2020年高考数学一轮总复习：坐标系与参数方程

2020年高考数学一轮总复习：坐标系与参数方程
[基础梳理] 1．坐标系 (1)坐标变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·
x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作
用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系
在平面内取一个定点O ，叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y
x （x ≠0）.
3．常用简单曲线的极坐标方程
ρ
ρ
⎝
⎛
ρ
(0
θ
或
，与极轴垂直的直
ρ
，与极轴平行的直
ρ
1．明辨两个坐标
伸缩变换关系式
⎩
⎨
⎧x′＝λx（λ＞0），
y′＝μy（μ＞0），
点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简．
(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
[四基自测]
1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为______．
答案：(2，－
π
3)
2．在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案：ρ＝－2 2 cos θ
3．在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 答案：2
4．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π
3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案：6
5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4－4＝0，则圆C 的半径为________．
答案： 6
考点一 伸缩变换◄考基础——练透
[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，
y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线
2x ′2＋8y ′2＝1，求曲线C 的方程．
解析：把⎩⎨⎧x ′＝5x
y ′＝3y 代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1，可得2(5x )2＋8(3y )2＝1，化为50x 2＋72y 2
＝1，即为曲线C 的方程．
(2)在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.
解析：法一：设变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.
将4x 2
＋9y 2
＝36变形为x 29＋y 2
4＝1，
比较系数得λ＝13，μ＝1
2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .
故将椭圆4x 2
＋9y 2
＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，
可得到圆x ′2＋y ′2＝1.
法二：利用配凑法将4x 2
＋9y 2
＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22
＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较
即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x
3，
y ′＝y 2.
故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.
1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），
y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是
将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′
λ，y ＝y ′μ
代入y ＝f (x )，
得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．
2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．
1．(2019·池州模拟)求曲线x 2
＋y 2
＝1经过φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，
y ′＝4y
变换后得到的新曲线的方
程．
解析：曲线x 2＋y 2＝1经过φ：⎩
⎨⎧
x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后，即将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′4代入圆的方程，
可得x ′29＋y ′2
16＝1，
即所求新曲线方程为：x 29＋y 2
16＝1. 2．求正弦曲线y ＝sin x 按：φ：⎩⎪⎨
⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y
变换后的函数解析式．
解析：设点P (x ，y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点， 在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1
3x ，
y ′＝12y 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)．
即φ⎩⎨⎧x ＝3x ′，
y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′，
所以y ′＝12sin3x ′，即y ＝1
2sin 3x 为所求．
考点二 极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法
[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
①M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
②设点A 的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
解析：①设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
.
由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． ②设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝1
2|OA |·ρB ·sin ∠AOB
＝4cos α·|sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3|
＝2|sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α－π3－32|
≤2＋ 3.
当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，
(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
解析：①消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2 θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2 θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.
将本例(2)曲线C 1变为ρ＝cos θ＋sin θ，曲线C 2变为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22. (1)求C 1和C 2的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求C 1与C 2公共点的一个极坐标． 解析：(1)曲线C 1：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
θ－π4＝2
2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则曲线C 2的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2
－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，
C 1与C 2公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.
1．极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
2．涉及圆的极坐标方程的解决方法
方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；
方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程．
(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.
由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|
k 2＋1
＝2，故k ＝－4
3或k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝－4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|
k 2＋1＝2，
故k ＝0或k ＝4
3.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点． 综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3|x |＋2.
考点三 极坐标方程的应用◄考基础——练透
[例3] (2019·山西太原模拟)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)射线θ＝π
3(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积．
解析：(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为
ρ＝4cos θ.
设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ρ，θ－π2，
则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π2＝4sin θ.
所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)M 到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π
3－cos π3＝
2(3－1)，
则S △MAB ＝12|AB |×d ＝1
2
×2(3－1)×3＝3－ 3.
判断位置关系和求最值问题的方法
(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解答．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小．
提醒：在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
在极坐标系中，判断直线4ρcos(θ－π
6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数． 解析：直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0，即23x ＋2y ＋1＝0，圆为x 2＋(y －1)2＝1，因为圆心到直线的距离d ＝3
4＜1，所以有两个交点．
课时规范练 A 组 基础对点练
1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2
－22ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析：(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；
因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝2，
所以ρ2－22ρ⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，
所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝22.
2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程．
(2)直线OP ：θ＝π
6(ρ∈R )与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长． 解析：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0， 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π
6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得 ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5， 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.
3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3＝－32与
极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解析：因为点P (2，π4)，所以x ＝2cos π
4＝1，
y ＝2sin π
4
＝1，所以点P (1，1)．
因为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3＝－32，展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32，所以y －3x
＝－3，
令y ＝0，则x ＝1，所以直线与x 轴的交点为C (1，0)． 所以圆C 的半径r ＝|PC |＝（1－1）2＋（1－0）2＝1，。