内蒙古高三高中数学月考试卷带答案解析

内蒙古高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数为纯虚数，则实数（）
A．2B．C．D．
2.已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
3.方程的实数解所在区间为（）
A．B．C．D．
4.函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图象与轴交点的纵坐标为（）
A．B．C．D．
5.如图的程序框图输出的结果为（）
A．62B．126C．254D．510
6.已知双曲线的左右焦点分别是，设是双曲线右支上一点，在上投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
7.某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为（）
A B. C. 6 D. 4
8.已知向量，,若，则的值为
（）
A．B．C．D．
9.已知，且函数在处有极值，则的最大值等于（）
A．B．3C．6D．9
10.已知等差数列的公差为，若其前13项和，则（）
A．36B．39C．42D．45
11.在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为（）
A．B．C．D．
12.函数满足且时，，则的零点个数为（）A．B．3C． 4D．5
二、填空题
1.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的用电量（单位：），将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下．直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为，该乡镇月均用电
量在 39（）之内的居民共有_____户．
2.不等式组表示的平面区域内到直线的距离最远的点的坐标为___．
3.在中，角所对的边分别为，已知，，则__________
4.正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为__________
三、解答题
1.正项数列前项和满足且成等比数列，求．
2.在三棱柱中，侧面为矩形，，为的中点，与交于点，
侧面．
(1)证明：;
(2)若，求三棱柱的体积．
3.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且，点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的
方程．
4.已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值．
5.如图，四边形是☉的内接四边形，不经过点，平分，经过点的直线分别交
的延长线于点，且，证明：
（1）∽；
（2）是☉的切线.
6.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线的方程为，又与的交点为，与的除极点外的另一个交点为，当时，．
（1）求的普通方程，的直角坐标方程；
（2）设与轴正半轴的交点为，当时，求直线的参数方程.
7.设对于任意实数，不等式恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值时，解关于的不等式：．
内蒙古高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.复数为纯虚数，则实数（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】因为复数为纯虚数，那么可知为纯虚数，可知那么答案
为A.
【考点】复数的运算
点评：主要是考查了复数的概念的运用，属于基础题。

2.已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，由于集合，,那么根据数轴标根法可知，，故答案为C
【考点】交集
点评：主要是考查了集合的基本运算，属于基础题。

3.方程的实数解所在区间为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令f（x）=2x+x-4，本题即求函数f（x）的零点所在的区间，再根据函数的零点的判定定理求得结果解：令f（x）=2x+x-4，方程2x+x-4=0的实数根就是函数f（x）=2x+x-4的零点，又f（1）=2+1-4=-1＜0，f（2）
=4+2-4=2＞0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（1，2），故方程2x+x-4=0的实数根所在的区间为（1，2），故选B．
【考点】函数的零点
点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．
4.函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图象与轴交点的纵坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，利用正弦函数的单调性可求得y=sin（ωx+φ）的解析式，从而可求得此函数图象与y轴交点的
纵坐标．解：∵函数y=sin（ωx+φ）在区间上单调递减，且函数值从1减小到-1，∴
∴T=π，又T=∴ω=2又sin（2×+φ）=1，∴+φ=2kπ+，k∈Z．∴φ=2kπ+，k∈Z．∵|φ|＜，
∴φ=
∴y=sin （2x+
），令x=0，有y=sin
=
∴此函数图象与y 轴交点的纵坐标为
故选A ．
【考点】三角函数图像
点评：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ的值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．
5.如图的程序框图输出的结果为（ ）
A ．62
B ．126
C ．254
D ．510
【答案】D
【解析】本程序框图描述的是21+22+...+28的运算，由此能求出结果．解：程序框图是循环结构，由程序框图知： 21+22+ (28)
=29-2=510．故答案为：D
【考点】程序框图
点评：本题以程序框图为载体，考查等比数列的前n 项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
6.已知双曲线的左右焦点分别是
，设
是双曲线右支上一点，
在
上投影的
大小恰好为，且它们的夹角为
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】解：∵
在
上的投影的大小恰好为
∴PF 1⊥PF 2,且它们的夹角为
，∴∠PF 1F 2=
∴在直角三角形PF 1F 2中，F 1F 2=2c ，∴PF 2=c ，PF 1= c,又根据双曲线的定义得：PF 1-PF 2=2a ，∴c-c=2a,∴ c:a=,e=故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a ，c 的关系从而求出离心率．
7.某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，，两条虚
线互相垂直，则该几何体的体积为（ ）
A
B.
C. 6
D. 4
【答案】A
【解析】根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥,其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1,∴原几何体的体
积为V=2×2×2-×2×2×1=故选A
【考点】三视图
点评：本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系．属简单题
8.已知向量，,若，则的值为
（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，由于向量，,若，那么共
线且反向，那么则有，则=，选B.
【考点】向量的数量积
点评：主要是考查了向量的概念和数量积的运算，属于基础题。

9.已知，且函数在处有极值，则的最大值等于（）
A．B．3C．6D．9
【答案】D
【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最大值。

解：由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b，∵在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）
2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9，故答案为D
【考点】基本不等式
点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等．
10.已知等差数列的公差为，若其前13项和，则（）
A．36B．39C．42D．45
【答案】D
【解析】根据题意，由于等差数列的公差为，若其前13项和，而对于
，D
【考点】等差数列
点评：主要是考查了等差数列的等差中项性质以及求和的运用，属于基础题。

11.在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解不等式1≤log
2
x≤2，可得2≤x≤4，以长度为测度，即可求在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足
不等式1≤log
2x≤2的概率解：本题属于几何概型,解不等式1≤log
2
x≤2，可得2≤x≤4，∴在区间[0，9]上随机取一实
数x，该实数x满足不等式1≤log
2
x≤2的概率为故答案为B
【考点】几何概型
点评：本题考查几何概型，解题的关键是解不等式，确定其测度
12.函数满足且时，，则的零点个数为（）A．B．3C． 4D．5
【答案】C
【解析】根据题意，由于函数满足，则说明周期为2，且时，，那么
可知函数图象，的零点问题转化为利用，与y=交点问题来处理得到，故可知时有交点，可知交点个数为4个，选C.
【考点】函数零点
点评：主要是考查了函数的周期性以及函数零点的运用，属于基础题。

二、填空题
1.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的用电量（单位：），将所得
数据整理后，画出频率分布直方图如下．直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为，该乡镇月均用电
量在 39（）之内的居民共有_____户．
【答案】125
【解析】解：设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P，2P，3P．由直方图可知，最后两个小矩形的面积
之和为（0.0875+0.0375）×2=0.25．…）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P+2P+3P=0.75，即
P=0.125．则2p=0.25,那么可知月均用电量在 39（）之内的居民共有0.25
【考点】频率分布直方图
点评：本题考查频率分布直方图中，小矩形的面积即频率等于纵坐标乘以组距；各小矩形的面积之和为1；直方图
中中位数左右两边的矩形的面积相等，属于基础题
2.不等式组表示的平面区域内到直线的距离最远的点的坐标为___．
【答案】
【解析】根据题意，可知不等式组表示的平面区域内为三角形，那么根据点到直线的距离为最小值，
那么可知当过点（-1，0）时，该点到直线的距离最远，因此可知答案为（-1，0）。

【考点】点到直线的距离
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
3.在中，角所对的边分别为，已知，，则__________
【答案】
【解析】根据题意，由于中，角所对的边分别为，已知，，
则有,那么可知
【考点】解三角形
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。

4.正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外
接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为__________
【答案】
【解析】正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正
方体外接球所得的截面圆的半径为，且锥体的母线长为因此可知圆锥的表面积为，故答案
为。

【考点】圆锥的表面积，球体
点评：主要是考查了简单组合体的表面积的求解， 属于中档题。

三、解答题
1.正项数列
前项和
满足
且
成等比数列，求
．
【答案】
【解析】由已知中前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6，令n=1，我们可以求出a 1，根据a n =S n -S n-1，我可可以得到a n 与a n-1的关系式，结合a 1，a 3，a 15成等比数列，我们分类讨论后，即可得到满足条件的a 1及a n 与a n-1的关系，进而求出数列{a n }的通项a n ．解：∵10S n =a n 2+5a n +6，① ∴10a 1=a 12+5a 1+6， 解之得a 1=2或a 1=3．
又10S n-1=a n-12+5a n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a n =（a n 2-a n-12）+5（a n -a n-1）， 即（a n +a n-1）（a n -a n-1-5）=0
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1="5" （n≥2）．
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1，a 3，a 15不成 等比数列∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有 a 32=a 1a 15， ∴a 1=2，∴a n =5n-3． 【考点】数列的通项公式
点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，数列的函数特征，其中在已知中包含有S n 的表达式，求通项a n 时，a n =S n -S n-1（n≥2）是最常用的办法．
2.在三棱柱中，侧面为矩形，，为的中点，与交于点，
侧面．
(1)证明：; (2)若
，求三棱柱
的体积．
【答案】（1）结合平面中相似三角形来得到,
,进而得到。

（2）
【解析】（1）根据题意，由于在三棱柱中，侧面为矩形，，为的中点，与
交于点
，
侧面，那么在底面
Z 中，利用相似三角形可知，
,
,进而得到
,则可知
;
（2）如果
，那么利用
，
为
的中点，勾股定理可知,根据柱体的高，
以及底面积可知三棱柱
的体积．
【考点】三棱柱的体积
点评：本题以三棱柱为载体，考查线线垂直，考查三棱柱的体积，解题的关键是利用转换底面的方法求三棱柱的体积
3.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为
，且
，点
在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程； （2）过点
的直线与椭圆
相交于
两点，若
的面积为
，求以
为圆心且与直线相切的圆的
方程．
【答案】、（1）
（2）
【解析】）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点）求得2a ，进而根据a
和c 求得b ，则椭圆的方程可得．设椭圆方程为,，（a ＞b ＞0），由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别
为F 1（-1，0），F 2（1，0） 那么利用定义可知2a=4,a=2,那么b= ,故可知椭圆方程为
（2）过点的直线与椭圆相交于
两点，若
的面积为
当直线l ⊥x 轴，计算得到： A(-1，-
)，B(-1，)，S △AF2B =
•|AB|•|F 1F 2|=
×3×2=3，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：
y=k （x+1）， 由于y=k （x+1）与椭圆
联立方程组可知，消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2-12=0，显然△＞0成立，设
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2），，则x 1+x 2=- ，x 1•x 2=，又|AB|=
即|AB|=
又圆F 2的半径r=
，所以S △AF2B=
|AB|r=
×=
化简，
得17k 4+k 2-18=0，，即（k 2-1）（17k 2+18）=0，解得k=±1，所以，r=
=
，故圆F 2的方程为：（x-1）
2
+y 2=2．
【考点】圆的标准方程
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．
4.已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数． （1）当
时，求
的最大值； （2）若在区间上的最大值为
，求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f （x ）=lnx-x ，f′（x ）=-1=令f′（x ）＞0得，
0＜x ＜1，令f′（x ）＜0得，x ＞1或x ＜0，∴函数f （x ）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）； （2）f′（x ）=
①当a>0时，x ＞0，∴f′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（0．e]上是增函数， ∴f （x ）max =f （e ）=2，∴a+1=2,∴a=e 符号题意； ②当a<0时，令f′（x ）=0得x=-，
1°若0＜-≤e ，即-≤a ＜0时
∴f （x ）max =f （-a ）=2 ∴-1+ln （-a ）=2，
∴a=-e 2不符号题意，舍去；
2°若-a ＞e ，即a ＜-e 时，在（0，e]上f′（x ）＞0．∴f （x ）在（0．e]上是增函数，故f （x ）max =f （）=2∴a=不符号题意，舍去；故a= 【考点】导数的方法研究函数的单调性
点评：考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题
5.如图，四边形是☉的内接四边形，不经过点，平分，经过点的直线分别交
的延长线于点，且，证明：
（1）∽； （2）是☉的切线.
【答案】（1）借助于两个三角形中两个角对应相等来加以证明。

（2）利用切割线定理来得到证明 【解析】（1）根据题意，由于四边形是☉的内接四边形，不经过点，平分，经过点的直线分别交的延长线于点，且，根据同弧所对的圆周角相等，以及内角平分线的性质可知，那么对于三角形ABC,与三角形CDF 中有两组角对应相等，B= D ，A= C ，得到∽
；
（2）根据相似的结论可知,同时，那么可知，，因此可知是☉的切线.
【考点】相似三角形，切线的证明
点评：主要是考查了圆的内部的性质以及三角形相似的证明，属于基础题。

6.在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点
为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
，射线的方程为
，又与
的交点为
，
与
的除极点外的另一个交点为
，当
时，
． （1）求的普通方程，
的直角坐标方程；
（2）设
与轴正半轴的交点为
，当时，求直线
的参数方程.
【答案】（1）x 2+y 2-6x=0．
（2）
【解析】解：（Ⅰ）曲线C 2的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ2=6ρcosφ， 直角坐标方程为x 2+y 2-6x=0． 曲线C 1的参数方程为 (1＜a ＜6，φ为参数），易消去φ得
曲线C 1的直角坐标方程为
当α=0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（a ，0），（6，0）， ∵|AB|=4，∴a=2．∴C 2直角坐标方程
（Ⅱ）当α=时，由x 2+ y 2-6x=0，y=x 得B （3，3）或B （0，0），又B 不为极点，∴B （3，3），由（Ⅰ）得
D （0，1）
直线BD 的参数方程为x=tcosθ，y=1+tsinθ（t 为参数），因为经过B （3，3），∴|DB|=
，∴cosθ=
，
sinθ=∴直线BD 的参数方程为
【考点】极坐标方程、参数方程
点评：本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的互化、应用．考查了直线、圆、椭圆的基本知识．
7.设对于任意实数，不等式恒成立. （1）求
的取值范围；
（2）当取最大值时，解关于的不等式：．
【答案】（1）m≤8．（2）原不等式的解集为{x|x≥-}．
【解析】（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f （x）的最小值．
（2）当m取最大值8时，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，去掉绝对值符号，解此不等式．解：（1）设f（x）=|x+7|+|x-1|，则有f（x）=
当x≤-7时，f（x）有最小值8；当-7≤x≤1时，f（x）有最小值8；
当x≥1时，f（x）有最小值8．综上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）当m取最大值时m=8，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，
等价于：x≥3，且x-3-2x≤4，或x≤3，3-x-2x≤4等价于：x≥3或-≤x≤3，
所以原不等式的解集为{x|x≥-}．
【考点】绝对值不等式
点评：本题考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，体现了等价转化的数学思想．。