苏教版函数y=asin(ωx+φ)7
2021版高考数学苏教版：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案
教课资料范本2021版高考数学苏教版： 4.5函数 y＝Asin （ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用含答案编辑： __________________时间： __________________第五节函数 y＝ Asin( ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[最新考纲 ] 1.认识函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象、认识参数 A、ω、φ对函数图象变化的影响 .2.会用三角函数解决一些简单实质问题、领会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型．1．y＝Asin(ωx＋φ)的相关观点y＝ Asin(ωx＋φ)(A ＞0、振幅周期频次相位初相ω＞0、x≥0)表示一个简2π 1 ω谐运动A T＝ωf＝T＝2πωx＋φφ2.用五点法画y＝ Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时、要找五个重点点、以下表所示：φπ－φπ－φ32π－φπ－φx－ω2ωω2ωωωx＋φ0ππ3ππ222y＝ Asin(ωx＋0A0－A0φ)3.由 y＝sin x 的图象变换获得y＝Asin(ωx＋φ)(此中 A ＞0、ω＞ 0)的图象[ 常用结论 ]1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减、上加下减”．φ2．由 y＝sin ωx到 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0、φ＞0)的变换：向左平移ω个单位长度而非φ个单位长度．一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×” )(1)利用图象变换作图时“先平移、后伸缩”与“先伸缩、后平移”中平移的单位长度一致．()ππ将 ＝的图象左移个单位后所得图象的分析式是y ＝ 3sin2x ＋(2) 4 .y 3sin 2x4()(3)y ＝ sinπ的图象是由 y ＝ sin x ＋ π 的图象向右平移 πx － 4 个单位获得的．4 2( )(4)函数 y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T 、那么函数图象的两个相邻对称中T心之间的距离为 2.()[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材改编1 π的振幅、频次和初相分别为． ＝x －()1 y2sin 23A ． 2,4 π、πB ．2、 1、π 34π 31 ππC ． 2、 4π、－ 3D ． 2,4 π、－ 31 ω1 πC[由题意知 A ＝ 2、 f ＝T ＝2π ＝ 4π 、初相为－3 .]．为了获得函数y＝2sin 2x－π的图象、能够将函数 y＝2sin 2x 的图象 ()23πA ．向右平移6个单位长度πB．向右平移3个单位长度πC．向左平移6个单位长度πD．向左平移3个单位长度ππA [y＝2sin 2x－3＝2sin 2 x－6 .]3.如图、某地一天从6～14 时的温度变化曲线近似知足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b、则这段曲线的函数分析式为________．π3πy＝10sin 8 x＋4＋20、x∈[6,14][从图中能够看出、从6～14 时的是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋ b 的半个周期11因此 A＝2×(30－10)＝ 10、b＝2×(30＋10)＝20、1 2ππ又2×ω＝14－ 6、因此ω＝8 .π3π又8×10＋φ＝2π＋ 2kπ、 k∈ Z 、取φ＝4、π3π因此 y ＝10sin 8 x ＋ 4＋ 20、x ∈[6,14]． ]4．某地农业监测部门统计发现：该地域近几年的生猪收买价钱每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计状况：月份12 3 4x收购价格y(6 7 6 5元/斤)采用一个函数来近似描绘收买价钱( 元 /斤 ) 与相应月份之间的函数关系为________．πy ＝6－cos 2 x [ 设 y ＝Asin(ωx＋φ)＋ B(A ＞0、 ω＞0)、由题意得 A ＝1、B ＝ 6、＝ 、由于 T ＝ 2π、因此 ω＝π 、因此 y ＝sin πx ＋φ ＋6.由于当 x ＝ 1 时、 y ＝ T 4 ω 2 2ππ π6、因此 6＝ sin2 ＋φ ＋6、联合表中数据得 2 ＋φ＝2k π、k ∈Z 、可取 φ＝－ 2 、π π π因此 y ＝sin 2x －2 ＋ 6＝ 6－ cos 2 x.]考点 1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(1)y ＝ Asin(ωx＋φ) 的图象可用“五点法”作简图获得、可经过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数 y＝sin x的图象经过变换获得 y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条门路：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”．π已知函数 y＝ 2sin 2x＋3 .(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；π(2)[ 一题多解 ]说明 y＝2sin 2x＋3的图象可由y＝sin x 的图象经过如何的变换而获得．[ 解](1)描点画出图象、以下图：(2) 法一：把 y＝ sin x 的图象上全部的点向左平移π个单位长度、获得y＝3sin x＋π的图象；3π1再把 y＝sin x＋3的图象上全部点的横坐标缩短到本来的2倍(纵坐标不变)、π获得 y＝ sin 2x＋3的图象；最后把 y＝ sin 2x＋π上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 )、即3可获得 y＝2sin 2x＋π的图象．31法二：将 y＝sin x 的图象上全部点的横坐标缩短为本来的2倍(纵坐标不变 )、获得 y＝ sin 2x 的图象；π再将 y＝sin 2x 的图象向左平移6个单位长度、获得 y＝＝sin 2x＋π的图象；3π2 倍(横坐标不变 )、再将 y＝sin 2x＋的图象上全部点的纵坐标伸长为本来的3即获得 y＝2sinπ的图象．2x＋3三角函数图象变换中的 3 个注意点(1)变换前后、函数的名称要一致、若不一致、应先利用引诱公式转变为同名函数．(2)要弄清变换的方向、即变换的是哪个函数的图象、获得的是哪个函数的图9/27(3)要弄准变换量的大小、特别是平移变换中、函数 y ＝ Asin x 到 y ＝Asin(x ＋φ)的变换量是 |φ|个单位、而函数 y ＝Asin ωx 到 y ＝ Asin(ωx＋φ)时、变换量是φω个单位．π1.要获得函数 y ＝sin 5x － 4 的图象、只要将函数 y ＝cos 5x 的图象 ()A ．向左平移 3π个单位B ．向右平移 3π个单位20 203πD ．向右平移 3πC ．向左平移 4个单位4 个单位π ＝sin 5 x ＋ π 、B [ 函数 y ＝cos 5x ＝sin 5x ＋102π πy ＝sin 5x － 4 ＝sin 5 x －20 、设平移 φ个单位、ππ则 10＋φ＝－ 20、解得 φ＝－ 3π 、故把函数 y ＝ cos 5x 的图象向右平移 3π个单位、可得函数 y20 20＝sin 5x － π 的图象． ]42 ．若把函数 y ＝ sin ωx －π 的图象向左平移π6个单位长度、所获得的图象3与函数 y ＝cos ωx 的图象重合、则 ω的一个可能取值是 ()32 1A ． 2B.2C.3D.2ω π和函数 y ＝cos ωx 的图象重合、可得 ω π－ π ＝πA [y ＝sin ωx ＋ 3 π－3 6 26＋2k π、k ∈Z 、则 ω＝6k ＋ 2、 k ∈ Z.∴ 2 是 ω的一个可能值． ]．将函数f(x)＝ sin 4x ＋ π 的图象向左平移 φ(φ＞ 0)个单位后、获得的图象关33π于直线 x ＝12对称、则 φ的最小值为 ________．54x ＋π的图象向左平移 φφ＞ 0)个单位后、 24π [把函数 f(x)＝ sin3(可得 y ＝sin 错误 ! ＝sin 错误 ! 的图象、πππ π∵ 所得图象对于直线 x ＝ 12对称、 ∴ 4× 12＋4φ＋ 3 ＝ 2 ＋ k π(k ∈Z)、 ∴φ＝k π π4 －24(k ∈ Z)、5π∵φ＞ 0、 ∴φmin ＝ 24 .]考点 2由图象确立 y ＝Asin(ωx＋φ)的分析式确立y ＝ Asin(ωx＋φ)＋ B(A ＞0、ω＞0)的分析式的步骤M－m M＋ m(1)求 A、 B、确立函数的最大值M 和最小值 m、则 A＝2、B＝2.2π(2)求ω、确立函数的周期T、则ω＝T .(3)求φ、常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入 ( 此时要注意该点在上涨区间上仍是在降落区间上 )或把图象的最高点或最低点代入．② 五点法：确立φ值时、常常以找寻“五点法” 中的特别点作为打破口．详细以下：“第一点”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为ωx＋φ＝0；“第二π点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝2；“第三点” (即图象降落时与x 轴的交点 )3π为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝2；“第五点”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为ωx＋φ＝ 2π.(1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①所示、则f(x)＝________.图①图②(2)(20xx ·重庆六校联考 )函数f(x) ＝Asin(ωx＋φ) A，ω，φ是常数， A＞ 0，ω＞ 0，0＜φ＜π的部分图象如图②所示、则2f －π＝________.3π6(1)2sin 2x－6(2)－2[(1) 由题图可知、 A＝2、T＝ππ＝π、因此ω＝2、由五点作图法可知2×3＋φ＝2、π因此φ＝－6、π因此函数的分析式为y＝2sin 2x－6.(2)由函数的图象可得＝ 1 2π 7π π、可得ω＝2、则 2×π＋φ＝、×＝－A24ω 1233π＋2k π(∈Z)、又＜φ＜π、因此φ＝π、故f(x)＝2sin2x＋π、因此f－πk02333 6＝－2.]一般状况下、ω 的值是独一确立的、但φ的值是不确立的、它有无数个、假如求出的φ的值不在指定范围内、可2π以经过加减ω的整数倍达到目的．1.(20xx ·开封模拟 ) 假如存在正整数ω和实数φ使得函数 f(x)＝ sin2(ωx＋φ)的图象以下图 (图象经过点 (1,0))、那么ω的值为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 41 1B[ 由于 f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝2－2cos 2(ωx＋φ)、因此函数 f(x)的最小正周期 T 2ππT3T4＝2ω＝ω、由题图知2＜1、且4＞1、即3＜T＜2、又ω为正整数、因此ω 的值为 2、应选 B.]π2.(20xx 合·肥模拟 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ) A＞0，| φ| ＜2的图象以下图、则以下说法正确的选项是 ()π π2π πB[ 由题意得、 A ＝ 2、T ＝ 4× 3 － 12 ＝π、故 ω＝ π ＝2.当 x ＝ 12时获得最ππ π大值 2、因此 2＝ 2sin 2×12＋φ 、且 |φ|＜ 2 、因此 φ＝ 3 、因此函数的分析式为π7π 13π πf(x)＝ 2sin 2x ＋ 3 .当 x ∈ 12 、 12 时、 2x ＋ 3 ∈、又由正弦函数y ＝sin x 的图象与性质可知、函数y ＝ sin x 在上单一递加、故函数 f(x)在π上单一递加．当 x ∈时、 2x ＋ 3 ∈、由函数 y＝sin x 的图象与性质知此区间上不但一、应选B.]已知函数＝π＋θ | θ| ＜ π 的部分图象以下图、且1 f(x) f(0)＝－ 、则3.sin( x )22图中 m 的值为 ________．4 由于＝1ππ＝πx － π2、因此 θ＝－6 、因此 f(x)3[f(0)sin 2| |sin 6、π1π＝2kπ＋7π4因此 f(m)＝sin mπ－＝－、因此 mπ－66、 k∈Z 、因此 m＝ 2k＋、6234k∈ Z .又周期 T＝2、因此 0＜m＜2、因此 m＝3.]考点 3三角函数图象与性质的综合应用函数零点 (方程根 )问题已知对于 x 的方程 2sin2x－ 3sin2x ＋－＝在π，π上有两个不一样的实数根、则m 的取值范围是 ________．m 1 02(－2、－1)[方程 2sin2x－ 3sin 2x＋ m－1＝0 可转变为 m＝ 1－2sin2x＋ 3sin2x＝cos 2x＋ 3sin 2xππ＝ 2sin 2x＋62，π .设 2x＋π＝t、则 t∈7π，13π、666m713因此题目条件可转变为2＝sin t、t∈6π，6π有两个不一样的实数根．因此 y1＝m713的图象有两个不一样交点、如图：和 y2＝sin t、t∈π，π266m1由图象察看知、2的取值范围是－1，－2、故 m 的取值范围是 (－2、－ 1)．][ 母题研究 ] (变条件 )将本例中“有两个不一样的实数根”改为“有实根”、则m 的取值范围为 ________．[ －2,1) [由例题可知、m2∈、∴ －2≤m＜1、即 m 的取值范围为.]18/27三角函数的零点问题可转变为两个函数图象的交点问题．三角函数图象与性质的综合问题π已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋3π(ω＞0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 2 .(1)求函数 f(x)的分析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m＞ 0)个单位长度获得函数g(x)的图象恰巧经过π点－3，0 、求当 m 获得最小值时、 g(x)在上的单一递加区间．[ 解](1)函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为π2、π2π得函数 f(x)的最小正周期为 T＝2×2＝2ω、得ω＝ 1、π故函数 f(x)的分析式为 f(x)＝ 3sin2x＋3 .(2)将 f(x)的图象向左平移m(m＞ 0)个单位长度获得函数g(x)＝sin2(x＋m)＋3ππ3＝ 3sin的图象、依据 g(x)的图象恰巧经过点－3，0、可得3sin －2π＋2m＋π ＝、即sin2m－π＝、33030πkππ因此 2m－3＝kπ(k∈Z)、m＝2＋6 (k∈Z)、由于 m＞ 0、π因此当 k＝ 0 时、 m 获得最小值、且最小值为 6 .2π此时、 g(x)＝3sin 2x＋3.2π由于 x∈、因此2x＋3∈.2π当 2x＋3∈、即x∈时、g(x)单一递加、2π当 2x＋3∈、即x∈时、g(x)单一递加．综上、 g(x) 在区间上的单一递增区间是和.研究y＝ Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体、利用换元法和数形联合思想进行解题．1.(20xx ·津高考天 )已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 0、ω＞0、 |φ|＜π)是奇函数、将y＝ f(x)的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍(纵坐标不变 )、所得图象对应的函数为g(x)．若 g(x)的最小正周π3π期为 2π、且 g 4 ＝2、则 f8＝()A．－ 2B．－ 2C. 2D． 2C[∵ f(x)＝ Asin(ωx＋φ)为奇函数、∴φ＝ kπ、 k∈Z 、又 |φ|＜π、∴φ＝ 0、ωω2π∴f(x)＝Asin ωx、则 g(x)＝ Asin 2 x .由 g(x)的最小正周期 T＝2π、得2＝T＝1、ππ2∴ω＝2.又 g 4＝Asin 4＝2 A＝2、∴ A＝ 2、∴f(x)＝ 2sin 2x、3π3π∴ f 8＝2sin 4 ＝2、应选 C.]2．(20xx ·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝sin ωx＋π(ω＞ 0)、已知 f(x)在[0,2 π]有且仅5有 5 个零点．下述四个结论：①f(x)在 (0,2 π)有且仅有 3 个极大值点；② f(x)在 (0,2 π)有且仅有 2 个极小值点；π1229③f(x)在 0，10单一递加；④ω的取值范围是 5 ，10.此中全部正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④D [如图、依据题意知、 x A ≤2π＜x B 、依据图象可知函数 f(x) 在(0,2 π)有且仅有 3 个极大值点、因此 ①正确；但可能会有 3 个极小值点、因此 ② 错误；依据24π29π、得 1229∈ 0， π时、 A ≤ π＜ B 、有≤2π＜≤ω＜ 、因此 ④ 正确；当 xx2 x5ω 5ω5 10 10ππ ωπ π1229ωπ π 49π π 5 ＜ωx＋ 5 ＜ 10 ＋ 5 、由于 5 ≤ω＜ 10、因此 10＋ 5＜ 100＜ 2、因此函数f(x)在 0，π单一递加、因此 ③ 正确．10]课外修养提高 ⑤ 逻辑推理与数学运算 —— 三角函数中 ω确实定方法数学运算是解决数学识题的基本手段、经过运算可促使学生思想的发展；而逻辑推理是获得数学结论、建立数学系统的重要方式．运算和推理贯串于研究数学识题的一直、可交替使用、相辅相成．三角函数的周期 T 与 ω的关系【例 1】为了使函数 y ＝sin ωx (ω＞ 0)在区间 [0,1] 上起码出现 50 次最大值、则ω的最小值为 ()197199A ． 98π B. 2π C. 2πD．100π1197 B[ 由题意、起码出现 50 次最大值即起码需用 494个周期、因此4 T＝197 2π197·≤1、因此ω≥π .]4 ω22π[ 评析 ]解决此类问题的重点在于联合条件弄清周期T＝ω与所给区间的关系、进而成立不等关系．三角函数的单一性与ω的关系π2π【例 2】若f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间－2、3上是增函数、则ω的取值范围是 ________．π2πωπ2πω[法一：由于 x∈－2、3 (ω＞0)、, 因此ωx∈ －2、3、,πππ2π－2ω≥－2，2ππ由于 f(x)＝ 2sin ωx在－2、3上是增函数、 , 因此故 03ω≤ 2，ω＞ 0，3＜ω≤4.法二：画出函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞ 0)的图象以下图．π 2π要使 f(x)在－ 2 、 3 上是增函数、ππ－2ω ≤－ 2 ，需(ω＞ 0)、2ππ3≤2ω3即 0＜ω≤4.[ 评析 ] 依据正弦函数的单一递加区间、确立函数 f(x)的单一递加区间、依据函数 f(x)＝2sin ωx (ω＞0)在区间 上单一递加、成立不等式、即可求 ω的取值范围．【例 3】ω＞ 2、若函数 f(x)图象的任何一条3 (1)已知 f(x)＝ sin ωx－cos ωx对称 轴与 x 轴交 点的横坐 标都 不属于区 间 ( π、 2π)、则 ω 的 取值 范围 是________．(结果用区间表示 )(2)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx 在区间上的最小值为－ 2、则 ω的取值范围是 ________．(1)(2)[(1)f(x)＝ sin ωx－cos ωx＝ 2πsin ωx － 4 、π π3π k π令 ωx－ 4 ＝ 2 ＋k π(k ∈ Z)、解得 x ＝4ω ＋ ω (k ∈ Z)．当 k ＝0 时、 3π 3 4ω ≤π、即 4≤ω、3ππ7当 k ＝1 时、 4ω ＋ ω≥2π、即 ω≤8.3 7综上、 4≤ω≤ 8.(2)明显 ω≠0、分两种状况：ππ若 ω＞0、当 x ∈时、－ 3 ω≤ωx≤ 4 ω.π因函数 f(x) ＝2sin ωx 在区间上的最小值为－ 2、因此－ 3 ω≤－π32 、解得 ω≥ 2.若 ω＜0、当 x ∈ππ时、 4 ω≤ωx≤－ 3 ω、ππ因函数 f(x)＝ 2sin ωx在区间上的最小值为－2、因此4ω≤－2、解得ω≤－2.3综上所述、切合条件的实数ω≤ －2 或ω≥2.][ 评析 ]这种三角函数题除了需要娴熟掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单一性外、还一定了解一个周期里函数最值的变化、以及何时取到最值、函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.。
函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用 课件
115
90
115
解析:描点、连线并左右扩展得到函数的简图如图所示. (4)此人的收缩压为 115+25=140(mmHg),舒张压为 115-25=90(mmHg).与标
准值 120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高.
题型四
易错辨析
易错点 求 y=Asin(ωx+φ)的解析式时错求 φ的值
【例 4】 函数 y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|φ|< ,则( ). 2
函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
题型一
图象对称问题
【例 1】
已知函数
f(x)=sin
ωx
3
(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象
( ).
A.关于点
3
,
0
对称
B.关于直线 x= 对称 4
C.关于点
4
,
0
对称
D.关于直线 x= 对称 3
解析:由 T= 2 =π,解得 ω=2,
正解:由图可得 T=π,
∴ω=2.∴y=sin(2x+φ).
又由图可知 y=sin 2x
∴φ = .∴φ= .故选 A.
2 12 6
y=sin(2x+φ)=sin
2
x
φ 2
,
ω
则
f(x)=sin
2x
3
,
故该函数图象关于点
3
,
0
对称.
答案:A
反思:对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ),若 f(m)=0,则(m,0)是 f(x)的对称中心;若 f(m)=A
或 f(m)=-A,则直线 x=m 是 f(x)的对称轴.
函数yAsin(ωxφ)的图像与性质课件文苏教版
函数的对称性
对称性定义
如果对于任意x，有f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)关于直线x=a对称；如果对于任意x，有f(b-x)=f(b+x)， 则称f(x)关于点(b,0)中心对称。
函数y=asin(ωx+φ)的对称性
由于正弦函数sinx关于直线x=kπ/ω（k为整数）对称，所以当φ=mπ（m为整数）时， y=asin(ωx+φ)关于直线x=(m-1/2)π/ω对称；当φ=(m+1/2)π时，y=asin(ωx+φ)关φ)的图像与性质课件
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商业产品部
目录
函数y=asin(ωx+φ)的图像 函数y=asin(ωx+φ)的性质 函数y=asin(ωx+φ)的应用 函数y=asin(ωx+φ)的扩展
WENKU DESIGN
工程学
在工程学中，y=asin(ωx+φ)可以用于信号处理、控制系统等领域。
经济学
在经济学中，y=asin(ωx+φ)可以用于描述供求关系、市场均衡等 现象。
感谢观看
REPORTING
THANKSs://wenku.1/2)π/ω,0)中心对称。
函数y=asin(ωx+φ)的应用
WENKU DESIGN
03
REPORTING
振动和波动
函数y=asin(ωx+φ)可以用来描述振动和波动现象，其中ω决 定了振动的频率，φ决定了相位。 描述周期性运动 振动合成与分解 波的传播 通过将多个振动函数进行合成或分解，可以研究复杂的振动系 统。 在波动传播过程中，函数y=asin(ωx+φ)可以用来描述波的相 位和幅度变化。
第7章-7.3.3-函数y=Asin(ωx+φ)高中数学必修第一册苏教版
6
象的函数解析式为 = sin 2，再将此函数图象向右平移 个单位长度可得
= sin 2 −
π
6
的图象，即 = sin 2 −
π
3
的图象，所以 = 2, =
π
− .
3
【学会了吗丨变式题】
1.［多选题］(2024·江苏省泰州市期末)将函数 = sin +
π
右平移 个单位后得到函数
的所有对称中心重合，故 的图象向左（右）平移半个最小正周期的整数倍个单
位长度即得
可以为6，12.
π
的图象，故
6
=⋅
1 2π
⋅
2
=
π
⋅ ，即
= 6， ∈ ∗ ，结合选项，
题型2 由函数图象（或部分图象）确定函数解析式
例7 已知函数 = sin + > 0, > 0 在一个周期内的函数图象如图7.3.3-2
3
2
3
6
π
π
π
对于选项A，当 = 时,sin + = 1 ≠ 0,A错误.
6
6
3π 2π+ Nhomakorabea5π
5π
5π
6 3
【解析】由图可知，函数的最小正周期 = 2
对于选项D，当 =
2
=
12
时,cos
6
π
6
= 0时， = sin −2 +
4π
3
=−
3
2
12
−
= 1 ≠ −1,D错误.
π
π
, 0 代入得sin(−2 × + ) =
又0 < < π ，所以 =
江苏高一数学 函数y=Asin(wx+φ) 练习(解析版)
7.3.3函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象一、选择题1．要得到函数y ＝sin x y ＝sin 2x 的图象()A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】因为y ＝x sin 所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin sin x2．若把函数y ＝sin m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图象，则m 的最小值为()A.π6B.5π6C.π3D.2π3【答案】C【解析】依题意，y ＝－m sin x ，∴m －π3＝2k π(k ∈Z )，∴m ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又m >0，∴m 的最小值为π3.3．为得到函数y ＝cosy ＝sin x 的图象()A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度【答案】C【解析】y ＝＋π2＝所以只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．4．把函数y ＝sin x 的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是()A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数【答案】D【解析】y ＝sin x 的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin 2－π4＝x cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()【答案】B【解析】把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度，得y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度，得y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得y 3>0，令x ＝π2＋1，得y 3＝0，观察即得【答案】．6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于()A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin 6φ＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象．7．为了得到函数y ＝x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点()A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【答案】C【解析】先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝x ∈R 的图象．8．函数y ＝2sin ()A.π4，2，π4B ．4π，－2，－π4C ．4π，2，π4D ．2π，2，π4【答案】C【解析】由函数解析式，得A ＝2，ω＝12，φ＝π4，T ＝2πω＝4π.9．如图所示，函数的解析式为()A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝xD ．y ＝x 【答案】D【解析】由图知T ＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．10．已知函数f (x )＝ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A B ．关于直线x ＝π4对称C D ．关于直线x ＝π3对称【答案】A11．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ()A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3【答案】D【解析】由f x ＝π6是函数的对称轴，解得3或－3，故选D.12．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为()A ．1，π3B ．2，π3 C.12，π6D.12，π3【答案】B【解析】依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝＋则函数g (x )＝＋ωπ12＋因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g (x )＝＋π6＋又因为函数为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3.二、填空题13．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＞0，－π2≤φ不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则________.【答案】22【解析】y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin伸长为原来的2倍，得到y ＝sin 即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，所以f (x )＝＝22.14．要得到y ＝sin y ＝cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．【答案】11π3【解析】cos x2＝y ＝sin φ(φ>0)个单位长度得y ＝sin ＋φ2＋令φ2＋π2＝2k π＋π3，k ∈Z .∴φ＝4k π－π3，k ∈Z .∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值．15．某同学给出了以下判断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sinx y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度而得到的．其中正确的结论是______．(将所有正确结论的序号都填上)【答案】①③16．把函数y ＝2sin m 个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________．【答案】5π6【解析】把y ＝2sin m 个单位长度，则y ＝＋m y轴对称，∴m ＋2π3k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π－π6，k ∈Z .∴取k ＝1，m 的最小正值为5π6.三、解答题17．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)曲线与x ，φ－π2，(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解(1)由题意知A ＝2，T ＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵＋1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ－π2，φ＝π4，∴y ＝2sinx (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤2x ＋π4≤9π4，列出x ，y 的对应值表：x 0π838π58π78ππ2x ＋π4π4π2π32π2π9π4y12－21描点，连线，如图所示．18．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φy 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域．解(1)由题意作出f (x )的简图如图．由图象知A ＝2，由T2＝2π，得T ＝4π.∴4π＝2πω，即ω＝12，∴f (x )＝2sin 12x ＋φ∴f (0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin 12x ＋π6∵f (x 0)＝2sin 12x 0＋π62，∴12x 0＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴x 0＝4k π＋2π3，k ∈Z ，又(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点，∴x 0＝2π3.(2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为－4π3＋4k π，2π3＋4k π(k ∈Z )．(3)∵－π≤x ≤π，∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin 12x ＋π6≤1，∴－3≤f (x )≤2，故f (x )的值域为[－3，2]．19．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解(1)因为ω>0，根据题意有≥－π2，≤π2，解得0<ω≤34.所以ω，34.(2)由题意知f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin 21＝x 1，由g (x )＝0得，x ＝－12，解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解(1)由题意，易知A ＝3，T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又∵|φ|<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝x (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ，k∈Z.(3)由题意知，方程x＝m－16在区间－π3，π6上有两个实根．∵x∈－π3，π6，∴2x＋π3∈－π3，2π3，∴x－32，1，又方程有两个实根，∴m－16∈32，∴m∈[1＋33，7)．。
苏教版数学高一学案 1.3.3 函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)
1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.知识点一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向________(当φ>0时)或向________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到的.知识点二 ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的 图象的影响如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到.知识点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 的影响如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________倍(横坐标不变)而得到.思考 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象？题型一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________.(填序号) ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位.跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________.(填序号) ①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位.题型二 三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________.跟踪训练2 要得到y ＝sin(－12x )的图象，只需将y ＝sin(－12x －π6)的图象________.(填序号)①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位.题型三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3， 求f (x )的解析式.跟踪训练3 将函数y ＝2sin(x ＋π3)的图象向左移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为________.例4 将函数y ＝sin(2x －π3)的图象先沿x 轴向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，求与最终的图象对应的函数的解析式.错解1 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin(2x －π3－π4)＝sin(2x －7π12)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin(4x －7π12).错解2 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin[2(x －π6－π4)]＝sin[2(x －5π12)]，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin[4(x －5π12)]＝sin(4x －5π3)＝sin(4x ＋π3).错解3 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin(2x －π3－π4)＝sin(2x －7π12)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数解析式为y ＝sin[2(2x －7π12)]＝sin(4x －7π6)＝sin(4x ＋5π6). 错因分析 以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象.错解1在进行平移变换时，错误地把2x 看成了变换对象；错解2在进行伸缩变换时，错误地把2(x －5π12)看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误.正解 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin[2(x －π6－π4)]＝sin(2x －5π6)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin(4x －5π6).点评 由y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象时，若先由y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin ωx 的图象，再由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，则左右平移|φ|ω个单位长度，很多人都直接左右平移|φ|个单位长度，从而导致错误.1.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________.2.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象________.(填序号) ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移2π3个单位；④向右平移2π3个单位.3.将函数y ＝sin(x ＋π3)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________________.4.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位. 5.将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位.这是很容易出错的地方，应特别注意.类似地，y＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到.2.一般地有以下结论：(1)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象，当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”.(2)函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到.(3)函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.答案精析知识梳理 知识点一 左 右 |φ| 知识点二 缩短 伸长 1ω不变 知识点三 伸长 缩短 A思考 方法一 (先相位变换，再周期变换)先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将函数y ＝sin(x ＋π3)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得y ＝sin(2x ＋π3)的图象. 方法二 (先周期变换，再相位变换)先将f (x )＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得函数f (2x )＝sin 2x 的图象，再将函数f (2x )＝sin 2x 的图象上各点沿x 轴向左平移π6个单位长度，得f [2(x ＋π6)]＝sin [2(x ＋π6)]的图象，即函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象.题型探究 例1 ③解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin [2⎝⎛⎭⎫x ＋π6]，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin [2⎝⎛⎭⎫x ＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 跟踪训练1 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴向左平移π8个单位.例2 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象.跟踪训练2 ②解析 因为y ＝sin(－12x －π6)＝sin[－12(x ＋π3)]，所以需将y ＝sin(－12x －π6)的图象向右平移π3个单位才可得y ＝sin(－12x )的图象.例3 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3−−−−−−−→32纵坐标伸长到原来的倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3−−−−−−−→12横坐标缩短到原来的倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x . 跟踪训练3 π6解析 因为函数y ＝2sin(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin(x ＋π3＋m )是偶函数，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，所以m的最小值为π6.当堂检测1.122.③3.y ＝sin(2x ＋π3)4.π3 23π5.y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x ) π−−−−−→4左移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .。
苏教版高中数学必修第一册7.3.3函数y=Asin(ωx+φ)【授课课件】
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
φ＝ kπ，k∈Z 时是奇函数；φ＝π2＋kπ，k∈Z时是偶函 奇偶性
数；当φ≠k2π(k∈Z)时是 非奇非偶 函数
单调增区间可由－－π2π2＋＋22kkππ≤≤ωωxx＋＋φφ≤≤π2＋2kπ，k∈Z 得到， 单调性
第7章 三角函数
7.3 三角函数的图象和性质 7.3.3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解 y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，1．通过函数图象的变换，培养直观
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
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(2)描点．
(3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函
数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次 π 个单位长度)即可
单调减区间可由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤32π＋2kπ，k∈∈ZZ得到
7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
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2．已知 f(x)＝Asinωx＋π3(A＞0，ω＞0)在一个周期内，
π
7π
当 x＝12时，取得最大值 2；当 x＝12时，取得最小值－2，则 f(x)＝
江苏版高考数学 4.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
4.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质挖命题【考情探究】分析解读函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,这部分内容复习时要以基本知识为载体,巩固数形结合思想和三角函数的相关性质.破考点【考点集训】考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象的解析式为y= .答案sin-2.(2017江苏盐城期中,16)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求A,ω,φ的值;(2)设θ为锐角,且f(θ)=-,求f-的值.解析(1)由题图可得A=,最小正周期T=--=π,∴ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ),由f=-,得2×+φ=-+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=.(2)由f(θ)=sin=-,得sin=-,∵θ∈,∴2θ+∈,又sin<0,∴2θ+∈,∴cos=--=-,∴f-=sin 2θ=sin -=-=-=-.考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.(2017江苏南京、盐城第二次模拟考试,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最大值为.答案2.函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为.答案2炼技法【方法集训】方法一根据图象确定函数解析式已知曲线y=Asin(ωx+φ)∈-上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.(1)试求这条曲线的函数解析式;(2)写出函数的单调区间.解析(1)依题意,知A=,T=4×-=4π.∵T==4π,ω>0,∴ω=.∴y=sin.又曲线上的最高点为,∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z.∵-<φ<,∴φ=.∴y=sin.(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,∴函数的单调递增区间为-(k∈Z).令2kπ+≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.∴函数的单调递减区间为(k∈Z).方法二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a、b的值. 解析∵x∈,∴2x+∈,sin∈-.∴当a>0时,--解得-当a<0时,--解得--∴a、b的取值分别是4、-3或-4、-1.2.函数y=tan-sin sin,x∈R.(1)求函数的最大值、最小值;(2)求函数的最小正周期;(3)求函数的单调区间;(4)说明函数的图象可由函数y=cos-,x∈R的图象经过怎样的变换得到. 解析原函数可化简为y=1+sin-=1+sin-.(1)当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,sin-=1,y max=1+;当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,sin-=-1,y min=1-.(2)函数的最小正周期T=π.(3)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).所以函数的增区间为-(k∈Z),减区间为(k∈Z).(4)y=cos-=cos-=sin 2x.函数的图象可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,即函数的图象可由函数y=cos-,x∈R的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,则φ的值是. 答案-2.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.(2017天津理改编,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f =2, f =0,且f(x)的最小正周期大于2π,则ω=,φ=.答案;2.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin-+sin-,其中0<ω<3.已知f =0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin-+sin-,所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx=-=sin-.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin-,所以g(x)=sin-=sin-.因为x∈-,所以x-∈-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.(2018课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=的最小正周期为.答案π2.(2018天津文改编,6,5分)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,则下列说法正确的是.①所得图象对应的函数在区间-上单调递增②所得图象对应的函数在区间-上单调递减③所得图象对应的函数在区间上单调递增④所得图象对应的函数在区间上单调递减答案①3.(2017课标全国Ⅱ文改编,3,5分)函数f(x)=sin的最小正周期为.答案π4.(2016天津改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是.答案∪5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos--2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时, f(x)≥-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时, f(x)≥-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)≥-时容易忽视x的取值范围.7.(2016山东,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解析(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin-+-1.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是-(k∈Z).或∈(2)由(1)知f(x)=2sin-+-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin-+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,即g(x)=2sin x+-1.所以g=2sin+-1=.方法总结研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.C组教师专用题组1.(2014陕西改编,2,5分)函数f(x)=cos-的最小正周期是.答案π2.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx=sin 2ωx+cos2ωx=sin,(3分)所以f(x)的最小正周期T==.(4分)依题意,=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=sin.函数y=sin x的单调递增区间为-(k∈Z).(8分)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).(13分)易错警示本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x 的系数.评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏盐城高三第一学期期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)-的图象的一个最高点为,其图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则φ=.答案-2.(2019届江苏无锡梅村高中月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴的距离为,则f-的值为.答案3.(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=f(x)=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案4.(2018江苏南师大附中期中,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则f= .答案 15.(2019届江苏南通高三上学期第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=sin的图象向右平移φ个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为.答案6.(2019届江苏苏州第五中学期初)若将函数f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位得到f(x)=sin-的图象,则|ω|的最小值为.答案 47.(2019届江苏海安高级中学上学期第一次月考)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变),得到函数y=f(x)的图象,若函数y=f(x)在区间上有且仅有一个零点,则ω的取值范围为.答案8.(2018江苏如皋高三联考,9)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为4,将函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象关于原点对称,则函数y=f(x)在[0,1]上的值域为.答案二、解答题(共30分)9.(2019届江苏无锡梅村高中月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如图所示.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若x∈-,求函数f(x)的值域.解析(1)易知A=2,=--==,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),又函数图象过点-,∴2sin-=2,又|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x+π≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为--,k∈Z.(2)∵x∈-,∴2x+π∈,∴当2x+=,即x=时, f(x)min=-,当2x+=,即x=-时, f(x)max=2,∴函数f(x)的值域为[-,2].思路分析(1)由函数的图象,可求得函数的解析式为f(x)=2sin,进而可求解函数的单调递增区间;(2)由x∈-,得2x+π∈,利用三角函数的性质,即可求解函数的最大值与最小值,得到函数的值域.10.(2019届江苏常州武进期中)如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点P是图象的一个最高点,点Q是与点P相邻的图象与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的解析式及单调递增区间.解析(1)由题图可知A=2,又T=4-=4π,∴ω==, 则f(x)=2sin,又∵点P是函数图象y=f(x)的一个最高点,则2sin=2,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin-.(2)由(1)得, f(x)=2sin-,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin-的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin-的图象, 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调增区间是-(k∈Z).。
高一数学函数y=Asin(ωx+φ)的各类图像的画法 苏教 必修4
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图像 可以看作是用下面的方法得到的:
1.先把y=sinx的图像上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0)平行移 动| φ|个单位;
2.再把所得各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0< ω<1)到 原来的1/ ω倍(纵坐标不变);
3.再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来 的A倍(横坐标不变).
函数y=sin2x的图像上横坐标为 x0/2(x0∈R)的点的坐标同y=sinx上 横坐标为x0的点的纵坐标相等.
因此,y=sin2x的图像可以看 作是把y=sinx的图像上所有点的
横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐 标不变)而得到的.
类似地,y=sin(x/2)的图像可以看 作是把y=sinx的图像上所有点的横坐
2.正、余弦函数的单调性如何？
y=sinx [-π/2+2kπ , π/2+2kπ ] (k∈z） [π/2+2kπ , 3π/2+2kπ] (k∈z）
单调递增 单调递减
y=cosx [(2k-1) π ,2kπ] [2kπ ,(2k+1）π]
(k∈z） (k∈z）
单调递增 单调递减
函数y=Asin(ωx+φ)的图 像
归纳比
较 函数 与y=sinx的图像的关系
y=2sinx
各点纵坐标伸长为原来的2倍 (横坐标不变)
y=1/2sinx
各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 (横坐标不变)
y=Asinx
（A>0且A≠1)
1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ倍 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍
数学苏教版必修4温故知新133函数Y=Asin(ωxφ)的图象Word版含解析
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
温故知新
新知预习
1.y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)其中A 叫做，T=____________，f=T 1=____________叫做转动的____________.ω在物理上称为角速度.
2.函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 其中(A ＞0,ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点____________（当φ＞0时）或____________（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标____________.（当ω＞1时）或____________（当0＜ω＜1）到原来的
1倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标____________（当A ＞1时）或____________（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.
知识回顾
1.诱导公式（1）至（6）可以概括为k·90°±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余函数值；然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.
这里特别要搞清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.
2.在学习二次函数的时候，知道图象的平移.
y=f(x)
y=f(x+a)y=f(x+a)+b.。
2020年高考江苏版高考数学 第四节 函数y= Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
教材研读 栏目索引
2.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(36))将函数f(x)=cos x图象上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
3
个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=
.
答案
cos 12 x
6
教材研读 栏目索引
解析 将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
总纲目录 栏目索引
教 材 1.“五点法”作图 研 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 读
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考 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 点 突 考点二 三角函数模型的简单应用 破
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1.“五点法”作图
在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点
3
+3
解析 由题图可得AAbb5,1,所以A=2,b=3.
易知 T =3,故T=12,
4
所以ω= 2 = .
12 6
所以f(x)=2sin 6 x φ+3. 由f(1)=5,得2sin 6 φ+3=5,即sin 6 φ=1,
象.
考点突破 栏目索引
探究 若将本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换?
解析
y=2cos
2x=2sin 2x
2
的图象
y=2sin 2x的图象
y=2sin 2x
3
苏教版必修第一册733第1课时函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质(一)课件
问题5 借助多媒体，在同一坐标系下画出 y＝sinx－π3和 y＝sin2x－π3 的函数图象如图所示，你能得到什么？
提示 可以发现，对于同一个 y 值，y＝sin2x－π3的图象上的点的横坐标 总是等于 y＝sinx－π3的图象上的点的横坐标的12，这说明 y＝sin2x－π3的 图象可以看作是把正弦曲线 y＝sinx－π3上所有点的横坐标变为原来的12 倍(纵坐标不变)而得到的.
y＝sin2x－1π0＝sin 2x－2π0，故将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移2π0 个单位长度，可得 y＝sin2x－1π0的图象.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来
的
1 2
x的图象上所有的点向右平移
π 3
个单位长度而得到的.
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响 左 右
例1 函数y＝sinx－π6 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换 而得到的？
函数y＝sinx－π6 的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右
平移
π 6
个单位长度而得到的.
问题3 在同一坐标系下函数 y＝sin2x－π3和 y＝3sin2x－π3的图象如图所 示，问题2的结论还成立吗？
提示 依然成立.
知识梳理
A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 A
例2 函数y＝sin2x－π4图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原 来的___3__倍，将会得到函数 y＝3sin2x－π4 的图象.
反思感悟
在研究ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝
函数y=Asin(ωx+φ)第一课时课件-高一上学期数学苏教版
2 实例·探究
规律总结
1.一般的，函数 y Asin xA 0的定义域为R,值域是- A , A ,
周期是 2.
2. 一般地，函数 y Asin xA 0 的图象，可以看作是把y＝sinx
图象上的所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到.
0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
3 回顾·总结
2.正弦型函数的图象变换
对函数 y Asinx A＞0,＞0 的系数 A,,
的三点说明 (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系.
(2)越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与 为
不变，横坐标变为原来的 1 得到. 2
规律总结
1.一般的，函数 y sin x 0的定义域为R,值域为 -1,1 ,
周期是
2
.
2. 一般地，函数 y sin x 0的图象，可以看作是把函数y=sinx的
图象上的所有点的横坐标缩短(当 1时)或伸长(当 0 1 时)到原来
的 1 倍(纵坐标不变)而得到.
y=sinx图象上的各点向左 ( 0) 或向右 ( 0) 平移 | |个单位而得
到（可简记为左“+”右“-”）.
2 实例·探究
例2 探究函数 y 2sin x 的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周
期内的图象.
解 可以看出，函数 y 2sin x 的定义域为__R_____. 因为 1 sinx 1 ,所以 2 2sin x 2，
y sin 2x
(2)
横坐标不变
纵坐标变为原来的3倍
(3) 向左平移 6 个单位
苏教版数学高一《函数y=Asin(ωxφ)的图象》精品教案
问题4：一般地,函数)sin(ϕω+=x y 的图象与函数x y ωsin =的图象有何关系?
结论4、函数)sin(ϕω+=x A y （其中A>0，0ω>）的图象可以看做是由下面的方法得到的:先画出sin y x =的图象；再把正弦曲线向左（右）平移 个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数sin()y x ωϕ=+的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，这时的曲线就是函数)sin(ϕω+=x A y 的图象.
二、课中研学
例1 若函数)32sin(3π
+=x y 表示一个振动量:
(1)求这个振动的振幅、周期、初相; (2)不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图; ⑶根据函数的简图，写出函数的单调减区间.
方法一:用五点法列表画图
方法二: 周期变换→平移变换→振幅变换
方法三: 平移变换→周期变换→振幅变换
例2.右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中A ＞0，ω＞0的图象，
试确定A 、ω、φ的值，并写出其一个函数解析式．
三、课后整学
①画出函数)32sin(3π
-=x y 的简图.
②函数()f x 的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移
2
π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图象，试求()y f x =的解析式. ③求出函数2cos(3)14y x π=-+图象的对称中心与对称轴方程.
四、教学与测试、测试反馈。
苏教版函数y=Asinωx+φ
苏教版函数y＝Asin（ωx＋φ）1.3.4 函数的解析式一、课题：函数的解析式二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出中的待定系数．三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；2．根据已知条件写出中的待定系数．四、教学过程：（一）复习：由函数的图象到的图象的变换方法：（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：1．根据函数图象求解析式例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知∴，∴，又∵，∴图象上最高点为，∴，即，可取，所以，函数的一个解析式为．2．由已知条件求解析式例2：已知函数（，，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。
解：由题意：，，∴，∴，∴，又∵图象经过点，∴，即，又∵，∴，所以，函数的解析式为．例3：已知函数（，，）的最大值为，最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。
解：，又∵，∴，∴，又∵图象过点，∴，∴，又∵，∴或，所以，函数解析式为或．五、小结：1．由已知函数图象求解析式；2．由已知条件求解析式。
六、作业：补充：1．已知函数（，，）的周期是，最小值是，且图象过点，求这个函数的解析式；2．函数（，，）的最小值是，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是，又图象经过点，求这个函数的解析式。
3．如图为函数（，）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
高考数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书 理 苏教版-苏教版高三全
§4.4 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示.x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0π2π3π2 2πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × )(2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位长度得到的．( √ )(4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × )(5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(2013·某某)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2．(2013·某某改编)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________． 答案 2，－π3解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∴T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3， 即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x 解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos 2x .题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )． 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·某某改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．解 (1)∵最小正周期为π. ∴2πω＝π.即ω＝2.又∵直线x ＝π6是函数图象的一条对称轴，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.又∵A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z .即函数g (x )的单调递增区间是 [k π－π12，k π＋512π]，k ∈Z .三角函数图象与性质的综合问题典例：(14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规X 解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[11分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)．第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.方法与技巧1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 失误与防X1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如：先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的X 围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2013·某某改编)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .2．(2013·某某改编)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安． 答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10 sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值X 围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值X 围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．6.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________． 答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6 (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．9．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·c os π3＝－(12)2＝－14.(2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x )＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14，即cos(2x －π3)<0，于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }．10．(2014·某某)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为(π4，0)则φ的一个可能取值是________．①π12②π6③5π6④π12 答案 ④2．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值分别为________．答案 2，π3解析 因为CD →在x 轴上的投影为π12，又点A (－π6，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为π6＋π12＝π4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ＝2. 又点A (－π6，0)是处于递增区间上的零点，所以2×(－π6)＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π3. 3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π12，5π12)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 答案 12解析 由f (x )的图象可得A ＝1，12T ＝5π12－(－π12)＝π2，所以最小正周期T ＝π＝2πω⇒ω＝2.又f (－π12)＝sin(－π6＋φ)＝0，|φ|<π2，所以φ＝π6.又x 1，x 2∈(－π12，5π12)，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝5π12－π12＝π3，所以f (x 1＋x 2)＝sin(2×π3＋π6)＝12.4．(2014·某某)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)某某验室这一天的最大温差；(2)若要某某验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．5．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，某某数k 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值X 围是(－32，32]∪{－1}.。
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1.3.4 函数sin()y A x ωϕ=+的解析式
一、课题：函数sin()y A x ωϕ=+的解析式
二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；
2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．
三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；
2．根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．
四、教学过程：
（一）复习：由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法： （方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；
（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：
1．根据函数图象求解析式
例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。
又∵0A >
，∴A =
由图知52632
T πππ=-= ∴2T ππω==，∴2ω=， 又∵157()23612
πππ+=，
∴图象上最高点为7(12
π，
7)12πϕ=⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23
ϕ=-， 所以，函数的一个解析式为2)3y x π=-． 2．由已知条件求解析式
例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差
4
π，且图象经过点5(0,)2-，求这 个函数的解析式。
解：由题意：5A =，
24T π=， ∴22T ππω
==， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+，
又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=， 即1cos 2
ϕ=-， 又∵0ϕπ<<， ∴23πϕ=， x
3- 3π 56π 3
O
所以，函数的解析式为25cos(4)3y x π=+． 例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<
）的最大值为
最小值为23π
，且图象过点(0,4
-，求这个函数的解析式。
解：A B A B ⎧+=⎪⎨-+=⎪
⎩2A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 又∵223
T ππω==， ∴3ω=，
∴)y x ϕ=++，
又∵图象过点(0,，
∴ϕ=， ∴1sin 2ϕ=-， 又∵||ϕπ<，∴6πϕ=-或56
πϕ=-，
所以，函数解析式为)262y x π=-+
或5)262
y x π=-+．
五、小结：1．由已知函数图象求解析式；
2．由已知条件求解析式。
六、作业：补充：
1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是
23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；
2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2π
ϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横
坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式。
3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<
，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
x
y O –
–
–
– 5 1 2 1- 2- 1 3。