g3.1064空间向量的坐标运算doc

g3.1064空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则
)
,,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ3
32211b a b a b a ++=⋅
a ∥)(,,332211R
b a b a b a b ∈===⇔λλλλ3
3
2211b a b a b a =
=⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a
2
223
21a a a ++==(
a a =⇒⋅=)
23
222123
22213
32211|
|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b
a b a ++⋅
++++=
⋅⋅>=<
②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α|
|n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.
A
B
二．基础训练：
1． 已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==，则向量a b +与a b -的夹角是 （ ） ()A 90 ()B 60 ()C
30 ()D 0
2．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则||a b -的最小值是 （ ）
5555
3．已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为_____.
4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若c ma nb =+，
则t = ，m n += 。

5．已知向量b 与向量(2,1,2)a =-共线，且满足18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-，
则b = ， k = 。

三．例题分析：
例 1.设向量(3,5,4),(2,1,8)a b =-=，计算23,32,a b a b +-a b ⋅及a 与b 的夹角，并确定当μλ,满足什么关系时，使a b λμ+与z 轴垂直.
例2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，试在棱1B B 上找一点M ，使得1D M ⊥平面1EFB 。

例3．已知(3,2,1),(1,1,1)A B -，O 为坐标原点，
（1）写出一个非零向量c ，使得c ⊥平面AOB ； （2）求线段AB 中点M 及AOB ∆的重心G 的坐标； （3）求AOB ∆的面积。

例4．如图，两个边长为1的正方形ABCD 与ABEF 相交于AB ，90,,EBC M N ∠=分别是,BD AE 上的
点，且AN DM =，
（1）求证：//MN 平面EBC ； （2）求MN 长度的最小值。

四、作业同步练习
g3.1064 空间向量的运用
1．设正六棱锥的底面边长为1
，侧棱长为5，那么它的体积为 （ ）
()A ()B ()C 3 ()D 2
2．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直
线OP 与直线AM 所成的角为 （ ）
()
A 4π ()
B 3π ()
C 2
π
()D 与P 点的位置有关
3．正三棱锥V
ABC -中，1AB =，侧棱,,VA VB VC 两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为
（
）
()
A 2
()B
3
()
C 6
()
D 6
N A B C D E F M
G F E D C 1
B 1
A 1
C
B
A
4．给出下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥； ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是 ( ) ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3
5．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC
∆内，那么O 是ABC ∆的 ( ) ()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心 6．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，
且AB AC ==
，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA
为面的二面角的大小是 ( )
()
A 4
π
()
B 3
π
()
C 2
π
()
D 3
2π 7．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，则长方体的对角线长为
8．三棱锥A BCD -
的高AH =，且H 是底面BCD ∆的垂心，若AB AC =，二面角A BC D --为60，G 为
ABC ∆的重心，则HG 的长为
9．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面边长分别是10AB AC cm ==，12BC cm =，侧棱113AA cm =，顶点1
A 与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．
10．如图正三棱锥111ABC A B C -中，底面边长为a
，若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平面交上底面于1DB 。

（1）试确定D 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面1AB D 与底面所成的角；（3）求1A 到平面1AB D 的距离。

A 1 C 1
B 1
A
B C
图31—5
10、解：（1）D 为11A C 的中点。

连结1A B 与1AB 交于E ，则E 为1A B 的中点，DE 为平面1AB D 与平面11A BC 的交线，∵1BC //平面1AB D ∴1BC //DE ，∴D 为11A C 的中点。

（2）过D 作11DF A B ⊥于F ，由正三棱锥的性质，1,AA DF DF ⊥∴⊥平面1AB ，连结DG ，则DGF ∠为平
面1AB D 与侧面1AB 所成的角的平面角，可求得DF =
，
由111B FG B AA ∆∆，得FG =
，∴4
DGF π∠= ∵D 为11A C 的中点，∴111B D AC ⊥，由正三棱锥的性质，11AA B D ⊥，∴1B D ⊥平面1A C ∴1B D ⊥AD ，∴1A DA ∠是平面1AB D 与上底面所成的角的平面角，可求得
1tan A DA ∠=1A DA ∠arctan =
（3）过1A 作1A M AD ⊥，∵1B D ⊥平面1A C ，∴1B D ⊥1A M ，∴1A M ⊥平面1AB D
即1A M 是1A 到平面1AB D 的距离，2AD a =
，∴1A M 6
a =。