山东省淄博市桓台县陈庄中学高三数学理期末试卷含解析

山东省淄博市桓台县陈庄中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为（）
A. B、C、D、∪
参考答案：
A
略
2. 函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，设
，则下列结论中正确的是（）
A. 的图象关于(1,0)对称
B. 的图象关于(－1,0)对称
C. 的图象关于对称
D. 的图象关于对称
参考答案：
D
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数的性质
【详解】首先考查函数，
其定义域为，且，
则函数为偶函数，其图像关于轴对称，
将的图像向左平移一个单位可得函数的图像，
据此可知的图象关于对称.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．12 B．18 C．24 D．30
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．
故选：C．
4. 设,记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x-,则{}，[],（）
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列
参考答案：
B
略
5. （5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）
A． B． C． D． 7
参考答案：
A
【考点】：由三视图求面积、体积．
空间位置关系与距离．
【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．
解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，
正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，
三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，
故选：A
【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
6. 如图所示，为一几何体的三视图，
则该几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
主视图
左视图
俯视图
1
1
参考答案：
D
由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.
7. 已知偶函数y=f（x），x∈R满足：f（x）=x2﹣3x（x≥0），若函数g（x）=，则y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）
A．1 B．3 C．2 D．4
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，作图求解．
【解答】解：y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，
作函数y=f（x）与函数g（x）=的图象如下，
有3个交点，
故选B．
【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．
8. 在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
D 9. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，且a2，+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n 项和，则S6＝（）
A．62 B．64 C．126 D．128
参考答案：
C
设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，a1=2，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），
∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S6=.
故选C.
10. 已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可先画出图形，得出F（），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P点的纵坐标，这样即可得出A点的坐标，从而求出直线AF的斜率，根据斜率便可得出直线AF的倾斜角．
【解答】解：如图，由抛物线方程得；
|
PF|=|PA|=2；
∴P点的横坐标为；
∴，P在第一象限；
∴P点的纵坐标为；
∴A点的坐标为；
∴AF的斜率为；
∴AF的倾斜角为．
故选：D．
【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及抛物线的定义，抛物线上的点的坐标和抛物线方程的关系，以及由直线上两点的坐标求直线的斜率的公式，直线的斜率的定义，已知正切值求角．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列几个命题：
①不等式的解集为；
②已知均为正数，且，则的最小值为9；
③已知，则的最大值为；
④已知均为正数，且，则的最小值为7；
其中正确的有．（以序号作答）
参考答案：
②④
12. 如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为 .
参考答案：
3
13. （2011?天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为．
参考答案：
18
略
14. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果为
．
参考答案：
9
15. 若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且
，则的离心率是．
参考答案：
4
16. 设等差数列的前n项和为，若，则=．
参考答案：
9
略
17. 方程有个不同的实数根．
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，
，，，，是的中点．（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
参考答案：
（1）证明：底面，
又，，故面面，故…………………………………………4分
又，是的中点，故
从而面，故
易知，
故面………………………………6分
（2）如图建立空间直角坐标系，设，则、、、，
，从而，，…9分
设为平面的法向量，
则可以取……………………11分
又为平面的法向量，若二面角的平面角为
则……………………11分
因此。

……………………12分
略
19. 已知函数，且函数的导函数为，若曲线和都过点A(0,2)，且在点A 处有相同的切线y=4x+2.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数m的取值范围。

参考答案：
(Ⅰ) （Ⅱ）
解析：（I）由已知得，
而
故
……………………
………4分
（2）令，
则
因，则
令得………………………………6分
1若，则，从而时；当时
即
在单调递减，在单调递增，故在的最小值
故当时即恒成立。

………………………8分
2若，则，从而当时，即在单调递增，而，故当时即恒成立。

若，则，从而当时，不可能恒成立。

…………………………11分
综上：的取值范围是…………………………12分.
略
20. 如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一点，
且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
参考答案：
解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB.
又PC CD=C，∴AB平面PCB.
（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF.
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.
由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF.
由三垂线定理，得PF⊥AF。

则AF=CF=在Rt△PFA中，
∴异面直线PA与BC所成的角为.
解法二：（1）同解法一.
（2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=
以B为原点，建立如图所示的坐标系.
则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）.
则
∴异面直线AP与BC所成的角为
略
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与；②与．
参考答案：
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴数列是公差为1的等差数列，
故，又，故．………………………………3分
（2）当时，，令，可得，由
可得，即时，，…………………………………4分
可知在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…，…………………………………6分
故当为奇数时，的取值范围是；
当为偶数时，的取值范围是．……………………………8分
由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分（3）由是的一个“P数对”，可知恒成立，
即恒成立，
令，可得，…………………12分
即，又，
∴是一个等比数列，∴，
所以
．…………………………………15分
当时，由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
22. 已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
（Ⅰ）因为
．…………………… 4分
所以的最小正周期…………………… 6分（Ⅱ）因为，所以.
所以当，即时，函数取得最大值
当，即时，函数取得最小值
所以在区间上的最大值和最小值分别为和……………… 13分。