2021-2022学年福建省福州市台江区华伦中学八年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是()
A. 七边形
B. 八边形
C. 九边形
D. 十边形
3.下列运算正确的是()
A. (2x2)3=6x6
B. x6÷x3=x2
C. 3x2−x2=3
D. x⋅x4=x5
4.在平面直角坐标系中，点A(−1,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是()
A. (−1,−3)
B. (−1,3)
C. (1,3)
D. (1,−3)
5.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用
两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并
且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA
的角平分线．”他这样做的依据是()
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线
上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
6.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍然
不能判定△ABC≌△ADC的是()
A. CB=CD
B. ∠B=∠D=90°
C. ∠BAC=∠DAC
D. ∠BCA=∠DCA
7.如图，∠ACD=120°，AB=BC=CD，则∠A等于()
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
8.等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为()
A. 12
B. 9
C. 9或12
D. 10或12
9.把4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方
式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面
积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1=2S2，则a、b满足
()
A. 2a=5b
B. 2a=3b
C. a=3b
D. a=2b
10.如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，
点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，
则△AEF周长的最小值是()
A. 1
2a+2
3
b
B. 1
2
a+b
C. a+1
2
b
D. 3
2
a
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.当(a−1
3
)0=1时，a的取值范围是______．
12.如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2−
∠1=______°.
13.如果x2−kxy+16y2是一个完全平方公式展开后的结果，那么常数k的值为
______ ．
14.如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则
∠BCO的度数是______．
15.已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB=4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，
且∠EOF=120°，若AF=1，则BE的长______．
16.已知6x=192，32y=192，则(−2)(x−1)(y−1)+2的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17.分解因式：
(1)2x2y−8xy+8y；
(2)(a+b)−a2(a+b)．
18.先化简，再求值：(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中x=−1，y=1
．
2
19.如图，点A，D，B在同一直线上，AC=BD，AB=DE，
∠C=∠DFB.试说明：△DEB≌△ABC．
20.求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半．
21.△ABC的三边a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
22.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D是边AB
的中点．
(1)求作一点E，使得点E与点D关于AC对称；(要求：
尺规作图，保留痕迹，不写作法)
(2)连接CE，请写出线段CE、BD之间的关系，并证明．
23.阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，(a+2)(b+2)等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2−2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①a2b2②a2−b2③1
a +1
b
④a2b+ab2中，属于对称式的是______(填序
号)
(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n．
①若m=2，n=−4，求对称式a2+b2的值
②若m=−4，求对称式b
a +a
b
的最大值；
24.在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=α，∠ADC=180°−α．
(1)若α=90°时，直接写出CD与CB的数量关系为______；
(2)如图1，当α≠90°时，(1)中结论是否还成立，说明理由；
(3)如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM=AD，求CM
的值．
DO
25.同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．
(1)如图1，以等边△ABC的边BC为腰作等腰直角△BCD，其中∠DBC=90°，BD=
CB，点D，点A都在BC同侧，延长BD、CA交于点M、连接AD，求∠MAD的度数．
(2)如图2，在(1)的条件下，作BN平分∠DBC交AC于点N，求证：MD=CN；
(3)如图3，将图(1)的△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，连接AD1，P为AD1中点，连
接BP并延长交CD1于点Q、请猜测CQ、BP、PQ三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：多边形的边数是：n=360°÷(180°−135°)=8．
故选：B．
已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
3.【答案】D
【解析】解：A、结果是8x6，故本选项错误；
B、结果是x3，故本选项错误；
C、结果是2x2，故本选项错误；
D、结果是x5，故本选项正确；
故选：D．
根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法、乘法，合并同类项法则分别求出每个式子的值，再进行判断即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法、乘法，合并同类项法则的应用，能
正确根据法则求出每个式子的值是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A的坐标是(−1,3)，点A与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是：(−1,−3)．
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB．
【解答】
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC；
B、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC；
C、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC；
D、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，
故选：D．
要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∴∠DBC=2∠A，
∵BC=CD，
∴∠D=∠DBC=2∠A，
∵∠ACD=120°，
∴∠A+∠D=∠A+2∠A=180°−120°=60°，
∴∠A=20°，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①当2为底时，三角形的三边分别为2、5、5，
因为2+5>5，
所以可以构成三角形，
周长为=2+5+5=12；
②当2为腰时，三角形的三边分别为2、2、5，
因为2+2<5，
所以不能构成三角形，故舍去．
综上所述，三角形的周长为12，
故选：A．
因为等腰三角形的两边分别为2和5，没有明确底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在条件中没有明确底和腰时，需进行分类讨论是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
先用a、b的代数式分别表示S1=a2+2b2，S2=2ab−b2，再根据S1=2S2，得a2+ 2b2=2(2ab−b2)，整理，得(a−2b)2=0，所以a=2b．
【解答】
解：S1=1
2b(a+b)×2+1
2
ab×2+(a−b)2=a2+2b2，
S2=(a+b)2−S1=(a+b)2−(a2+2b2)=2ab−b2，∵S1=2S2，
∴a2+2b2=2(2ab−b2)，
整理，得(a−2b)2=0，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：如图，∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，
∴AB =AC =a ，AD =AE ，∠BAC =
∠DAE =∠ABC =60°，
∴∠BAD =∠CAE ，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD =∠ACE ，
∵AF =CF =12a ，BF =b ，
∴∠ABD =∠CBD =∠ACE =30°，BF ⊥AC ，
∴点E 在射线CE 上运动(∠ACE =30°)，
作点A 关于直线CE 的对称点M ，连接FM 交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA =CM ，∠ACM =60°，
∴△ACM 是等边三角形，
∴AM =AC ，
∵BF ⊥AC ，
∴FM =BF =b ，
∴△AEF 周长的最小值=AF +FE′+AE′=AF +FM =12a +b ，
故选：B ．
首先证明点E 在射线CE 上运动(∠ACE =30°)，作点A 关于直线CE 的对称点M ，连接FM 交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E 在射线CE 上运动(∠ACE =30°)，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
11.【答案】a ≠1
3
【解析】解：当(a −13)0=1时，a 的取值范围是：a ≠13．
故答案为：a ≠13．
直接利用零指数幂的定义分析得出答案．
此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握定义是解题关键．
12.【答案】90
【解析】解：如图所示：
由图可知△ACD与△ECD全等，
∴∠BAC=∠2，
∴∠2−∠1=90°，
故答案为：90．
连接AC，利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
13.【答案】8或−8
【解析】解：∵x2−kxy+16y2是一个完全平方公式展开后的结果，
∴−kxy=±2⋅x⋅4y，
解得：k=±8，
故答案为：8或−8．
根据完全平方式得出−kx=±2⋅x⋅4y，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：a2+ 2ab+b2和a2−2ab+b2．
14.【答案】10°
【解析】解：连接OA、OB，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=80°，
∴∠OBC+∠OCB=100°−80°=20°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=10°，
故答案为：10°．
连接OA、OB，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】3或1
【解析】解：当F在线段DA的延长线上，如图1，作OM//AB交AD于M，
∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB=2，∠D=∠ABD=60°，
∴△ODM为等边三角形，
∴OM=MD=2，∠OMD=60°，
∴FM=FA+AM=3，∠FMO=∠BOM=120°，
∵∠EOF=120°，
∴∠BOE=∠FOM，
而∠EBO=180°−∠ABD=120°，
∴△OMF≌△OBE，
∴BE=MF=3；
当F点在线段AD上，如图2，
同理可证明△OMF≌△OBE，
则BE=MF=AM−AF=2−1=1．
故答案为：3或1．
讨论：当F在线段DA的延长线上；当F点在线段AB上，作OM//AB交AD于M，利用等边三角形性质可证出△OMF≌△OBE，则BE=MF，然后分别计算FM即可．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了等边三角形的判定与性质．
16.【答案】−8
【解析】解：∵6x=192，32y=192，
∴6x=192=32×6，
32y=192=32×6，
∴6x−1=32，32y−1=6，
∴(6x−1)y−1=6，
∴6(x−1)(y−1)=6，
∴(x−1)(y−1)=1，
∴原式=(−2)3=−8，
故答案为：−8．
根据条件得6x=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x−1=32，32y−1=6，推出(6x−1)y−1=6，推出(x−1)(y−1)=1，代入代数式求值即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握(a m)n=a mn是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2x2y−8xy+8y
=2y(x2−4x+4)
=2y(x−2)2；
(2)(a+b)−a2(a+b)
=(a+b)(1−a2)
=(a+b)(1−a)(1+a)．
【解析】(1)直接提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接提取公因式(a+b)，再结合平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
18.【答案】解：(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy
=x2−y2−(2x2−4y2)
=x2−y2−2x2+4y2
=−x2+3y2，
当x=−1,y=1
2时，原式=−(−1)2+3×(1
2
)2=−1+3
4
=−1
4
．
【解析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵∠C=∠DFB，
∴AC//DE，
∴∠A=∠BDE，
在△ABC与△DEB中，
{AC=BD
∠A=∠BDE AB=DE
，
∴△ABC≌△DEB(SAS)．
【解析】根据平行线的判定得出AC//DE，进而利用平行线的性质得出∠A=∠BDE，进而利用SAS证明三角形全等即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20.【答案】
已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求证：BC=1
2
AB．
证明：
证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=1
2AB，即BC=1
2
AB．
证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD=1
2
AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=1
2AB，即BC=1
2
AB．
证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°−∠DCB=90°−60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=1
2
AB，
∴BC=1
2
AB．
证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=DA=1
2AB，即BC=1
2
AB．
【解析】首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．
此题考查了直角三角形性质的证明过程，能够熟练运用等边三角形的判定和性质进行证明．
21.【答案】解：∵a2−b2−ac+bc=0，
∴(a+b)(a−b)−c(a−b)=0．
∴(a−b)(a+b−c)=0．
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b>c．
∴a+b−c>0．
∴a−b=0．
∴a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】将等式左边因式分解，根据两数相乘等于0的特性可以得出结论．
本题主要考查了因式分解的应用，将等式左边因式分解化成整式乘积等于0的形式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，点E为所作；
(2)CE=BD，CE//BD．
理由如下：连接CD，如图，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠B=45°，
∵点D是边AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ACE=∠ACD=45°，CE=CD，
∴CD⊥CE，
∴CE//BD，CE=BD．
【解析】(1)过D点作AC的垂线，然后画出点E，使E点和D点到AC的距离相等；
(2)连接CD，如图，利用等腰直角三角形的性质得到CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，再利用对称的性质得到∠ACE=∠ACD=45°，CE=CD，则CD⊥CE，从而得到CE//BD，CE=BD．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了等腰直角三角形的性质．
23.【答案】①③④
【解析】解：(1)根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，
故答案为：①③④，
(2)①∵(x+a)(x+b)=x2+mx+n．
∴m=a+b，n=ab，
①当m=2，n=−4时，即∴a+b=2，ab=−4，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=4+8=12，
②当m=−4时，即a+b=−4
设S=ab=a(−4−a)=−a2−4a，
当a=−−4
2×(−1)
=−2时，S最小，即ab最小，
b a +
a
b
=
a2+b2
ab
=
(a+b)2−2ab
ab
当ab最小时，代数式b
a +a
b
的值最大，此时a=−2，b=−2，
∴b
a +a
b
=1+1=2．
答：代数式b
a +a
b
的最大值为2．
(1)根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.则m=a+b，n=ab，①m=2，n=4，利用整式变形可求出a2+b2的值，②m=4时，即a+b=4，可以求出ab的最小值，进而得出
式b
a +a
b
的最大值；
考查“新定义”的意义、整式、分式的化简求值以及二次函数的最值的求法等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．
24.【答案】CD=CB
【解析】解：(1)当α=90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD=CB，故答案为：CD=CB；
(2)仍然有CD=CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB=∠CFD=90°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，∠ADC=180°−a，
∴∠CDF=α=∠ABC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∴△CDF≌△CBE(AAS)，
∴CD=CB；
(3)延长DO至点N，使ON=DO，连接AN，
∵AO=OC，∠AON=∠COD，
∴△AON≌△COD(SAS)，
∴∠N=∠CDO，AN=CD=CB，
∴CD//AN，
∴DAN+∠ADC=180°，
∴∠DAN=180°−∠ADC=α=∠B，
又∵AD=BM，
∴△AND≌△BCM(SAS)，
∴CM=DN=2DO，
=2．
∴CM
DO
(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；
(2)过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，利用角平分线的性质可得CE= CF，再证明△CDF≌△CBE(AAS)，从而证明结论；
(3)延长DO至点N，使ON=DO，连接AN，首先利用SAS证明△AON≌△COD，得∠N=∠CDO，AN=CD=CB，再证明△AND≌△BCM(SAS)，得CM=DN=2DO，即可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠DBC=90°，BD=CB，
∴∠ABM=∠M=30°，BD=AB，
∴∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠MAD=180°−∠BAC−∠BAD=45°；
(2)如图2，连接DN，
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN=45°，∴∠BNC=75°，
在△DBN和△CBN中，
{BD=BC
∠DBN=∠CBN BN=BN
，
∴△DBN≌△CBN(SAS)，
∴CN=DN，∠DNB=∠CNB=75°，
∴∠DNM=30°=∠M，
∴DM=DN，
∴DM=CN；
(3)PQ=BP+CQ，理由如下：
如图3，延长QB使EB=CQ，连接AQ，AE，
∵将△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，
∴BC=D1B，∠CBD1=90°，
∴AB =BD 1，∠ABD 1=150°，
∵P 为AD 1中点，
∴BP 是AD 1的垂直平分线，∠ABP =75°，
∴AQ =D 1Q ，∠ABE =105°，BP ⊥AD 1，
∵∠ACQ =∠ACB +∠BCQ =75°，
∴∠ACQ =105°=∠ABE ，
又∵AB =AC ，CQ =BE ，
∴△ABE≌△ACQ(SAS)，
∴AE =AQ ，
在Rt △APE 和Rt △D 1PQ 中，
{AE =D 1Q AP =D 1P
， ∴Rt △APE≌Rt △D 1PQ(HL)，
∴PQ =EP ，
∴PQ =BP +EB =BP +CQ ．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得AB =AC =BC ，∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，由余角的性质可得∠ABM =∠M =30°，BD =AB ，由等腰三角形的性质可得∠BDA =∠BAD =75°，即可求解；
(2)由“SAS ”可证△DBN≌△CBN ，可得CN =DN ，∠DNB =∠CNB =75°，可证DM =DN =CN ；
(3)延长QB 使EB =CQ ，连接AQ ，
AE ，由“SAS ”可证△ABE≌△ACQ ，可得AE =AQ ，由“HL ”可证Rt △APE≌Rt △D 1PQ ，可得PQ =EP ，可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。