[精品]2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第8章平面解析几何86和答案

(时间：40分钟)
1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，
∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线”的
充分不必要条件，故选A.
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±1
2x
D ．y ＝±2
2
x
答案 B
解析 由离心率为3，可知c
a ＝ 3.又c 2＝a 2＋
b 2，b ＝2a .因此
双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x ，故选B.
3．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( )
A ．4
B.14
C ．－14
D ．－4
答案 C
解析 依题意得m <0，双曲线方程是x 2
－y 2
－
1m
＝1，于是有
－
1m
＝2×1，m ＝－1
4
.
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2
＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3
＝1 答案 A
解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近 线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得
3b a 2＋b
2
＝2，即3b
3＝2，解得b ＝2，则a 2＝32－22＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 2
4
＝1.
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率
的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
答案 C
解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b
a >2，
∴e ＝c
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
>1＋4＝ 5. 6．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦
点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 2
解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|
＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴c
a
＝
2.
7．设双曲线x 2－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双
曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
答案 (27，8)
解析 由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．
8．已知双曲线x 2
4－y 2＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为左支上
一点，且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．
答案
3
解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋n 2－2mn cos60°＝c
2
，
n －m ＝2a ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋n 2
－mn ＝20，m 2＋n 2
－2mn ＝16，
所以mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝1
2
mn sin60°＝ 3.
9．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．
解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b >0)，
由已知可得左、右焦点F 1、F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，
又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 2
3＝1.
(2)由题意可知直线m 方程为y ＝x －2，
联立双曲线及直线方程消去y ，得2x 2＋4x －7＝0， 设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－7
2，
由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋k 2·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝6.
10．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其
中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，
B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．
解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1过点(2,1)，
∴4
a 2－1
b
2＝1. 不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b
2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2， ∴所求双曲线的方程为x 2
2
－y 2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝
kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，
整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km
2k 2－1，①
x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②
∵PA →
·PB →
＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，
∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，
从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，
∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．
∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|
k 2＋1
.
∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k
k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.
(时间：20分钟)
11．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左，右焦点，点M 在E
上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3
，则E 的离心率为( )
A. 2
B.32
C. 3 D ．2
答案 A
解析 ∵sin ∠MF 2F 1＝1
3，∴|MF 2|＝3|MF 1|.
∵2c ＝|MF 2|2－|MF 1|2＝22|MF 1|， ∴c ＝2|MF 1|，
∵2a ＝|MF 2|－|MF 1|，∴a ＝|MF 1|，∴e ＝c
a
＝ 2.故选A.
12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 26－y 2
3
＝1 D.x 25－y 2
4
＝1
答案 B
解析 由已知k AB ＝k FN ＝－15－0
－12－3
＝1.
设E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22
b
2＝1， 则
x 1－x 2
x 1＋x 2
a 2
－
y 1－y 2
y 1＋y 2
b 2
＝0，
而⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，
∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 2
5a 2
＝1， ∴b 2＝5
4a 2.①
又c 2＝a 2＋b 2＝9，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝5， ∴E 的方程为x 24－y 2
5
＝1.
13．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂
直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q ，且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________________．
答案 y ＝±2x
解析 设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，Q (c ，－y 0)，
代入双曲线方程，得y 0＝±b 2
a
，
∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2
a
.
在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，
∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2
a
.
又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)．
∵a >0，b >0，∴b
a
＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .
14．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝1. 所以双曲线C 的方程为x 2
3－y 2＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2＝1中，
整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝
2k 2
＋－3k
2
＝－k
2
，
故k 2≠1
3
且k 2<1.①
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－9
1－3k 2
.
由OA →·OB →
>2，得x A x B ＋y A y B >2.
x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)·x A x B ＋2k (x A
＋x B )＋2＝(k 2
＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋7
3k 2－1
，于是
3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13
<k 2
<3.② 由①②得13
<k 2
<1，
所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫33，1.。