辽阳县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

辽阳县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．
已知向量=（1
，
），=
（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B
．
C
．
tan35°
D ．tan35°
2． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 11
3． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”，已知函数f （x ）
=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）
A ． C ． D
．
4．
为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x 的图象（ ）
A
．向右平移个单位长度 B
．向左平移个单位长度 C
．向右平移
个单位长度
D
．向左平移
个单位长度
5． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 6． 已知P （x ，y ）
为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．
2
7． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ）
A ．[﹣6，2]
B ．[﹣6，0）∪（ 0，2]
C ．[﹣2，0）∪（ 0，6]
D ．（0，2]
8． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 9． 设函数
y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π
，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π
，
D ．T=2π，A=2
10．有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
11．下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
12．已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知直线l 的参数方程是
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ+6sin θ，则曲线C 上到
直线l 的距离为4的点个数有 个．
14．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g
（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
16．幂函数1
22
2)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．
17．椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
18．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=（ax 2+x ﹣1）e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性
（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．
21．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=﹣．
（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．
22．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力. 23．
19．已知函数f （x ）
=ln ．
24．若函数f （x ）=sin ωxcos ω
x+
sin 2ωx ﹣
（ω＞0）的图象与直线y=m （m 为常数）相切，并且切点的横
坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．
辽阳县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵a n=29﹣n，
∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=
∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确
T3=221，T17=20，故B不正确
T5=230，T12=230，故C正确
T8=236，T11=233，故D不正确
故选C
3．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
4．【答案】A
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
6．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
7．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
9．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
10．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
11．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
12．【答案】D
【解析】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；
反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．
∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
故选D．
二、填空题
13．【答案】2
【解析】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，
由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ，即x2+y2=8x+6y，
化为标准式得（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l的距离是，
故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14．【答案】4．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
15．【答案】1．
【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，
∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
16．【答案】
【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x R αα=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数()y x R αα=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 17．【答案】 20 ．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
18．【答案】 ．
【解析】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，）或（﹣c ，﹣），
∵∠F 1PF 2=60°，
∴
=
， 即2ac=b 2
=
（a 2﹣c 2
）．
∴e 2+2e ﹣=0，
∴e=
或e=﹣
（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f （x ）=（x ﹣1）e x ，f ′（x ）=e x +（x ﹣1）e x =xe x
，
∴曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为k=f （1）=e ．
又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1），
即．ex﹣y﹣4=0
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x，
①若a=﹣，f′（x）=﹣x2e x≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），
②若a＜﹣，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＜0；
当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．
（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x2+x﹣1）e x在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1，
由，得g′（x）=2x2+2x．
当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故g（x）在x=﹣1处取得极大值，
在x=0处取得极小值g（0）=m，
∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，
∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a，
由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1，
即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，
解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意．
故a=1，b=﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0；
③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．
综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；
0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；
a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．
（Ⅲ）f′（x0）=﹣a=﹣a，
直线AB的斜率为k===﹣a，
f′（x0）＜k⇔＜，
即x2﹣x1＜ln[λx1+（1﹣λ）x2]，
即为﹣1＜ln[λ+（1﹣λ）]，
令t=＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，
即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立，
令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1，
①当0＜λ时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=，
令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，
φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，
当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0，
故当t＞1时，g′（t）＜0，
则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意；
②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0，
解得1＜t＜，
当t∈（1，），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，）递增，φ（t）＞φ（1）=0；
当t∈（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，）递增，g（t）＞g（1）=0，
则有当t∈（1，），g（t）＞0不合题意．
即有0＜λ≤．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），
∴f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=（1﹣cos2x）+sin2x﹣=﹣cos2x+sin2x﹣=sin
（2x﹣），
∴函数的周期为T==π，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），
当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．
22．【答案】（1）
1
n
a
n
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
23．【答案】 【解析】解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴设x ＞0，则﹣x ＜0， ∴f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣mx=﹣f （x ）=﹣（﹣x 2
+2x ）
从而m=2．
（2）由f （x ）的图象知，若函数f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上单调递增，
则﹣1≤a ﹣2≤1 ∴1≤a ≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin ωxcos ωx+
sin 2
ωx ﹣
=ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣），
依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=，
∴ω=1，则m=±1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴，
∴．
又∵x∈[0，2π]，
∴．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为．
【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．。