高中数学人教B版必修第二册《4.1 指数与指数函数》练习题

人教B版必修第二册《4.1 指数与指数函数》练习题
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）
1.21+12log25=()
A. 2+√5
B. 2√5
C. 2+√5
2D. 1+√5
2
2.若，
A. B. C. D.
3.若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入图的容器，则容器中水的高度
h与时间t的函数关系的图象是()
A.
B.
C.
D.
4.已知a=2515，b=625，c=265，则()
A. a<b<c
B. b<a<c
C. c<b<a
D. a<c<b
5.已知f(x)=32x−(k+1)3x+2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()
A. (−∞,−1)
B. (−∞,2−1)
C. (−1,2−1)
D. (−2−1，2−1)
6. 把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为
A.
B.
C.
D.
7.
己知函数在(0,1)上为减函数，函数
的(1,2)上为增函数，
则a 的值等于
A. 1
B. 2
C.
D. 0
8.
16
−
14
=( )
A. 1
2
B. −1
2
C. 2
D. −2
9.
在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.71828…为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0°C 时的保鲜时间为120小时，在30°C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20°C 时的保鲜时间为( )
A. 30小时
B. 40小时
C. 50小时
D. 80小时
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分） 10. 方程组{x 2=1,
y 2=x
的解可以是( )
A. {x =1
y =1
B. {x =1
y =−1
C. {x =−1
y =−1
D. {x =−1
y =1
11. 下列不等式中成立的是( )
A. 0.60.8>0.80.8
B. 0.60.8<0.80.6
C. log 0.80.6>log 0.60.8
D. log 0.80.6<0.80.6
12. 下列式子不正确的是( )
A. 1.52.5>1.53.2
B. 1.70.2<0.92.1
C. (15)23<(1
2
)2
3
D. 0.80.5<0.90.4
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数
，则
．
14. 函数f(x)=a x +b(a >1,b <−1)不经过第______象限．
15. 现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v 1，下山的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上山
和下山的速度都是
v 1+v 22
(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回)，则甲、乙两人上下山所
用的时间t 1、t 2的大小关系为______ ．
16. 函数y =a x+2+3(a >0且a ≠1)的图象经过的定点坐标是______． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. (1)求函数y =1
√4−x 2的定义域；
(2)设a ，b 为实数且a +b =3，求2a +2b 的最小值．
18. (1)√b 3
a
√a 6
b
6
(2)(0.064) −13−(−8
7
)0+[(−2)3] −43+16−0.75
19. (1).计算0.027
−(− )−2+256 −3−1+( −1)0 (2)化
简
20. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1
x 2−4x +3,x >1．
(1)画出函数f(x)的图象，并写出函数的单调区间；
(2)若直线y =m 与函数y =f(x)的图象有3个交点，请由(1)中函数图象直接写出m 的取值范围．
21. 已知函数f(x)=e x ，g(x)=x 2+ax −x +1． (1)令ℎ(x)=g(x)
f(x)，讨论函数ℎ(x)的单调性；
(2)令φ(x)=f(x)g(x)，当a ≥1时，若φ(x)≥−1
e 恒成立，求实数a 的取值范围．
22.(本题12分)已知函数.(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数的定义
域；(2)已知在定义域上为增函数，若，求t的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
本题考查指数与对数的运算法则的应用，属于基础题．
直接利用对数与指数的运算法则求解即可．
解：21+12log25=2×212log25=2×2log2512=2√5．
故选：B．
2.答案：D
解析：试题分析：对于，a<0，b>1，1>c>0，那么结合指数函数的单调性以及值域来得到三者的关系为，故选D．
考点：比较大小
点评：主要是考查了对数函数与指数函数的性质的运用，属于基础题。

3.答案：C
解析：解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小，
故等速注入液体其高度增加先是越来越慢，再变快，
只有C满足条件，
故选C．
考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可．
本题主要考查函数的变化快慢问题，考查函数应用，属于中档题．
4.答案：A
解析：解：a=2515=525，b=625，c=265=825，
∵幂函数y=x25在(0,+∞)上单调递增，且5<6<8，
∴525<625<825，
∴a<b<c，
故选：A．
把a，b，c都化为同指数的幂，在利用幂函数的单调性即可比较出3个数的大小关系．
本题主要考查了指数幂的大小比较，是基础题．
5.答案：B
解析：由f(x)>0得32x−(k+1)·3x+2>0，解得k+1<3x+，而3x+≥2
，
∴k+1<2，即k<2−1．
6.答案：D
解析：试题分析：设其中一段为，第二段为，则第三段为，则利用两边之和大于第三边可以解得，还有，画出图象，从图象上可以看出，满足不等式的三角形
区域占正方形去区域的．
考点：本小题主要考查与面积有关的几何概型．
点评：几何概型分为与长度、角度、面积、体积等有关的几何概型，搞清楚属于那种类型，利用概率公式求解即可．
7.答案：B
解析：试题分析：由于题意可知，函数在(0,1)上为减函数，二次函数对称轴为x=，开口向上，可知1，同时由于函数的(1,2)上为增函数，则说明了函数在(1,2)上恒成立，则可知，故可知a=2，因此答案为B．
考点：函数单调性
点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于中档题。

8.答案：A
解析：
本题考查了幂的运算，属于基础题．
16=24，利用指数幂的运算求解．
解：16−14=(24)−14=24×(−1
4)=1
2．
故选A ．
9.答案：A
解析：解：由题意可知{e b =120e 30k+b
=15
，∴e 30k =18，∴e 10k =12， ∴e 20k+b =(e 10k )2⋅e b =1
4⋅120=30． 故选：A ．
列方程求出e 10k 和e b 的值，从而求出当x =20时的函数值． 本题考查了函数值的计算，属于基础题．
10.答案：AB
解析：解：由x 2=1，得x =±1， 当x =1时，y 2=1，得y =±1， 当x =−1时，y 2=−1，无解．
故方程组{x 2=1,
y 2=x 的解为{x =1y =1，或 {x =1y =−1，
故选：AB ．
求出方程组中第一个方程的解，代入第二个方程检验，可得方程组的解． 本题主要考查方程组的解法，属于基础题．
11.答案：BC
解析：解：函数y =x 0.8，在(0,+∞)上单调递增，∴0.60.8<0.80.8，故A 错误；
函数y =0.6x ，在R 上单调递减，∴0.60.8<0.60.6，函数y =0.6x ，在(0,+∞)上单调递增，∴0.60.6<0.80.6，
∴0.60.8<0.80.6，故B 正确；
函数y =log 0.8x 单调递减，∴log 0.80.6>log 0.80.8=1=log 0.60.6>log 0.60.8，故C 正确； ∵log 0.80.6>log 0.80.8=1=0．80>0．80.6，故D 错误， 故选：BC ．
利用指数函数和对数函数的性质，构造函数y =x 0.8，y =0.6x ，y =log 0.8x ，可以直接解出． 本题考查了指数函数和对数函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
12.答案：CD
解析：解：由于y =1.5x 是R 上的增函数，3.2>2.5，∴1.52.5<1.53.2，故A 错误；
由于1.70.2>1.70，而0.92.1<0.90=1，故有1.70.2>0.92.1，故B 错误； ∵函数y =x 2
3 是(0,+∞)上的增函数，15<1
2，∴(1
5)2
3<(1
2
)2
3，故C 正确；
0.80.5=√0.8510=√0.3276810
，0.90.4=√0.9410=√0.653110，∴0.80.5<0.90.4 ，故D 正确，
故选：CD ．
由题意利用指数函数的单调性与特殊点，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．
13.答案：．
解析：试题分析：
．
考点：1.分段函数；2.指数与对数运算．
14.答案：二
解析：解：当a >1时，函数f(x)为增函数， ∵b <−1，
∴将指数函数y =a x 向下平移超过1个单位， 此时函数f(x)的图象不经过第二象限角． 故答案为：二
结合指数函数的图象，以及函数图象平移关系进行判断即可．
本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数单调性以及图象平移关系是解决本题的关键．
15.答案：t 1>t 2
解析：解：由题意知，甲用的时间t 1=S v 1
+S
v 2
=S ⋅
v 1+v 2v 1v 2
；
乙用的时间t 2=2×S
v 1+v 2
2
=4S
v
1+v 2
；
∴t 1−t 2=S v 1+v 2v 1v 2
−4S
v
1+v 2
=S(v 1+v
2
v 1v
2
−4
v
1+v 2
)=S (v 1−v 2)2
v
1v 2(v 1+v 2)
>0；
故t 1>t 2；
故答案为：t 1>t 2．
由题意，甲用的时间t 1=S v 1
+S
v 2
=S
v 1+v 2v 1v 2
；乙用的时间t 2=2×
S
v 1+v 22
=4S
v
1+v 2
；从而作差比较大小即
可．
本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．
16.答案：(−2,4)
根据函数y=a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0,1)，利用平移可得答案．本题考查了函数的性质，平移问题，属于中档题．
解：∵函数y=a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0,1)，
∴函数y=a x的图象经过向左平移2个单位，向上平移3个单位，
∴函数y=a x+2+3(a>0且a≠1)的图象经过(−2,4)，
故答案为：(−2,4)．
17.答案：解：(1)要使函数y=1
√4−x2
有意义，
需4−x2>0，解−2<x<2
∴原函数的定义域为{x|−2<x<2}；
(2)∵a，b为实数且a+b=3，
∴2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b=4√2
当且仅当2a=2b，即a=b3
2
时取等号，
∴2a+2b的最小值为：4√2
解析：(1)解不等式4−x2>0可得函数的定义域为{x|−2<x<2}；
(2)由基本不等式可得2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b=4√2，注意等号成立的条件即可．本题考查基本不等式求最值，涉及函数的定义域的求解，属基础题．
18.答案：解：(1)√b3
a √a6
b6
=(b3
a
⋅a3
b3
)12=a；
(2)(0.064) −
1
3−(−
8
7
)0+[(−2)3] −
4
3+16−0.75 =(0.43) −
1
3−1+[(−2)3] −
4
3+(24)−
3
4
=
5
2
−1+
1
16
+
1
8
=27
16
．
解析：(1)(2)利用根式和指数幂的运算性质即可得出．
本题考查了根式、指数幂的运算性质，属于基础题．
19.答案：(1)原式=；。

解析：本题主要考查了分数指数幂的运算。

利用分数指数幂的运算法则求出两个小题的结果：
(1)原式=；
(2)原式=。

20.答案：解：(1)图象如图所示，
由图象可得函数在(−∞,1]，(2,+∞)上为增函数，在(1,2]上为减函数，
(2)直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点，则由(1)的图象可得m的取值范围为(−1,0)．
解析：(1)描点画图即可；由图象直接得到函数单调区间；
(2)由图象直接得到m的取值范围．
本题考查了函数图象的画法和识别，属于基础题．
21.答案：解：(1)ℎ(x)=g(x)
f(x)=x2+ax−x+1
e x
，则ℎ′(x)=(2x+a−1)e
x−(x2+ax−x+1)e x
(e x)2
=−(x−1)(x+a−2)
e x
.令
ℎ′(x)=0，解得x=1，或x=2−a．
①当a<1时，1<2−a，可得函数ℎ(x)在(−∞,1)，(2−a,+∞)上单调递减；在(1,2−a)上单调递增．
②当a=1时，1=2−a，可得：ℎ′(x)≤0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减；
③当a>1时，1>2−a，可得函数ℎ(x)在(−∞,2−a)，(1,+∞)上单调递减；在(2−a,1)上单调递增．
(2)φ(x)=f(x)g(x)=e x(x2+ax−x+1)．
φ′(x)=e x(x+a)(x+1)．
当a=1时，φ′(x)=e x(x+1)2≥0在R上恒成立，此时函数φ(x)在R上单调递增，φ(x)=e x(x2+
1)>0>−1
e
恒成立，满足条件．
当a>1时，−a<−1，可得函数φ(x)在(−∞,−a)上单调递增，在(−a,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，
当x≤−a时，∵x2+ax−x+1=x(x+a)+1−x>0恒成立，∴φ(x)=e x(x2+ax−x+1)>0>
−1
e
恒成立，满足题意．
当x>−a时，x=−1函数φ(x)取得极小值即最小值，φ(x)≥φ(−1)=e−1(3−a)≥−1
e
恒成立，解得a≤4，
因此1<a≤4．
综上可得：实数a的取值范围是[1,4]．
解析：(1)ℎ(x)=g(x)
f(x)=x2+ax−x+1
e x
，可得ℎ′(x)=−(x−1)(x+a−2)
e x
.令ℎ′(x)=0，解得x=1，或x=2−a.
对a分类讨论，比较两个实数根的大小，即可得出函数ℎ(x)的单调性．
(2)φ(x)=f(x)g(x)=e x(x2+ax−x+1).φ′(x)=e x(x+a)(x+1).对a分类讨论，比较两个实数
根的大小，即可得出函数ℎ(x)的单调性．根据当a≥1时，若(x)≥−1
e
恒成立，即可实数a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.答案：解：(1)函数是奇函数，
，
，即，
，
或，
当时，=0，定义域为，此时为非奇非偶函数，故舍去；
当时，，定义域为；
(2)是定义在上的奇函数，
，
①，
又为奇函数，
，
由得，，
，
定义在上，且在定义域上为增函数，
，
，
②，
综合①②得，．
解析：本题考查函数的基本性质．
(1)利用奇函数的定义，由恒等式f(−x)=−f(x)即可求a的值；用真数大于0，解分式不等式即可求定义域；
(2)综合应用奇偶性及单调性即可得到关于t的不等式，解不等式即可．。