 为斜齿轮副相对啮合位移；其余符号可由图2中的动力学模型查得。

能量公式与式（8）有如下关系∂ωi ∂K t =2
ωi [K t ]
(E i m 12L +E i m 12R +E i m 36L +E i m 36R )（15）为表达清晰，绘出第4阶、第5阶系统固有频率随啮合刚度K m 2变化的二维轨迹及某些位置上的分扭级模态应变能分布，如图7
所示。

图7　传动系统-固有频率变化曲线
Fig. 7　Transmission system-natural frequency variation curves
图7中的虚线为第4阶固有频率轨迹，实线为第
5阶固有频率轨迹，绘出了A 、B 、C 、D 、E 、F 点的
啮合应变能。

由图7可知，第4阶固有频率轨迹上的D 、E
点上的啮合应变能数量级低，说明这两点处的
图6　啮合刚度K m 2变化对系统固有频率的影响Fig. 6　Influence of meshing stiffness K m 2 change
on natural frequency of the system
5
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固有频率对啮合刚度K m 2的变化不敏感，与图中对应
的固有频率轨迹趋于水平状变化吻合；第5阶固有频率轨迹上的C 、F 点的应变能数量级较大，说明这两点处的固有频率对啮合刚度K m 2的敏感度高，而对应的轨迹也的确有较大的斜率，说明此时调整啮合刚度K m 2能够有效改变第5阶的固有频率，与灵敏度分析结果一致。

基于上述分析，为了有效降低系统的振动，防止共振发生，提高运转的安全性，选取啮合刚度K m2作为优化变量；同时考虑到传动系统的可靠性、安全性，以传动系统静挠度（0.5~1 mm ）、传动系统固有频率（132~330 Hz ）作为约束条件；将轮系在转速为13 455 r/min 时所受的固有频率对啮合刚度的灵敏度
数值作为目标函数，展开最小值优化。

传动系统的最终结构修改方案：啮合刚度K m 2取2.8×1010 N/m 。

优化过后重新对系统进行灵敏度和模态分析，整理分析系统优化前后的结果分别如图8、图9所示。

由图8可知，优化后的参数灵敏度数值较优化前有明显降低，传动系统的运转平稳性得到不错的提
升。

由图9可知，与初始设计参数相比，优化后的传动系统前8阶固有频率比优化前均有一定程度的增加。

其中，第5阶固有频率增加幅度最大，从226.98 Hz 增加到275.63 Hz ，与输入轴的轴频错开48.65 Hz ，错开率达21.43%，极大地避免了转频共
振的发生。

啮合刚度并不是传动系统的初始变量，即无法直接进行修改，而通过研究发现，改变啮合刚度能够最有效地实现避振降噪。

因此，对于可以调整的传动系统而言，可以通过增大齿数、减小模数获得理想的啮合刚度，而对于只能微调的传动系统，主要通过增大压力角和齿顶高去提升啮合刚度，减振效果同样明显。

比如对于上述传动系统，稍微调整系统参数，在保证分度圆直径不变下增大啮合刚度K m 2，将并车级模数降到4 mm ，则并车级齿轮齿数变
为37，输出齿轮齿数变为138。

模态分析可得，修改后第5阶频率上升为243.25 Hz 。

基于Matlab 获得的修改前后第5阶固有频率分扭级齿轮的振动能量时变图分别如图10、图11所示。

由上述分析可知，微调系统参数不一定能够直接获得理想啮合刚度K m 2。

因此，虽然系统固有频率
没有完全错开共振频率，但是确实能够有效地降低
图8　优化前后各阶的啮合刚度参数灵敏度Fig. 8　Meshing stiffness parameter sensitivity of each order
before and after optimization
图9　优化前后系统前8阶固有频率变化折线图Fig. 9　Broken line diagram of the first eight natural frequencies
of the system before and after optimization
图10　修改前分扭级振动能量变化图
Fig. 10　Variation diagram of vibration energy of split torsional
stage before modification
图11　修改后分扭级振动能量变化图
Fig. 11　Variation diagram of vibration energy of modified
split torsion stage
6
第3期张全清，等：二分支人字齿轮传动系统的固有频率参数灵敏度分析
整个系统的振动能量，实现减振降噪，这对于军用舰船设计来说指明了方向。

本文对某型二分支人字齿轮传动系统进行的降噪减振设计大致流程如图12所示。

结论表明，采用该设计方案对舰船传动系统预防共振是有效的，并
且能大幅缩短设计和修改周期。

图12　分支传动系统抗振设计流程图Fig. 12　Flow chart of anti vibration design of the
branch transmission system
4 结论
（1）二分支人字齿轮传动系统在高速运转时轴
段容易形成低频振源，与整个传动系统的低阶频率发生重合，从而增加了发生共振的危险。

因此，在设计结束后需要进行振动性能分析，对其结构参数进行必要的修改。

（2）通过模态分析和有限元验证，给出了固有频率的参数灵敏度表达式，并将其应用在实际的二分支传动系统中；通过模态能量法验证灵敏度分析结果，基于分析结果发现，改变啮合刚度能够有效地降低振动避免共振的发生。

通过修改实例，发现修改效果与理论分析一致。

（3）当结构参数较多时，该分析流程可以快速地找出关键参数，从而显著缩短优化周期，优化效果突出，并且适用于其他类似的分支传动设计。

参
考
文
献
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作者简介： 张全清（1997— ），男，四川巴中人，硕士研究生；研究方
向为机械动力学；*****************。

通信作者： 王三民（1961— ），男，陕西西安人，博士，教授；研究方向
为机械系统非线性振动与控制，机械系统优化设计，空间结构与空间可展机构设计与分析等；*****************.cn 。

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