2021届新高考复习讲义 第7课时抛物线

第7课时 抛物线
知识梳理
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． y ＝2px (p ＞0) y ＝－2px (p ＞0) x ＝2py (p ＞0) x ＝－2py (p ＞0)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.(×)
(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．(×) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .(√)
(6)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫
a 4，0，准线方
程是x ＝－a
4
.(×)
(7)抛物线y 2＝2x 的对称轴是y 轴．(×)
(8)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24
，
y 1y 2＝－p 2
，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)
(9)点M 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＋6＝0的距离小2，则M 点的轨迹是抛物线，其方程为x 2＝16y .(×)
(10)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率．(√)
[例1] (1)(2016·高考全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x
(k ＞0)与C 交于
点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.1
2 B ．1 C.32
D ．2 解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k
x
(k ＞0)得k ＝1×2＝2，故选D.
答案：D (2)(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．
解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9. 答案：9
(3)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．
解析：如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 答案：4
[方法引航] 涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利用抛
物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p
2
(焦点在x 轴上)或|PF |
＝|y |＋p
2(焦点在y 轴上).
1．若将本例(3)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.
2．若将本例(3)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值． 解：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．
点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.
易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|
12＋(－1)2
＝32，
所以d 1＋d 2的最小值为32－1.
3．若将本例(1)改为：设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△
ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选C.依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12
＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32
＝3，选C.
[例2] A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)
解析：∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫
p 2，0， ∴抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选D. 答案：D
(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2
5
＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
________．
解析：∵c 2
＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2,0)，∴p 2
＝2，则抛物线的准线
方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2
(3)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x
解析：直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，得y ＝－a 2
， 故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 2
16
，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .
答案：B
(4)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( ) A ．2∶ 5 B ．1∶2 C ．1∶ 5 D ．1∶3
解析：如图由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH .
即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN |＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 答案：C
[方法引航] (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. (2)求抛物线方程应注意的问题
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种. ②要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.
③要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.
1．抛物线y ＝1
4
x 2的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
解析：选A.由y ＝1
4
x 2得x 2＝4y ，焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程
为y ＝－p
2
＝－1.故选A.
2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A ．x 2＝112y
B ．x 2＝112y 或x 2＝－1
36y
C ．x 2＝－1
36
y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y
解析：选D.将y ＝ax 2化为x 2＝1
a y .
当a ＞0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝1
12
.
当a ＜0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136
. 所以抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .
3．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的标准方程是________．
解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD 交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |， ∵|BC |＝2|BF |，
∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 为AC 的中点，根
据题意得p ＝3
2
，
∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .
答案：y 2＝3x
[例3] (1)(2017·河北石家庄二模)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB ＝22，则|AB |＝( ) A ．4 B ．8 C ．3 2 D ．10
解析：如图，F (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，x ＝my ＋1⇒y 2
－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1
＋y 2)＋2＝4m 2＋2，又∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )，
∴y 1
x 1＋1＋
－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2
x 2＋1
＝2 2.
即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2
＝22⇒y 1－y 2＝42m 2，
∴4m 2＋1＝42m 2⇒m 2＝1，
∵|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋4＝8. 答案：B (2)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
①求|OH ||ON |
；
②除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．
解：①由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 2
2p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2
p ，t ，
所以ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2
x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2
p
.
因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .
所以N 为OH 的中点，即|OH |
|ON |
＝2.
②直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：
直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t
p
(y －t )．
代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．
[方法引航] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
1．过抛物线y 2
＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |
＝6，BC →＝λFB →
，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3 D ．3
解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，
联立⎩⎨⎧
y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，
解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝42，或⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝－22，
则B (1，－22)，
∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3，故选D. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 22
4p
2＝4.
因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，
则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又|AB |＝ 1＋m 2|y 1－y 2|＝ (1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.
所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.
[方法探究]
抛物线的“焦点”访谈
直线与抛物线相交，当直线过焦点时，经常用到一些特殊的结论：
设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦(称为焦点弦)，F ⎝⎛⎭⎫
p 2，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则有：
(1)x 1x 2＝p 2
4
；
(2)y 1y 2＝－p 2；
(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，当且仅当x 1＝x 2时，弦长最短为2p (称为通径)；
(4)弦长|AB |＝2p
sin 2α
(α为AB 的倾斜角)；
(5)1|F A |＋1|FB |＝2p
； (6)以AB 为直径的圆与准线相切；
(7)焦点F 对A ，B 在准线上的射影的张角为90°.
[典例] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )
A.2
2 B. 2 C.322
D ．2 2
[解析] 法一：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，
∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．
联立直线与抛物线的方程⎩
⎨⎧
y ＝22(x －1)，
y 2＝4x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，y ＝－2
或⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫1
2，－2， ∴S △AOB ＝1
2
|OF |·|y A －y B |
＝12×1×|22＋2|＝3
2 2.故选C. 法二：若得出y A ＝22， ∴由y A ·y B ＝－p 2＝－4，∴y B ＝－2，
S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝3
2
2.
法三：由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，不妨设A (2，22)，则S △OAF ＝2，又知0<S △OBF <S △OAF ＝2，故2<S △AOB <22，结合选项知选C. [答案] C
[回顾反思] 本题中的法一是利用抛物线的定义转化|AF |，直接求A 、B 两点来求面积；法二利用了直线过焦点的特殊结论，y A ·y B ＝－p 2得y 0；法三利用几何特征来估算．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
解析：选B.不妨设C ：y 2
＝2px (p ＞0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4
p
，由题意可知|OA |＝|OD |，
得⎝⎛⎭⎫4p 2＋8＝⎝⎛⎭
⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2014·高考课标卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4
x 0，
则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
解析：选A.由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－1
4
，设点A 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝5
4x 0，解得x 0＝1，故选A.
3．(2015·高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2
4
与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于
M ，N 两点．
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．
又y ′＝x 2，故y ＝x 2
4
在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x
－2a )，
即ax －y －a ＝0. y ＝x 2
4
在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，
即ax ＋y ＋a ＝0.
故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：
设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .
从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b
x 2
＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a
.
当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．
课时规范训练 A 组 基础演练
1．抛物线y ＝－1
2
x 2的焦点坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，18
B.⎝⎛⎭⎫－18，0
C.⎝⎛⎭⎫0，－12
D.⎝⎛⎭
⎫－12，0 解析：选C.把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝1
2
，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，故选C.
2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝2，|PQ |＝4，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝6x
解析：选A.由抛物线的定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又x 1＋x 2＝2，所以p ＝2，即抛物线的方程是y 2＝4x .故选A.
3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74
解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋1
2
＝3，
∴x A ＋x B ＝5
2
.
∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝5
4.
4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
解析：选C.∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p
2
＝2，∴抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)．
又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2
＝－3
4.
5．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称．若2x 1x 2＝－1，则2m 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
解析：选A.由y 1－y 2x 1－x 2
＝－1，y 1＋y 22＝x 1＋x 2
2＋m,2x 1x 2＝－1，以及y 1＝2x 21，y 2＝2x 2
2可得x 2－x 1＝y 1－y 2＝2(x 21－x 22)，x 1＋x 2＝－12，2m ＝(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝2(x 21＋x 22)＋12
＝2(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＋12＝2×14＋2＋1
2
＝3，故选A. 6．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________． 解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 答案：x 2＝12y 7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 解析：设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.
答案：2
8．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，1
4，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝1
4
a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线
的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为
yA ＋44＝14＋1＝54.
答案：54
9．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .
证明：法一：设AB ：x ＝my ＋p
2
，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.
由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2
，即y B ＝－p 2
y A .
∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p
2
上，∴C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B . 则k OC ＝y B －p 2
＝2p 2y A p ＝2p y A ＝y 2
A x A ·1y A ＝y A
x A ＝k OA .
∴直线AC 经过原点O .
法二：如图，设准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D . 则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ，则 |EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF |
|AB |， |NF ||BC |＝|AF |
|AB |
. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，
∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC |
|AB |
＝|NF |，
即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .
10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．
∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.
(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2
x 2－1(x 2
≠1)，
∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①
y 22＝4x 2，②
∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22
－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.
由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
＝－1(x 1≠x 2)． B 组 能力突破
1．如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 24
，其中p ＞0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )
A ．p 2
B.p 24 C .p 22 D.p 23 解析：选B.设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p 2
＝x 1， 同理|CD |＝x 2.
故AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24
. 2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303
B ．6
C ．12
D ．7 3
解析：选C.∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫34，0，
∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34
. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝3x ，y ＝33x －34，
得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213
＝212，即x A ＋x B ＝212
. 由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32
＝12. 3．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB
＝( )
A.45
B.35
C.34
D.55
解析：选 B.由抛物线方程可知焦点F 的坐标为(0,1)．联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1.或⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.令A (－2,1)，则B (4,4)，∴|AB |＝36＋9＝35，|AF |＝4＋0＝2，|BF |＝16＋9＝5，∴在△ABF 中，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |2
2|AF ||BF |＝4＋25－452×2×5
＝－45，∴sin ∠AFB ＝ 1－1625＝35，故选B. 4．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是__________．
解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6，直线与抛物线方程联立消去x 可得m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0.∴y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2
，可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 法二：|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.
而|AB |＝2p sin 2α，∴sin 2α＝12，即sin α＝22
. α＝45°或135°，∴k ＝1或－1.
AB 的方程为y －1＝x ，或y －1＝－x .
答案：y －1＝x 或y －1＝－x
5．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB
→<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)． 化简得y 2＝4x (x >0)．
(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得 y 2－4ty －4m ＝0，
Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，
F A →·FB →<0⇔
(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②
又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14
[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③
由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④
对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB
→<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。