分式方程优秀教案

3.4分式方程
一、教学目标
知识与技能
1．理解分式方程与整式方程的区别，并掌握解分式方程的一般步骤．
2．掌握解分式方程的一般步骤，了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性．
3．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.
过程与方法
1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．
2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．
情感、态度与价值观
1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．
2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．
二、学情分析
三、教学重点、难点及关键
重点 探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤．
难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．
关键 认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型． 突破方法 在反复练习中掌握分式方程的解法，等量关系的探寻方法．
四、教法与学法导航
教学方法 探索发现法.即学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性．
学习方法 自主、合作、探究学习方法．．
五、教学准备
教师准备：多媒体，投影片．
学生准备：整式方程的解法．
六、教学过程
（一）回顾与思考（学生一起回答）
1．
212a b 、3
23ab 的最简公分母是 ． 2．解方程：759272911-=+z z . （二）、复习引入
活动一 有两块面积相等的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．
请同学们完成下列两个问题：
问题1：你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
问题2：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公顷的产量为
kg ，
根据题意，可得方程 ．
【说明】问题1 每公顷的产量＝
总产量土地面积．第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积．
问题2 x +3000，9000x ＝150003000
x +． （三）、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【说明】这里特别强调分母中含有未知数.
活动二 例1 下列是关于x 的分式方程有（ ） ①3ax b +＝4，②23x -+2＝42x +，③m x n +＝x m m -－2，④221x x -＝321
x ++1． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 分析：分母中含有未知数的方程只有④．
解：选A ．
【说明】含分明的方程不一定是分式方程.
（四）、分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一个字母作降幂排列，能因式分解的一定要先进行因式分解.对于某些分式方程也可以采取特殊的方法去解决.
例2 解方程：221x x -+512x
-＝3. 分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。

原方程的两边都要乘最简公分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形.
解：去分母得2x －3＝3(2x －1)，即2x －3＝3x －3.
解之得x ＝－12
. 检验：当x ＝－
12时，最简公分母2x －≠0. 所以x ＝－12
是原方程的解. 【说明】在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母.
（五）、分式方程的增根
解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情形：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，检验是必不可少的步骤．
例3 若分式方程22111x m x x x x
x ++-=++产生增根，则m 的值是（ ）． A.－1或－2 B.1或2 C.－1或2 D.1或－2
解：将原方程去分明，整理得22 2.m x x =--①
因为原方程有增根，而增根只能是0或－1，所以把0x =带入①，得2m =-；把1x =-带入①，得 1.m =故应选D.
【说明】方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x 的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．
（六）、分式方程的实际应用
活动四 做一做 某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
（3）你能利用方程知识求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
分析：本题具有一定的开放性，要注意从不同的角度寻找等量关系解决问题．
解：（1）第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金+500元；第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋的间数．
（2）问题可以是：每年各有多少间房屋出租？这两年每年房屋的租金各是多少？每年各有多少间房屋出租？
（3）解：设么第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x +500)元，根据题意，得
96000x ＝102000500
x +． 解这个方程，得x ＝8000．
经检验x ＝8000是原方程的解，也符合题意．
所以第一年每间房屋的租金为8000元．
【说明】列方程解应用题时，常见的找等量关系的方法有：抓住题目中的“关键句”；抓住问题中的不变量；借助表格分析等量关系．
（六）小结
1．解分式方程务必检验．
2．列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．
七、板书展示
3.4分式方程
一、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
例1 解：选A ．
二、分式方程的解法
例2 解：去分母得2x －3＝3(2x －1)，即2x －3＝3x －3.
解之得x ＝－12
. 检验：当x ＝－
12时，最简公分母2x －≠0. 所以x ＝－12
是原方程的解. 三、分式方程的增根
例3 解：将原方程去分明，整理得22 2.m x x =--①
因为原方程有增根，而增根只能是0或－1，所以把0x =带入①，得2m =-；把1x =-带入①，得 1.m =故应选D.
四、分式方程的实际应用
做一做 解：（1）第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金+500元；第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋的间数．
（2）问题可以是：每年各有多少间房屋出租？这两年每年房屋的租金各是多少？每年各有多少间房屋出租？
（3）解：设么第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x +500)元，根据题意，得
96000x ＝102000500
x +． 解这个方程，得x ＝8000．
经检验x ＝8000是原方程的解，也符合题意．
所以第一年每间房屋的租金为8000元．
八、课堂作业
1．下列判断，正确的是（ ）
A ．解分式方程必定产生增根
B ．若分式方程的根是零，则必是增根
C ．解分式方程必须验根
D ．3=x 是方程3
323-+=-x x x 的根 2．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，根据题意，可得方程（ ）
A ．
x x 1500030009000＝＋ B ．3000
150009000－＝x x C ．3000
150009000＋＝x x D ．x x 1500030009000＝－ 3．在讨论方程333x x x -=++的解的情况时，四位同学有下列四种不同的看法，你认为正确的是（ ）
A ．无解
B ．解为3x =
C ．解为任意数
D ．不能确定 4．解方程x
x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解
5．关于x 的方程(52)2a x -=的解是正数，则a 的最大整数值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．化分式方程
2212302211x x x --=---为整式方程时，两边乘以（ ）较为简便． A ．22(22)(1)(1)x x x ---
B ．22(1)(1)x x --
C ．22(1)(1)x x --
D ．2(1)(1)x x -+ 7．分式方程1
21+=x x 的解为 ． 8．如果分式方程12x x a
+=+的解是1x =，则a = ． 9．当x = 时，分式3x 与26x
-的值互为相反数． 10．若关于x 的分式方程21
x a x +=-无解，则a 的值为 ． 11．2009年10月4日印度尼西亚西巴布亚省上午10时36分(北京时间11时36分)发生了里氏6.1级地震．地震发生后，受灾地区急需大量赈灾帐篷，印尼的一家帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入、提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶，已知现在生产300顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同．现在该企业每天能生产多少顶帐篷？
12．甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项
工程所需天数的45
，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 九、教学反思
本节课学习了同、异分母的分式加减法法则，提高了学生分式运算的能力，个别学生异分母的分式加减法需要进一步加强巩固．
十、教后反思
课堂作业答案1．C ；2．C ；3．A ；4．D ；5．C ；6．D ；7．x ＝1；8．0；9．18；10．－1；
11．解：设现在该企业每天能生产x 顶帐篷，则原计划每天生产(x －200)顶帐篷． 由题意，得30002000200
x x =-． 解得x =600．经检验：x =600是原方程的解．
答：现在该企业每天能生产600顶帐篷．
12．解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，
则乙施工队单独完成此项工程需45
x 天，
根据题意，得
10x ＋1245x ＝1， 解这个方程，得x ＝25，
经检验，x ＝25是所列方程的根.
当x ＝25时，45
x ＝20. 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．。