2003年全国高中数学联赛试题（及答案）

2003年全国⾼中数学联赛试题（及答案）
2003年全国⾼中数学联赛试题
第⼀试
⼀、选择题（每⼩题6分,满分36分）
1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平⽅数，得到⼀个新数列．这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2．设a , b ∈R , ab ≠0，那么，直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2=ab 的图形是
(A) (B) (C) (D)
3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜⾓为60?的直线．若此直线与抛物线交于A ,B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 (A)
316 (B)3
8
(C)3316 (D)83
4．若x ∈[-125π,-3π]，则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6
π
)的最⼤值是
(A)
2512 (B)2611 (C)3611 (D)35
12 5．已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =
244
x -+2
99y -的最⼩值是 (A)
58 (B)11
24
(C)712 (D)512 6．在四⾯体ABCD 中，设AB =1，CD =3，直线AB 与CD 的距离为2，夹⾓为
3
π
，则四⾯体ABCD 的
体积等于 (A)23 (B)21 (C)3
1
(D)33
⼆、填空题(每⼩题9分,满分54分)
7．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.
8．设F 1,F 2是椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则△PF 1F 2的⾯积等于
__________.
9．已知A ={x |x 2-4x +3＜0,x ∈R }, B ={x |a x +-12≤0, x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }．若A ?B , 则实数a 的取值范围是
____________. 10．
已知a ,b ,c ,d 均为正整数，且log a b =
23, log c d =4
5
，若a -c =9, 则b -d =________. 11．将⼋个半径都为1的球分两层放置在⼀个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆
柱的⼀个底⾯及侧⾯都相切，则此圆柱的⾼等于________.
12．
设M n ={(⼗进制)n 位纯⼩数0.n a a a ?21|a i 只取0或1(i =1,2,…,n -1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，
S n 是M n 中所有元素的和，则n
n
n T S ∞→lim
=_______.
三、解答题(每⼩题20分，满分60分)
1. 已知
52
3
≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x 2. 设A 、B 、C 分别是复数ai z =0,bi z +=2
1,),,(12R c b a ci z ∈+=对应的不共线三点。

证：曲线)(sin sin cos 2cos 4222140R t t z t t z t z z ∈++=与ABC ?中平⾏于AC 的中位线只有⼀个公共点，并求出此点。

3. ⼀张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内⼀定点A ，且OA=a ，折叠纸⽚，使圆周上某⼀点A '刚好与A
点重合，这样的每⼀种折法，都留下⼀条直线折痕，当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

第⼆试
⼀、过圆外⼀点P 作圆的两条切线和⼀条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间，在弦CD 上取⼀点Q ，使PBC DAQ ∠=∠。

求证：PAC DBQ ∠=∠
⼆、设三⾓形的三边长分别是整数n m l ,,且n m l >>,已知?
==444103103103n m t ，其中][}{x x x -=，
求这种三⾓形周长的最⼩值。

三、由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成⼀个空间图形，其中12++=q q n ，
N q q q q l ∈≥++≥
,2,1)1(2
1
2，已知此图中任四点不共⾯，每点⾄少有⼀条连线段，存在⼀点⾄少有q+2条连线段。

证明：图中必存在⼀个空间四边形（即由A,B,C,D 和AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形）。

2003年全国⾼中数学联赛第⼀试参考答案
1. 注意到2025452
=,2116462
=,故20484520032003=+=a ;
2. 题设⽅程可化为b ax y +=和12
2=+b
y a x ,观察图形可知； 3. 易知直线AB 的⽅程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满⾜⽅程016832
=--x x ,从⽽弦AB 中点的
横坐标为340=
x ,纵坐标3
4
0=y ,进⽽求得中垂线⽅程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为??? ??
++??? ?
+=
6cos 342sin 2
ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3
-
=x 时，y 取最⼤值
36
11
; 5. 消去y 之后可得：?
?
+-+
=224937351x x u ,⽤基本不等式可求得函数u 的最⼩值
5
12
; 6. 可⽤等积法求得，过程略。

⼆、填空题
7.
- ---3,215215,3 . 提⽰：原不等式可以化为:()()
01||3||2<-+-x x x 8. 4 21F PF ?是直⾓三⾓形，故21F PF ?的⾯积为4422
1
||||2121=??=?=PF PF S ; 9. 14-≤≤-a
提⽰：()3,1=A ,令()a x f x
+=-12
,()()5722++-=x a x x g ,则只需()()x g x f ,在（1，3）上的图
象均在x 轴的下⽅，其充要条件是()()()()
≤≤≤≤0
301030
1g g f f ,由此推出14-≤≤-a ;
10．93 提⽰：由已知得d c b a ==4
523
,,4
2,??
=? =c d c a b a ,⼜ 9=-c a ，故
9222242=???? ??-???? ??+=??? ??-??? ??c d a b c d a b c d a b ,推得=-=+192 2
22
c d a b c d a b ,32
,12516,25====d b c a ; 11
2+
提⽰：如图，上下层的四个球的球⼼A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分别是上下两个
边长为2的正⽅形的顶点，且以它们的外接圆为上下底⾯构成圆柱，同时A1在底⾯上的射影M 为弧AB 的中点。

由于A1A=A1B=AB=2,2=
=OA OM ,12-=MN ,求得
()()42
2118=-=
MN N A M
A ,故所求的⾼为2+ ；
12．
118 提⽰： 12-=n n T ,n n n n n S 101210110
11012211121?+??? ??+++?=---
三、解答题 13．
证明：由()bd ac da cd bc ab d c b a d c b a +++++++++=+++2)(22222可得
,22222d c b a d c b a +++≤+++当且仅当a=b=c=d 时取等号 ……5分
则()()()()x x x x x x x 31532112
3153212-+-++++≤-+-++
192142≤+=x ……………………………………………………15分因为x x x 315,32,
1--+不能同时相等，所以
1923153212<-+-++x x x ……………………………………20分
14．设()R y x yi x z ∈+=,,则代⼊并由复数相等可得
()()()
≤≤+-+-==10121sin 222
x cx x x b x a y t x 即()()a x a b x b c a y +-+-+=222
因为A,B,C 不共
线，所以02≠-+b c a ,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分 AB,BC 的中点分别是
+
+2,43,2,4
1c b E b a D ,；所以DE 的⽅程为 ()()c b a x a c y -++
-=234
1
……………………………10分联⽴两式得()02122
=??? ?
--+x b c a ,得 21=x ,注意到432
141<<,所以抛物线与ABC ?中平⾏于AC 的
中位线DE 有且只有⼀个公共点，此点的坐标为??
++42,
21b c a ,相应的复数为
i b
c a z 4
221+++=
…………………………………………………………15分 15．如图建⽴直⾓坐标系，设()ααsin ,cos 1R R A ,MN 为AA1的中垂线，设P （x,y ）是MN 上任⼀点，则|PA|=|PA1| ……5分
代⼊推得()ax a R y x R 2sin cos 222+-=+αα ………10分可得(),22sin 2
2
22y
x R ax a R ++-=
+αθ其中2
2
sin y
x x +=
θ,
2
2
cos y
θ. 所以
1222
2
22≤++-y
x R ax a R …………15分
平⽅后可化为122222
2222
≥??
- +
-a R y R a x 所求点的集合为椭圆122222
2222
≥??
- +
-a R y R a x 外（含边界）部分。

…………20分
2003年全国数学联赛⼆试解答
1、证明∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴ABC ADC ∠=∠，由已知PBC DAQ ∠=∠，∴PBA PBC ABC DAQ ADC ∠=∠+∠=∠+∠，⽽PQA ∠是△ADQ 的⼀个外⾓，
DAQ ADC PQA ∠+∠=∠，∴PBA PQA ∠=∠．
故P 、A 、Q 、B 四点共圆，从⽽APQ ABQ ∠=∠．所以ABC ABQ CBD QBD ∠-∠-∠=∠
ADC APQ CAD ∠-∠-∠-?=)180(CAD ADC APQ ∠-∠-∠-?=)180( CAD PAD ∠-∠=PAC ∠=．命题得证．
2、解∵?
=?=?444103103103n m l ，∴n m l 333≡≡（4
10mod ）．
考虑最⼩的正整数p ，使之满⾜13≡p
（4
10mod ）．∵134
≡（10mod ），∴p |4．令q p 4=，即1)110(93224≡-≡≡q q q （4
10mod ）．于是110001001013
22
2≡?-?+?-q q q C C C （410mod ）， 06
)
22)(12(210002)12(2100210≡--?--?
+?-q q q q q q （410mod ）， 06
)
22)(12(21002)12(2102≡--?--?+-q q q q q q （310mod ），∴q 2|10，q |5．
令s q 5=，则06
)
210)(110(101002)110(101010≡--?--?+-s s s s s s （310mod ），
即06
)
210)(110(10102)110(10≡--?--+-s s s s s s （100mod ），∴s |5．
令t s 5=，则06
)
250)(150(50102)150(505≡--?--+-t t t t t t （100mod ），
06
)250)(150(10102)150(10≡--?--+-t t t t t t （20mod ），∴t |5
由t |5，t s 5=，s q 5=知q |125，⼜q p 4=，所以p |500．
⽽当500=p 时，132400010001001013
25022501250≡=?-?+?-C C C （4
10mod ）
即13
500
≡（410mod ），且500为最⼩值．∴15003)(min +=++n n m l ，
⼜l 、m 、n 为三⾓形三边，∴n m l +<，即n n n ++<+5001000，∴500>n ，501≥n 所以300315005013)(min =+?=++n m l ．。