高考数学一轮复习第五章平面向量第3节平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

(2)解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定 义法、坐标法以及图形法求解，在用定义法求解的过程中要 注意运算的准确率．
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
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1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
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考点
题型突破
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考点一 平面向量数量积的运算——互动型
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(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
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(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
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3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
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6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
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[解析] 如图，建立直角坐标系，则 C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)， D(0,2)．
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则B→A＝(3，－4)，A→D＝(－3,2)． ∴B→A·A→D＝3×(－3)－4×2＝－17. [答案] －17
A→B·C→D＝－2＋6＝4，向量A→B在向量C→D上的投影等于
4＝ 10
2 510，选 B. [答案] B
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5．平面向量 a 与 b 的夹角为23π，a＝(3,0)，|b|＝2，则|a
＋2b|＝(
)
A．7
B. 37
C. 13
D．3
[解析] |a＋2b|＝ a＋2b2
＝
|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos23π＝ 13.
(
)
A．20
B．15
C．9
D．6
(3)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则
A→E·B→D＝________.
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[解析] (1)因为 a＋b＝(2,1)，a－2b＝(－1,4)，所以(a＋ b)·(a－2b)＝(－1)×2＋1×4＝4－2＝2，故选 A.
(2)如图所示，由题意知，A→M＝ A→B＋B→M＝A→B＋34A→D，N→M＝13A→B－14 A→D，
23b2 ＝ 3 2b2
22，又因为〈a，b〉
∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π4，故选 A.
[答案] A
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2．[角度 2]已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3， |A→C|＝2.若A→P＝λA→B＋A→C，且A→P⊥B→C ，则实数 λ 的值为 ________．
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解法二：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分 别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)， E(1,2)．
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于是A→E＝(1,2)，B→D＝(－2,2)， 故A→E·B→D＝1×(－2)＋2×2＝2. [答案] (1)A (2)C (3)2
∴A→M·N→M ＝A→B＋34A→D·13A→B－14A→D
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＝13|A→B|2－136|A→D|2＋14A→B·A→D－14A→B·A→D ＝13×36－136×16＝9. (3)解法一：由于四边形 ABCD 为正方形，且边长为 2， 所 以 A→E ·B→D ＝ ( A→D ＋ D→E )·( A→D － A→B ) ＝ A→D＋12A→B ·( A→D － A→B)＝|A→D|2－12A→B·A→D－12|A→B|2＝22－0－12×22＝2.
第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积
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1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面 向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达 式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两 个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
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知识
梳理诊断
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(2)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－ 4)．又∵a⊥(ta＋b)，∴a·(ta＋b)＝0.
∴(t＋6)＋(t＋4)＝0，∴t＝－5. [答案] (1)B (2)－5
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(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cosθ ＝|aa|·|bb|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0 等，可知平面向量的数量积 可以用来解决有关角度、垂直问题．
[解析] ∵A→P⊥B→C，∴A→P·B→C＝0，
∴(λA→B＋A→C)·B→C＝0，即(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝λA→B·A→C
－λA→B2＋A→C2－A→C·A→B＝0.∵向量A→B与A→C的夹角为 120°，|A→B|
且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角为(
)
A.π4
B.π2
3π C. 4
D．π
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[解析] 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，
即 a·b＝3a2－2b2.又|a|＝2 3 2|b|，所以 a·b＝3·2 3 2|b|2－2b2＝23
b2，所以
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝2
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1．若平面向量 a＝(－1,2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝3 5，
则 b 的坐标为(
)
A．(3，－6)
B．(－3,6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
[解析] 由题意设 b＝λa＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b|＝3 5，
则 λ2＋4λ2＝3 5，所以 λ＝－3，b＝(3，－6)，故选 A.
a1b1＋a2b2 (4)cos〈a，b〉＝__a_12＋ __a_22____b2_1＋ __b_22_.
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘
运算的运算结果是向量．(
)
(2)在△ABC 中，向量A→B，B→C的夹角为∠ABC.(
[答案] 2
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考点二 平面向量的夹角与垂直——共研型
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角度 1：求平面向量的夹角
(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量B→A＝12， 23，B→C
3 1 ＝ 2 ，2，则∠ABC＝(
A．30°
) B．45°
C．60°
D．120°
(2)(2016·景德镇质检)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)
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(3)向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是__9_0_°__，则 a 与 b 垂直，记作 _a_⊥__b __.
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2．平面向量数量积的意义 (1)a，b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则数|a|·|b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝_|_a_|·|_b|_·c_o_sθ_____.规定 0·a＝0. 当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝__0 __. (2)a·b 的几何意义 a·b 等 于 a 的 长 度 |a| 与 b 在 a 的 方 向 上 的 __投__影_|_b|_co_s_θ乘__积___________．
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求平面向量数量积的方法 (1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据 定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移 使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已 知的向量分别表示出向量 a，b，然后再根据平面向量的数量 积的定义进行计算求解． (3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求 出 a，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．
)
(3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.(
)
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(4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.(
)
(5)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和
b 的夹角为钝角．(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
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2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
＋b)⊥b，则|b|＝(
)
A．2
B. 2
C．1
2 D. 2
(2)(2016·山东卷)已知向量 a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若
a⊥(ta＋b)，则实数 t 的值为________．
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[解析] (1)因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b ＝0，
又因为|a|＝1，所以 a·b＝－1.又因为(2a＋b)⊥b， 所以(2a＋b)·b＝0，即 2a·b＋|b|2＝0，所以|b|2＝2，所以|b| ＝ 2.
⊥b，得 4×3＋(m－2)×(－2)＝0，解得 m＝8，故选 D. [答案] D
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4．已知 A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量A→B
在向量C→D上的投影为(
)
10 A. 5
2 10 B. 5
3 10 C. 5
4 10 D. 5
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[解析] 依题意得A→B＝(2,2)，C→D＝(－1,3)，|C→D|＝ 10，
1．两个向量的夹角 (1)定义 已知两个_非__零___向量 a 和 b，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角． (2)范围 向量夹角 θ 的范围是__0°_≤_θ≤_1_8_0_°_______，a 与 b 同向时，
夹角 θ＝0°；a 与 b 反向时，夹角 θ＝_1_8_0°___.
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4．数量积的运算律 (1)交换律 a·b＝_b_·_a__. (2)分配律(a＋b)·c＝_a·_c_＋_b_·c___. (3)对 λ∈R，λ(a·b)＝(_λ_a_)·_b____＝_a_·(_λ_b_) ___．
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5．数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 (1)a·b＝__a_1b_1_＋_a_2b_2_____. (2)a⊥b⇔__a_1b_1_＋_a_2b_2_＝_0______. (3)|a|＝___a_21＋ __a_22__.
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(2)(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋a·b－2×22＝－6，
∴a·b＝1，所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝12，又∵〈a，b〉∈[0，
π]，∴〈a，b〉＝π3.
[答案]
(1)A
π (2)3
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角度 2：平面向量的垂直
(1)若向量 a，b 满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a
＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
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[解析] (1)由已知条件得|B→A|＝|B→C|＝1，B→A·B→C＝ 43＋ 43＝ 23，
∴cos∠ABC＝|BB→ →AA|·|BB→ →CC|＝ 23，又∵0°≤∠ABC≤180°，∴ ∠ABC＝30°.
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3．向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝_|a_|c_o_s〈__a_，_e_〉____． (2)a⊥b⇒__a_·b_＝_0___且 a·b＝0⇒_a⊥__b__.(a，b 均为非零向量) (3)a·a＝_|a_|_2 _，|a|＝ a·a.
a·b (4)cos〈a，b〉＝_|_a_|·_|b_| _. (5)|a·b|_≤___|a||b|.
[答案] A
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2．在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中 点，点 F 在边 CD 上，若A→B·A→F＝ 2，则A→E·B→F的值是________．
[解析] 如图，以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴建立直角坐标系， 则 A(0,0)，B( 2，0)，E( 2，1)．设 F(m,2)， 0≤m≤ 2，由A→F·A→B＝(m,2)·( 2，0)＝ 2 m＝ 2，得 m＝1，则 F(1,2)，所以A→E·B→F ＝( 2，1)·(1－ 2，2)＝ 2.