2021-2022学年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷(人教版)与答案

第13章<轴对称>单元测试卷 班级 姓名 座号 成绩 一、单选题(共30分)
1．疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线
学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 在平面直角坐标系中，点M(3, −6)关于y 轴对称点的坐标为（）
A.(−3, −6)
B.(−3, 6)
C.(3, 6)
D.(−6, −3)
3. 如图，镜子中号码的实际号码是（）
A.2653
B.3562
C.3265
D.5623
4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AD 平分∠A 交BC 于点D ，若BD =2，则点D
到AB 的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知∠CAD ：
∠DAB ＝1：2，则∠B ＝（ ）
A ．34°
B ．36°
C ．60°
D ．72°
6．如图，等边ABC ∆中，BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则APE ∠的度数是（ ）
A ．45︒
B ．55︒
C ．60︒
D ．75︒
7．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市
到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A ．AC 、BC 两边高线的交点处
B ．A
C 、BC 两边垂直平分线的交点处 C ．AC 、BC 两边中线的交点处
D ．∠A 、∠B 两内角平分线的交点
8．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长
分别是40，24，则AB 为（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
10．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若∠AOB ＝40°，则∠MPN 的度数是（ ）
A ．90°
B ．100°
C ．120°
D ．140°
二、填空题(共18分)
11. 若点A(1−m, 6)与B(2+n, 6)关于某坐标轴对称，则m −n =________．
12. 等腰三角形有一个角为50∘，则它的顶角度数是________
13．已知等腰三角形的两边长分别为2cm ，4cm ，则其周长为 ．
14．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB +BC ＝12cm ，AB ＝ ．
15．如图，B ，D ，F 在AN 上，C ，E 在AG 上，且AB ＝BC ＝CD ，EC ＝ED ＝EF ，∠A ＝20°，
则∠FEG 的度数是 度．
16．如图，已知∠AOB ＝30°，OC 平分∠AOB ，在OA 上有一点M ，OM ＝12cm ，现要在OC ，OA 上
分别找点Q ，N ，使QM +QN 最小，则其最小值为 ．
三、解答题(共52分)
17．(本题8分)．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，2），B
（3，1），C （﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2分）
(2)在同一平面直角坐标系中画出△A 1B 1C 1关于直线m （直线m 上各
点的横坐标都是1）对称的△A 2B 2C 2 ，并直接写出点C 2的坐标；
（4分）
(3)直接写出△ABC 边上一点M(x,y)，经过上述两次图形变换后得到
△A 2B 2C 2上的对应点M 2的坐标.（2分）
18．(本题8分)如图，M 、P 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，在AC 上找一点N ，使PMN ∆的周长最小，
19.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 为钝角，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．试判断线段DE
与DF 的数量关系并说明理由（8分）
20． (本题10分)如图，在△ABC 中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在,,AB BC AC 边上，且BE CF =，BD CE =．
（1）求证：DEF 是等腰三角形（4分）；（2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数（4分）．
21．(本题10分)△ABC 中，∠ABC 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．试写出EF 与BE 、CF 之间的关系，并说明理由。

22．．(本题12分)如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B 坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标（6分）；
（2）连接OA，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标（3分）；
（3）已知OA＝5，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3分）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，过腰AB的中点D作AB的垂线，交另一腰AC于E，连接BE．
（1）若BE＝BC，求∠A的度数；
（2）若AD+AC＝24cm，BD+BC＝20cm．求△BCE的周长．
24．(本题6分)如图所示，在不等边△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB的垂直平分线交BC边于点E，交AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，交AC边于点M．
（1）若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）若BC边长为整数，求△AEN的周长．
∠=．将BOC绕点C逆时针旋转60得ADC，26．(本题8分)如图，点O是等边ABC内一点，AOB110
∠=，BOCα
连接OD．
()1求证：DOC是等边三角形；
()2当AO5=，BO4=，α150
=时，求CO的长；
()3探究：当α为多少度时，AOD是等腰三角形．
27．(本题9分)如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在,,AB BC AC 边上，且BE CF =，BD CE =．
（1）求证：DEF 是等腰三角形；
（2）求证：B DEF ∠=∠；
（3）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．
参考答案
1．C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．D
【解析】解：A、此图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是轴对称图形，符合题意；
故选D．
3．C
【解析】解：DE是AB的垂直平分线，
AD BD
∴=，
∴=-=-，
CD AC AD AC BD
∴的周长BC BD AC BD BC AC
=++-=+.
BDC
=，
=，AC6
BC3
=+=．
BDC
∴的周长369
故选：C．
4．C
=，
【解析】解：AD BE
⊥，BD DE
∴==，
AE AB
6
点E在线段AC的垂直平分线上，
∴=，
EA EC
9()
∴=+=+=，
DC DE EC AB BD cm
故选：C．
5．C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠CBE＝60°，
∴∠ABE＋∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE＋∠BAD＝60°，
故选：C．
6．B
【解析】如图,在AC上截取AE=AN,连接BE, 因为∠BAC的平分线交BC于点D,
所以∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,
AE AN
EAM NAM
AM AM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
所以△AME=△AMN,
所以ME=MN,
所以BM+MN=BM+ME≥BE,
因为BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,又AB
=BAC=45°,此时, △ABE为等腰
直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值为4,所以BM+MN的最小值是4,故选B.
7．D
【解析】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE 的周长最小值为AD +DA '的长；
∵A 的坐标为(-4，6)，D 是OB 的中点，
∴D (-2，0)，
由对称可知A '(4，6)，
设A 'D 的直线解析式为y =kx +b ，则：
4620k b k b +⎧⎨-+⎩
＝＝， 解得：12k b ⎧⎨⎩
＝＝， ∴y =x +2，
当x =0时，y =2
∴E (0，2)．
故选：D ．
8．A
【解析】∵AD 平分∠CAB ，∠BAC =60°
∴∠CAD =∠BAD =1302
BAC ∠=︒ ∵∠C =90°
∴∠B =90°-∠BAC =30°，AD =2CD
∴∠BAD =∠B
∴AD =BD =2
∴CD =1
∵AD 平分∠CAB
∴点D 到AB 的距离1
故选：A ．
9．D
【解析】解：如图所示：
当将①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分别组合，都可以得到轴对称图形，共有6种方法．
故选：D ．
10．D
【解析】解：作点A 关于直线l 的对称点A '，然后连接A B '与直线l 交于一点，在这点修建水泵站，
根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．
故选：D ．
11．（-2，3）
【解析】解：点P （-2，-3）关于x 轴对称点的坐标为：（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
12．1∶3
【解析】解：∵在等边ABC 中，E 为AB 边上靠近A 点的三等分点， ∴23EBC ABC S S =， ∵点D 为BC 边上的中点，
∴12EBD EBC S S =， ∴EBD △和ABC 的面积之比为1:3，
故答案为：1:3．
13．25°
【解析】解：∵M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，
PN ∴，PM 分别是CDB △与DAB 的中位线，
12PM AB ∴=，12
PN DC =， AB CD =，
PM PN ∴=，
PMN ∴△是等腰三角形，
PMN PNM ∴∠=∠，
130MPN ∠=︒，
180130252PMN ︒-︒
∴∠==︒．
故答案为：25︒．
14．7
3
【解析】解：∵EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ，∠D =∠DBC ，
∴AE
EF
AB BC =，
∵BD 是∠ABC 的角平分线，
∴∠ABD =∠DBC ，
∴∠D =∠ABD ，
∴BE =DE ，
∵AE =2，AB =6
∴DE =BE =4， ∴2
65EF
=， ∴5
3EF = ∴7
3DF DE EF =-=， 故答案为：7
3.
15．（0，－14
） 【解析】如图，根据题意画出图形,找出点N 关于y 轴的对称点N ’,连接MN ’
,与y 轴交点为
所求的点P ,
因为N (1, －1),所以N ’(－1, －1),设直线MN ’的解析式为y kx b =+,把M (3,2),N (1,1)代入得: 321k b k b +=⎧⎨-+=-⎩,解得3
414k b =
=-,所以3144y x =-,令x =0,求得y =14-,则点P 坐标为(0,14-). 故答案为: (0,14
-).
16．60°
【解析】如图，因为点Ａ关于GH 的对称点是F ，所以连接BF 交GH 于点P ，
则PA+PB=PF+PB=BF ，
所以PA+PB 的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF ，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
17
．【解析】解：∵ABD △ 和ACE 都是等腰直角三角形且90ABD ACE ∠=∠=︒，
∴45BAD CAE ∠=∠=︒
，AD =
，AE =，
∴BAD CAD CAE CAD ∠-∠=∠-∠，
即BAC DAE ∠=∠，
∵AD AE AB AC
== ∴A ABC DE ∽△△，
∴BC DE AB AD ==：：
故答案为：18．83
【解析】解：连接CE ，过点F 作//FG CE ，交AD 于G ，连接CG ，如图所示：
ABC ∆是等边三角形，AE AB =，
60BAC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC BC AE ===，
ACE AEC ∴∠=∠，ABF AEF ∠=∠，
//FG CE ，
AFG AGF ∴∠=∠，
AG AF ∴=，
EG CF ∴=，
在EGC ∆和CFE ∆中，
EG CF GEC FCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()EGC CFE SAS ∴∆≅∆，
EGC CFE AFB ∴∠=∠=∠，
在AGC ∆和AFE ∆中，
AG AF GAC FAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AGC AFE SAS ∴∆≅∆，
ACG AEF ABF ∴∠=∠=∠，
180********DCG ACB ACG ABF ABF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，
180********AFB BAC ABF ABF ABF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，
DCG AFB EGC ∴∠=∠=∠，
CD DG ∴=，
AF AG =，CD DG =，
AF CD AG DG AD ∴+=+=，
即AF CD AD +=，
7
3
AD CD =， ∴可以假设3CD a =，7AD a =，设AF y =，AB BC AE x ===，
143
BD CF -=， 143()3a x x y ∴+--=
， 1433a y ∴+=
， AF CD AD +=，
37y a a ∴+=，
4y a ∴=，
1473
a ∴=， 23
a ∴=， 843y a ∴==
， 83
AF ∴=， 故答案为：83
．
19．实际的读数是12：50，她们说得都不对．
【解析】物体在镜子里的图像关于镜面成轴对称，镜子改变了物体的左右方向．一行数字不仅每个数字被镜子改变左右结构，而且整行数字的左右顺序也被改变，
0和1在镜子里仍然是0和1，2被改变成5，5被改变成2，
所以实际的读数是12：50，
所以她们说得都不对．
20．5
【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC ＝AC ＝8，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D 为AB 的中点，∴AD＝BD ＝4，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEA＝90°，∠EFC＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DEA﹣∠A＝30°，∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠C＝30°， ∴AE 12=AD 142=⨯=2，CF 12=EC 12
=⨯(8﹣2)＝3， ∴BF＝BC ﹣CF ＝8﹣3＝5．
21．见解析
【解析】如图，作BB '垂直于河岸GH ，使BB '等于河宽，连接AB '，与河岸EF 相交于P ，作⊥PD GH ，交GH 于点D ，则//'PD BB 且'=PD BB ．连接BD ，利用平行四边形的性质可知'=PB BD ．根据“两点之间，线段最短”，可知AB '最短，即从A 到B ，路径→→→A P D B 最短，故桥应建在PD 处．
22．见解析
【解析】解：作点P 关于直线AC 的对称点P ′，连接MP ′交直线AC 于点N ，则PN =P ′N ，
由于△PMN 的周长=PM +MN +PN ，而PM 是定值，故只需在在AC 上找一点N ，使MN +PN 最小即可； ∵此时MN +PN =MN +P ′N =MP ′，MN +PN 最小，
∴此时△PMN 的周长最小，最小值等于PM +P ′M ．
23．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=1
AB，证明见解析
2
【解析】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求证：BC=1
AB，
2
证明：
延长BC到D，使CD=BC，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BD，
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB，
BD，
∵BC=CD=1
2
AB.
∴BC=1
2
24．（1）∠EAN＝20°；（2）△AEN的周长：4
【解析】解：（1）∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠EAB+∠NAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠NAC）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵AE＝BE ，AN ＝CN ，
∴△AEN 的周长＝AE+AN+EN ＝BE+NC+EN ＝BC ，
∵AB＝2，AC ＝3，∴1＜BC ＜5，
∵△ABC 是不等边三角形，BC 边长为整数，
∴BC＝4，
∴△AEN 的周长＝BC ＝4．
25．（1）见解析；（2）125°
【解析】（1）解：如图所示：
图即为所求；
（2）∵180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，70ABC ∠=︒
∴18070110BAC ACB +=︒-︒=︒∠∠ ∵12EAC BAC ∠=∠，12
ECA ACB =∠∠ ∴11111055222
EAC ECA BAC ACB +=+=⨯︒=︒∠∠∠∠ ∴180()18055125AEC EAC ECA =︒-+=︒-︒=︒∠∠∠
26．()1证明见解析；()23CO =；()3125α=、110α=或140α=．
【解析】()1∵将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC ，
∴BOC ADC ≅，D 60OC ∠=，
∴CO CD =．
∴COD 是等边三角形；
()2∵ADC BOC ≅，
∴4DA OB ==，
∵COD 是等边三角形，
∴60CDO ∠=，又150ADC ∠∠α==，
∴90ADO ADC CDO ∠∠∠=-=，
∴AOD 为直角三角形．
又5AO =，4AD =，∴3OD =，
∴3CO OD ==；
()3若AOD 是等腰三角形，
所以分三种情况：①AOD ADO ∠∠=②ODA OAD ∠∠=③AOD DAO ∠∠=， ∵110AOB ∠=，60COD ∠=，
∴36011060190BOC AOD AOD ∠∠∠=---=-，
而BOC ADC ADO CDO ∠∠∠∠==+，
由①AOD ADO ∠∠=可得60BOC AOD ∠∠=+，
求得125α=；
由②ODA OAD ∠∠=可得11502
BOC AOD ∠∠=- 求得110α=；
由③AOD DAO ∠∠=可得2402BOC AOD ∠∠=-，
求得140α=； 综上可知125α=、110α=或140α=．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）70°
【解析】（1）∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
在DBE 和ECF △中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
BD CE B C BE CF
∴DBE ECF ≌，
∴DE FE =，
∴DEF 是等腰三角形；
（2）∵DBE ECF ≌，
∴FEC BDE ∠=∠，
∴180180DEF BED FEC DEB EDB B ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠；
（3）由（2）知DEF B ∠=∠，
∵,40=∠=︒AB AC A ， ∴18040702
DEF B ︒-︒∠=∠==︒． 28．（1）见解析；（2）见解析；（3）3.5
【解析】解：（1）如图所示；A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，A 2B 2C 2即为所求；
（3）ABC 的面积＝3×3﹣12×1×2﹣12×1×3﹣1
2×2×3＝3.5． 故答案为：3.5。