(易错题)高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(有答案解析)

一、选择题
1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为
k 的值是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2-或2
D ．2-或0
2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若
a R ∈，
b R ∈且0ab ≠，则
2
211
a b
+的最小值为（ ） A ．
72
B ．4
C ．1
D ．5
3．若平面上两点()2,0A -，()10
B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．与实数k 的取值有
关
4．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外
B ．点在圆内
C ．点在圆上
D ．不能确定
5．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆22
2:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆
2C 的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．相离
6．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）
A B ．C ．
D ．7．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9
B ．4
C ．
12
D ．
14
8．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且
11
,33
OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上三种情况都有
可能
9．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=
，则实数r 的取值范围为（ ）
A ．(0,
B ．
C ．)+∞
D ．+∞[)
10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和
y 的方程组112
21
1a x b y a x b y +=⎧⎨
+=⎩的解的情况是（ ）
A ．无论12,,k P P 如何，总是无解
B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解
C ．存在12,,k P P ，使1
2
x y =⎧⎨
=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解
12．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()2
2
124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC
的周长为4+k 的值为（ ） A ．
3
2
B ．32
-
C ．32
±
D ．12
±
二、填空题
13．点(,)P x y 是直线30kx y ++=上一动点，,PA PB 是圆22:430C x y y +-+=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则k 的值为______. 14．
直线:=l y kx O:221x y +=相交于,A B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =_______
15．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________
16．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．
17．已知圆C ：()2
234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段
MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．
18．过点P （3，1）作⊙22:(1)1C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则弦AB 的长为___________.
19．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________． 20．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发
射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率
的范围为____________.
三、解答题
21．已知ABC 的顶点()5,1A ，B 的平分线所在直线方程为0x y -=，C ∠的平分线所在直线方程为20x -=. （1）求BC 边所在的直线方程； （2）求B .
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：
221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；
23．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与圆2C ：22210240x y x y +-+-=相交于
A 、
B 两点．
（1）求圆心在直线AB 上且经过A ，B 两点的圆P 的方程及弦AB 所在的直线方程； （2）直线l 经过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为25l 的方程．
24．直线2
1:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.
（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；
（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且22PQ =求直线2l 的方程.
25．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点. （1）求||AB ；
（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求
+1
y
x 的取值范围. 26．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12
. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.
（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程.
（3）若与直线1:l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】
圆2
2
220x y x y k +---=化成标准形式()()22
112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径
r =2k >-；
圆心()1,1到直线100x y +-=的距离
=
=
=d
圆上的点到直线的最大距离为+==d r
=，
解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】
结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当d
r 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；
（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．C
解析：C 【分析】
由题意可知两圆外切，可得出2
2
49a b +=，然后将代数式2211a b +与22
49
a b +相乘，展
开后利用基本不等式可求得2
211
a b
+的最小值. 【详解】
圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()2
24x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为
12r =，
圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2
221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径
为21r =.
由于圆222240x y ax a +++-=和222
4140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，
所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，
所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，
因此，
2
211
a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C 【分析】
首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，
2PA PB =，
=
整理为：()2
2224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r
为半径的圆，
直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线
():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为
2个. 故选：C
【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
4．A
解析：A 【分析】
直线1ax by +=与圆221x y +=||
1<，即为
1>，由此可得点与圆的位置关系．
【详解】
因为直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=有两个公共点，
||
1<，
1>，
因为点(,)b a 与2
2
1x y += 圆2
2
4x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.
5．C
解析：C 【分析】
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系． 【详解】
解：圆22
1:4420C x y x y +---=，22
(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C ，1r =， 圆222:2880C x y x y +++-=，22
(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，
125r r +=，215r r -=
12C C =
=55-<<+，∴两圆相交.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.
6．B
解析：B 【分析】
首先利用题中所给的点N (－1，
，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】
易知NF 的斜率k
NF 的方程为y
(x －1)，
＋y
＝0. 所以M 到NF
.
故选：B. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：
（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；
（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.
7．D
解析：D 【分析】
根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】
将2
2
2440x y x y ++--=化为标准形式：2
2
(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，
故直线过圆心，所以2220a b --+=，
即1a b +=，所以2
124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
（当且仅当12a b ==时取等号），
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.
8．C
解析：C 【分析】
根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为1
3
，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系. 【详解】
因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆2
2
1x y +=上，
根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ， 因为11
,33OA OC OB OC ⋅=
⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13
，如图所示：
所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为1
13
<， 所以直线AB 与圆2
2
1x y +=的位置关系是相交， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意： （1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系； （2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.
9．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】
圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：
112
22
d ++=
=，
且直线20x y ++=不过圆心，
若圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=2， 则有22232r ≥=
所以实数r
的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.
10．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】 由题意112
21
1b ka b ka =+⎧⎨
=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，
∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112
21
1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯
一解．A ，D 错误，B 正确；
若1
2
x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，
即11
22
y x =-
+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，
∴12x y =⎧⎨=⎩
不可能是方程组的一组解，C 错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．
12．A
解析：A 【分析】
先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】
圆C ：()()2
2
124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r
，故ABC
的周长为
4+
24r AB +=+
AB =
又直线与圆相交后的弦心距d =
=
，
故由2
22
2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
得()2
21434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据圆的切线性质可知四边形的面积转化为直角三角形的面积结合最小值可求的值【详解】由于是圆的两条切线是切点所以当最小时四边形的面积最小而的最小值即为到直线的距离又所以故答案为： 解析：2±
【分析】
根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求k 的值. 【详解】
由于,PA PB 是圆()2
2:21C x y +-=的两条切线，,A B 是切点，
所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，而||PC 的最小值即为C 到直线的距离d ，
又d =
所以224 2.k k =⇒=⇒=± 故答案为：2±.
14．【分析】由三角形面积公式可得当时的面积达到最大进而可得圆心到直线的距离即可得解【详解】由圆可得圆心坐标为半径将直线的方程化为因为所以当即时的面积达到最大此时圆心到直线的距离解得故答案为：【点睛】关键
解析：【分析】
由三角形面积公式可得当2
AOB π
∠=时，AOB 的面积达到最大，进而可得圆心到直线
的距离，即可得解. 【详解】
由圆2
2
:1O x y +=可得圆心坐标为()0,0O ,半径1r =，
将直线的方程化为:0l kx y -=， 因为11
sin sin 22
AOB S OA OB AOB AOB =
⋅∠=∠△， 所以当sin 1AOB ∠=即2
AOB π
∠=
时，AOB 的面积达到最大，
此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离22222
1
1
d k k ，
解得k =
故答案为： 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.
15．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即
解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】
当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】
当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得2
5
y x =
，即
250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为
12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92
b =，即直线方程为1
992
x y
+=，即290x y +-=.
故答案为：250x y -=或290x y +-=
【点睛】
讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.
16．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则
解析：1λ=或17
λ=. 【分析】
由三角形面积公式in 1
2
s S ab C =
知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】
圆C 的方程即2
2
(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，
由面积公式2
1sin 2
ABC
S
R ACB =
∠知，当90ACB ∠=时面积最大， 即ABC 为等腰直角三角形，此时
圆心C 到直线:20λλ+-=l x y
的距离为d =
1=
=，解得1λ=或17λ=，
故答案为：1λ=或1
7
λ=. 【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.
17．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆
解析：【分析】
题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等
腰直角三角形，先算出
2
l
==.
【详解】
题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，
由题意知，圆心()3,0C ，半径2r
线段PC 的长为22r = 圆心到直线的距离2
23011
52+1
d -⨯-+== ，
根据图像的对称性可知
2232
l
PC d =-=， 所以线段MN 长度的最大值为23. 故答案为: 23. 【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.
18．【分析】计算出的三边长利用等面积法可求得弦的长【详解】如下图所示：由已知圆半径为由两点间的距离公式得易知为的角平分线且为的中点所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查求圆的弦长解答本题的关键是由圆的 解析：
45
5
【分析】
计算出Rt PAC △的三边长，利用等面积法可求得弦AB 的长. 【详解】 如下图所示：
由已知()3,1P 、()1,0C ，圆C 半径为1r =，AC PA ⊥，BC PB ⊥，
由两点间的距离公式得PC =
=2PA =
=，
易知PC 为APB ∠的角平分线，且PA PB =，PC AB ∴⊥，M ∴为AB 的中点，
所以，22
PA AC
AB AM PC
⋅==
=
=.
【点睛】
关键点睛：本题考查求圆的弦长，解答本题的关键是由圆的几何性质以及圆的切线的几何
性质得出PA PC ，
的大小，然后得出PC 为APB ∠的角平分线，且PA PB =，PC AB ⊥，再利用等面积法求出弦长，属于中档题.
19．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B
解析：x ＋4y －4＝0
【分析】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得
a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．
【详解】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】
本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．
20．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间 解析：()4,+∞
【分析】
先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到
BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，
又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范
围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】
∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为
20x y -+=,
如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,
连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，
连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，
则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,
55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．
∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 4
54615
=-
∴FD 斜率的范围为(4,)+∞
故答案为：(4,)+∞.
【点睛】
本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.
三、解答题
21．（1）23y x =+；（2）4arccos 5
B ∠=. 【分析】
（1）求出点()5,1A 关于直线0x y -=和20x -=对称的点，利用两个对称点都在直线
BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；
（2）联立直线方程求出,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求出ABC 三条边长，再
利用余弦定理即可求得B . 【详解】
（1）作点()5,1A 关于B 的平分线0x y -=的对称点()11,5A ， 作点()5,1A 关于C ∠的平分线20x -=的对称点()21,1A -， 由题意得B ，1A ，2A ，C 四点共线， 所以直线BC 的方程为51
1(1)11
y x --=
++，即23y x =+； （2）由023x y y x -=⎧⎨=+⎩得()3,3B --，由20
23x y x -=⎧⎨=+⎩
得()2,7C ，
又()5,1A ，
所以AB =
=
AC ==
BC =
=
由余弦定理得2224
cos
25
AB BC AC B AB BC +-=
==⨯， 所以4arccos 5
B ∠=. 【点睛】
关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得BA 与BC 关于直线0x y -=对称，CB 与CA 关于直线20x -=对称，所以点()5,1A 关于直线
0x y -=，20x -=对称的点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；第二问
求角B 要想到利用余弦定理，因此需要求,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.
22．（1）()()2
2
611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=. 【分析】
（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得
01y =，即可得解；
（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】
圆M 的标准方程为()()2
2
6725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，
（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，
所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =， 因此，圆N 的标准方程为()()2
2
611x y -+-=；
（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40
220
-=-， 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，
则圆心M 到直线l 的距离d =
=
，
因为BC OA ===，而2
2
22BC MC d ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
所以()2
52555
m +=
+，解得5m =或15m =-，
故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用. 23．（1）240x y -+=；()()2
2
215x y ++-=；（2）240x y -+=或
112160x y --=．
【分析】
（1）由已知两圆方程，可得相交弦AB 所在直线的方程，再与其中一圆的方程联立求交点A 、B 坐标，由题意圆P 是以AB 为直径，其中点为圆心的圆，写出圆P 的方程即可.
（2）由直线l 过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为1C 到直线l 的距离，再讨论直线l 斜率，判断定点1C 到直线l 的距离是否符合要求，进而求直线的方程. 【详解】
（1）由2222
2280
210240x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+-+-=⎩
， ()2222228210240x y x y x y x y +++--+-+-=，即弦AB 所在的直线方程
240x y -+=．
∴24x y =-，代入圆的方程式，解得40x y =-⎧⎨=⎩或0
2
x y =⎧⎨
=⎩. ∴A ，B 两点的坐标分别为()4,-0，()0,2，中点坐标为()2,1P -，则圆P 的半径
r PB ==
=
∴圆的方程为()()2
2
215x y ++-=．
（2）圆1C ：222280x y x y +++-=方程化为：()()22
1110x y +++= ∴()
11,1C --，半径r =，直线被圆所截得的弦长l =
∴弦心距
d =
= 若直线l 的斜率不存在，圆心()11,1C --到直线l ：2x =的距离为3，不合题意． ∴直线l 的斜率存在，设为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=
圆心()11,1C --到直线l =，即
2424110k k -+=，解得12
k =
或11
2k =，即有()1322y x -=-或()11322y x -=-，
故直线l 的方程为240x y -+=或112160x y --=．
【点睛】 关键点点睛：
（1）由已知两圆的方程求相交弦直线方程，只需将两圆方程左右两边同时相减即可得到，再由直线与圆的关系求交点坐标，写出圆的方程.
（2）由直线过定点，且已知与圆的相交弦长，即可得弦心距，讨论直线存在与否，保证弦心距符合要求，确定直线方程.
24．（1）0a =或1a =-（2）10x y -+= 【分析】
（1）根据两条直线平行的条件列式解得结果即可得解；
（2）设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，利用弦长求出d ，根据圆心到直线的距离求出
d ，由此可求出a ，再根据圆心C 在直线2l 的左上方，舍去一个值，从而可得直线2l 的方
程. 【详解】
（1）由直线1l 与2l 垂直得20a a +=，解得0a =或1a =-； （2）圆22:650C x y y +-+=的圆心(0,3)C ，半径为2，
设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，则d ==
又
d ==，所以27610a a +-=，所以17
a =或1a =-，
当1
7a =
时，21:107
l x y ++=，由0x =得73y =-<，此时圆心C 在直线2l 的右上方，不符合题意；
当1a =-时，2:10l x y -+=，由0x =得1y =3<，此时圆心C 在直线2l 的左上方；
故直线2l 的方程为：10x y -+= 【点睛】
结论点睛：根据两条直线的位置关系求参数的结论：若1111:0l A x B y C ++=，
2222:0l A x B y C ++=，11,A B 不同为0，22,A B 不同为0，
①若12l l //，则12210A B A B -=且12210AC A C -≠或12210B C B C -≠；
②若12l l ⊥，则12120A A B B +=.
25．（1
；（2
）44⎡-⎢⎣⎦
. 【分析】
（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d
，由
||AB =.
（2）利用+1
y
x 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】
（1）()2
22243021x y x x y +-+=⇒-+=，
所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=
的距离：
2
d =
=
，所以||AB ===
（2）
+1
y
x 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，
当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1y
k y k x x =
=-=，，可得
2
2
91k k =+，2
18k =
，4k =±，所以，+1y x
的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦
. 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1
y
x 的取值范围
26．（1）224x y +=；（2）2340x y +-=；（3）(2,0)(0,2)-
【分析】
（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1
||2
EA EB =，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）连接OG ，OM ，求出以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程，再跟圆C 求公共弦，即切点弦方程；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用根与系数的关系可得
P ，Q 两点横坐标的和与积，结合POQ ∠为钝角，得0OP OQ <，即12120x x y y +<，
从而可得直线l 的纵截距的取值范围． 【详解】
解：（1）设点E 点坐标为(),x y ，则
||1
||2
EA EB = 得2222
(1)1
(4)4
x y x y -+=-+ 整理得：2
2
33120x y +-= 曲线C 的方程是2
2
4x y +=.
（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，
连接OG ，OM ，由题意知22||2313OG =+=，22||3GM OG OM =-=，
∴以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程为22(2)(3)9x y -+-=①，
又圆C 的方程为2
2
4x y +=②，
由①-②得直线MN 的方程是2340x y +-=；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立22
4x y +=
得：222240x bx b -+-=，
设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y 由(
)
2
2
(2)840b b ∆=--->，得28b <，
12x x b +=.2124
2
b x x -⋅=
因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<，
即12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，
又11y x b =-+，22y x b =-+，
所以()2
1212121220x x y y x x b x x b +=-++< 12x x b +=，21242
b x x -= 222121240x x y y b b b +=--+<
得24b <，即22b -<<，
当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，对于过圆222()()x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．。