初升高衔接第02章 二次函数与一元二次方程、不等式第03节 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

第三节二次函数与一元二次方程、不等式一、电子版教材
二、教材解读
知识点一 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系
设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y ＞0或y ＜0的步骤
求方程y ＝0的解
有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)
有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b
2a
没有 实数根
函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a
＞0)的图象
不等式解集
y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧
x ⎪
⎪
⎭⎬⎫x ≠－b 2a
R y ＜0
{x |x 1＜x ＜x 2}
∅
∅
例题1（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集： （1）2
1
202
x x -++
<； （2）2353x x +≤．
【解析】 （1）原不等式可化为2
1
202
x x --
>． 0∆>，∴方程21202x x --
=的解是115x -=，215x +=． 所以原不等式的解集是15
{|x x -<
或15}x +>．
（2）原不等式变形为23503x x -+≤．
0∆<，∴方程23503x x -+=无解．
所以原不等式的解集是∅．
例题2（2019·阜阳市大田中学高二期中（文））已知()()()2f x x a x =--.
（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x <.
【解析】（1）1a =时，不等式()0f x >化为()()120x x -->， 解得1x <或2x >，
∴不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞.
（2）关于x 的不等式()0f x <，即()()20x a x --<； 当2a =时，不等式化为()2
20x -<，不等式无解； 当2a >时，解不等式()()20x a x --<，得2x a <<； 当2a <时，解不等式()()20x a x --<，得2a x <<； 综上所述，2a =时，不等式无解，
2a >时，不等式的解集为()2,a ，
2a <时，不等式的解集为(),2a .
知识点二 三个“二次”的关系
一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0)0(≠a 的两根为21,x x ，则a
c
x x a b x x =-
=+2121,。

例题1（2020·
全国高一）已知方程210x -+=的两根为1x 与2x ，求下列各式的值： （1）2
2
12
12x x x x ；（2）
12
11
+x x ．
【解析】由方程210x -+=
得12121x x x x +==． （1）(
)2
2
12121212x x x x x x x x +=+=
（2
）
121212111
x x x x x x ++=== 例题2（2020·
上海高二课时练习）设方程20x m -+=的两实根为α，β，且||4-=αβ，求实数
m 的值
【解析】由题意，方程20x m -+=的两根为,αβ，
则2(40m ∆=--≥,解得2m ≤
，且m αβαβ+=⋅=，
因为||4-=αβ，则2()16-=αβ，即2
()416+-=αβαβ，
所以|2|4-=m ，解得6m =或2m =-. 因为2m ≤，故2m =-.
例题3（2020·全国高一）已知关于x 的方程2
(1)10mx m x ---=． （1）求证：对于任意实数m 方程总有实数根； （2）若12,x x 是原方程的两根，且
21
1212
21x x x x x x +=+，求m 的值． 【解析】（1）证明：当0m =时，方程化为10x -=，即1x =，方程有一个实根； 当0m ≠时，2
2
[(1)]4(1)(1)0m m m ∆=---⨯-=+，方程有两个实根．
综上，对于任意实数m 方程总有实数根．
（2）∵12,x x 是方程2
(1)10mx m x ---=的两根， ∴121211
,m x x x x m m
-+=
=-． 又∵
21
1212
21x x x x x x +=+， ∴()2
1
212
1212
221x x x x x x x x +-=+，
∴2
1121211m m m m m
-⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⨯-+ ⎪⎝⎭-， 整理，得210m m +-=，
解得m =
m =．
知识点三 分式不等式的解法
分式不等式：形如ax ＋b
cx ＋d ＞0(＜0)(其中a ，b ，c ，d 为常数)
例题1（2020·全国高一课时练习）解下列关于x 的不等式： （1）2
21ax x +≥+.（2）102
x x -≥-.
【解析】（1）
(2)01
a x
x -+.当2a >时，不等式的解集为{|1x x <-，或}0x ≥；当2a =时，不等式的解
集为{}|1x x ≠-；当2a <时，不等式的解集{}|10x x -<≤. （2）原不等式可化为(1)(2)0x x --，且2x ≠， ∴2x >，或1x ≤.
∴原不等式的解集是{|2x x >或1}x .
例题2（2020·广东省华南师大附中高一期中）求不等式
3
121
x <-的解集. 【解析】因为331102121x x <⇔-<--()421020212x x x x -⎛⎫⇔<⇔--> ⎪-⎝
⎭
∴1
2
x <
或2x > 故原不等式的解集为()1,
2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
.
例题3（2020·上海高一课时练习）记不等式3
201
x x +-
≥+的解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><的解集为B ．
（1）求A ；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）因为3
201
x x +-
≥+， 所以
1
01
x x -≥+， 所以()()110,1x x x +-≥≠-，
解得1x ≥或1x <-， 所以()
[),11,A =-∞-+∞，
（2）因为()()()1201x a a x a ---><， 所以()()120x a x a ---<， 因为1a <， 所以12a a >+， 解得21a x a <<+， 所以()2,1B a a =+ 因为B A ⊆，
所以11a ≤-+或21a ≥， 解得2a ≤-或
1
12
a ≤<.
三、素养聚焦
1．（2020·江苏省高一期末）不等式28x >的解集是（ ）
A ．(-
B ．(,)-∞-⋃+∞
C ．(-
D ．(,)-∞-⋃+∞
【答案】B
【解析】由28x >得280x ->，即(0x x -+>，
解得x <-或x >(,)-∞-⋃+∞. 2．（2020·吉林省实验高一期中）不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{
0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}
04x x <<
【答案】A
【解析】由题：等式()43x x -<化简为：
2430x x -+>
()()130x x -->
解得：1x <或3x >.
3．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式13
()()022
≥x x +-的解集是（ ）
A ．1
{|2x x <-或3}2
x > B ．1
{|2
x x ≤-或3}2x ≥
C ．13
{|}22x x -≤≤
D ．13
{|}22
x x -<<
【答案】C
【解析】不等式130,22x x ⎛
⎫⎛⎫
+
-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
可化为130,22x x ⎛
⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭1322x ≤≤∴-，
所以不等式的解集为.13
{|}22
x x -
≤≤ 4．（2020·浙江省高一期末）不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．[)1,1,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
【答案】A
【解析】由23210x x +-≤， 可得，(1)(31)0+-≤x x ， 所以，113
x -≤≤
， 5．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式290x -<的解集为（ ） A ．{}
3x x > B ．{}
3x x <-
C ．{}
33x x -<<
D ．{
3x x <-或}3x >
【答案】D
【解析】将不等式290x -<变形为290x ->，解此不等式得3x <-或3x >. 因此，不等式290x -<的解集为{
3x x <-或}3x >.
6．（2020·浙江省高一期末）不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2-
C ．()
(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞
【答案】A
【解析】因为23100x x --<，所以(2)(5)0x x +-< 解得25x -<<，
所不等式的解集为{}
25x x -<<，
7．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式2260x x +-≥的解集为（ ） A ．(]
3,2,2⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(
[)3
,2,2⎤
-∞-+∞⎥⎦
C ．32,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．322⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦， 【答案】A
【解析】原不等式可化为()()2320x x -+≥， 解得，2x -≤，或32
x ≥
. 8．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于x 的不等式()()()1101ax x a --<>的解集为（ ） A ．11,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()1,
1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()
1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】方程()()110ax x =--的两根分别为
1
,1a
， 又1a >，所以
11a <，故此不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
9．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若不等式220ax bx +->的解集为124x x ⎧
⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
，则
+a b 等于（ ）
A ．-18
B ．8
C ．-13
D ．1
【答案】C 【解析】
不等式220ax bx +->的解集为124x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
，
1
2,4
∴--为方程220ax bx +-=的两根，
则根据根与系数关系可得112
2(),(2)()44b a a -+-=--⋅-=-，
4,9a b ∴=-=-，则13a b +=-.
10．（2020·全国高三（文））不等式210x --<的解集为（ ）
A ．3,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎪
⎝⎭
B ．3,
2⎛⎫
-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．⎝⎭
D ．⎝⎭
【答案】C
【解析】方程210x --=，
又函数21y x =--的图象开口向上，
故不等式2
10x -<的解集为⎝⎭
.
11．（2020·全国高一）关于x 的不等式4
(1)(1)
0(1)x x x ---≥-的解集是（ ）
A ．()1,1-
B ．[
)1,1-
C ．(]1,1-
D ．[]1,1-
【答案】B
【解析】由题意，原不等式的解等价于不等式组(1)(1)0
10x x x ---≥⎧⎨
-≠⎩
的解，
而(1)(1)0
10x x x ---≥⎧⎨
-≠⎩
的解为11x -≤<，所以原不等式的解集为[)1,1-.
12．（2020·河北省沧州市一中高一期末）关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范国是（ ） A ．[2，4） B ．[3，4]
C ．（3，4]
D ．（3，4）
【答案】C
【解析】()()()2
1010x a x a x a x -++<⇔--<，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为()1,x a ∈，
两正整数为2,3，故(]
3,4a ∈
13．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））下列是“不等式22530x x --<成立”的必要不充分条件的是（ ） A ．1
32
x -
<< B ．1
42
x -<< C ．132
x -<< D ．1
02
x -
<< 【答案】B
【解析】由题意()()2
1
2530213032
x x x x x --<⇔+-<⇔-
<<， 对于A ，由113322x x x x ⎧⎫⎧⎫
-
<<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以132x -<<是不等式成立的充要条件，故A 错误； 对于B ，由132x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ 142x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，所以142x -<<是不等式成立的必要不充分条件，故B
正确；
对于C ，由132x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩⎭与132x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
没有互相包含的关系，所以132x -<<是不等式成立的既不充分也不必要条件，故C 错误；
对于D ，由102x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 132x x ⎧⎫
-<<⎨
⎬⎩⎭
，所以102x -<<是不等式成立的充分不必要条件，故D 错误.
14．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式250ax x c -+<的解集为1
1|3
2x x ⎧
⎫
<<⎨⎬⎩
⎭
，则a ，c 的值为（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =-
【答案】A
【解析】不等式250ax x c -+<的解集为11|
32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
， 故不等式对应方程的系数满足：115
321132a
c a
⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得6a =，1c =.
15．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则-a b 的值为（ ） A ．14 B ．-14
C ．10
D ．-10
【答案】D
【解析】不等式2
20ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，
可得11,23-是一元二次方程220ax bx ++=的两个实数根，
11112
,2323b a a
∴-+=--⨯=，
解得12,
2a b =-=-，
12(2)10a b ∴-=---=-，
16．（2020·全国高一）若函数f (x )
的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，4) B ．(0，4)
C ．[4，＋∞)
D ．[0,4]
【答案】D
【解析】由函数f (x )
的定义域为一切实数，即210mx mx ++≥在R 上恒成立， 当m =0时，1≥0恒成立；
当m ≠0时，则2
40
m m m >⎧⎨
∆=-≤⎩，解得04m <≤. 综上可得04m ≤≤，
17．（2020·黑龙江省大庆四中高一月考（文））关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)
(3,)-∞+∞
【答案】A
【解析】由0ax b ->的解集为1,
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =， 因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()
(),13,-∞-+∞，
18．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,x y 满足21
1x y
+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-
【答案】D
【解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y
⎛⎫+=++=++≥=
⎪⎝⎭，
当且仅当4y x
x y
=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选D.
19．（2020·河北省唐山一中高一期中）如果关于x 的不等式()()2
22240a x a x -+--<对一切实数x 恒
成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(), 2-∞- C ．(]2,2- D ．()2,2-
【答案】C
【解析】当20a -=即2a =时，有40-<，不等式成立；
当20a -≠即2a ≠时，由题可得()()()2
20
224240a a a -<⎧⎪⎨⎡
⎤----<⎪⎣⎦⎩，解之得：22a -<<； 综上，22a -<≤.
所以实数a 的取值范围是(]
2,2-.
20．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式2210ax x -+>对1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．[
)1,+∞
【答案】B
【解析】由题意，不等式2210ax x -+>对1
()2,x ∈+∞恒成立，即2
21
a x x >
-恒成立， 设2
2211()11f x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭
，由1()2,x ∈+∞可得()10,2x ∈， 所以()(1)1max f x f ==，只需1a >，即a 的取值范围为()1,+∞.
21．（2020·浙江省高一期中）已知不等式2301
x k k
x k -+>-+对任意的正整数k 成立，则实数x 的取值范围为
（ ）
A ．()(),22,3-∞-⋃
B ．()9,2,34⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ C ．()(),23,4-∞-
D ．()9;3,44⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】不等式2301
x k k
x k -+>-+对任意的正整数k 成立，
∴23010x k k x k ⎧-+>⎨-+>⎩或23010x k k x k ⎧-+<⎨-+<⎩对任意的正整数k 成立，
即231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231
x k k x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，
在同一直角坐标系内作出函数()2
31y x x x =-≥与()11y x x =-≥的图象，并标出x 取正整数的点，如
图：
数形结合可知，若要使231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231
x k k
x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，
则()
(),22,3x -∞-∈.
22．（多选题）（2020·山东省高三二模）设[]
x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式
[][]2
120x x +-≤的解可以为（ ）
A 10
B ．3
C ．-4.5
D ．-5
【答案】BC
【解析】因为不等式[][]2
120x x +-≤， 所以
[]()[]()340x x -+≤，
所以[]43x -≤≤，
又因为[]
x 表示不小于实数x 的最小整数， 所以不等式[][]2
120x x +-≤的解可以为3，-4.5.
23．（多选题）（2020·山东省高二期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()
(),23,-∞-+∞，
则（ ） A ．0a > B ．不等式0bx c +>的解集是{}
6x x <-
C ．0a b c ++>
D ．不等式20cx bx a -+<的解集为13x x ⎧<-⎨⎩
或12x ⎫>
⎬⎭
【答案】ABD 【解析】
关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()
(),23,-∞-+∞，0a ∴>，A 选项正确；
且2-和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，
由韦达定理得2323b a
c a ⎧
-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=
⎪⎩
，则=-b a ，6c a =-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；
不等式0bx c +>即为60ax a -->，即60x +<，解得6x <-，B 选项正确；
不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得1
3x <-或12
x >，D 选项正确.
24．（多选题）（2019·山东省高二期中）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【答案】ABC
【解析】设2
6y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.
若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则
22
2620
1610
a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩ 解得58a <≤，.
又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.
25．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ）
A ．2t =
B ．4t =
C ．{}|41M x x =-<<
D ．{}|14M x x =-<<
【答案】BC
【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=， ∴2
42+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号. ∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<.
26．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
【答案】-⎡⎣
【解析】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题
29720a ∴∆=-≤，解得：a -≤
a ∴的取值范围为-⎡⎣ 27．（2020·江西省高二期中（文））己知x >0，y >0，且
211x y
+=，若x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________.
【答案】[4,2]-
【解析】由211x y +=，可得()14224482x y x y x y y y x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 而222x y m m +≥+恒成立()2min 22m m x y ⇔+≤+，
所以228m m +≤恒成立，即2280m m +-≤恒成立，
解得42m -≤≤，
28．（2020·全国高三其他（文））若关于x 的不等式210x kx +->在区间[1，2]上有解，则k 的取值范围是________．
【答案】3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【解析】不等式210x kx +->在区间[1,2]上有解
2110+->⇒>
-x kx k x x
设1()f x x x =-，由1,==-y y x x
在[1,2]均为减函数 可知1()f x x x =-在[1,2]单调递减 所以min 3()(2)2>==-k f x f ，即3,2⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
k 29．（2020·浙江省高一期末）若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围
是______. 【答案】5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数22,22y x a y x =-=-图象，其中由2y x a =-与222y x =-相切得
()225222,2220,4820,2
x a x x x a a a -=-+--=∴∆=++=∴=-； 由(2)y x a =--过点(0,2)得2a =. 由图可知5512422
a a -<<∴-<<，
30．（2020·浙江省高三其他）设,a b ∈R ，不等式2
1x ax b ++≤对所有的[],x m n ∈成立，则n m -的最大值是______. 【答案】2
【解析】令()2
f x x ax b =++，[],x m n ∈，则()[]1,1f x ∈-，于是 2()1f m m am b =++≤ ①
2()1f n n an b =++≤ ②
2
1222m n m n m n f a b +++⎛⎫⎛⎫=+⨯+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
③ 由①+②-2⨯③，得2
()42m n -≤，故22n m -≤此时2
()12m n f x x +⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭.
四、能力提升
31．（2020·上海高一课时练习）解下列不等式：
（1）22310x x -+-<；
（2）()2
160x -->； （3）2260340
x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩
【解析】（1）22310x x -+-<等价于22310x x -+>等价于()()2110x x -->，解得：1x >或12x <，所以不等式的解集为()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；
（2）()2160x -->等价于(110x x --+>，解得：1x <-1x >+
的解集为(()
,116,-∞++∞； （3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩等价于2260340
x x x x ⎧+-≥⎨+-<⎩等价于()()()()320410x x x x ⎧+-≥⎪⎨+-<⎪⎩，解得：43x -<≤-，所以不等式的解集为(]4,3--.
32．（2020·全国高一专题练习）国家原计划以2400元/t 的价格收购某种农产品t m 按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点,试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y 元,则
()2122400(12%6)(8)%42400(08)25y m x x m x x x =++-=-
+-<. 依题意,得24008%78%y m ⨯⨯,
即()2124240024008%78%25
m x x m -+-⨯⨯, 整理,得242880x x +-≤,解得442x -≤≤.
根据x 的实际意义,知08x <,所以02x <≤为所求.
故x 的取值范围是{|02}x x <≤.
33．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考（理））已知命题:|2|4p x -≤，
:(1)(1)00)q x m x m m ---+≤>(，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【解析】 由24x -≤解得26x -≤≤，
由(1)(1)0
0)x m x m m ---+≤>(解得11m x m -≤≤+. 根据p 是q 的充分不必要条件，
∴区间[]2,6-是区间[]1,1m m -+的真子集，
画图如下：
利用数轴分析可得1216m m -≤-⎧⎨+≥⎩
，且两处“=”不能同时取得， 解得m ≥5.
故m 的取值范围为[5，+∞).
34．（2020·全国高一）已知方程22210x x -+=的两根为1x 与2x ，求下列各式的值：
（1）2
21212x x x x ；（2）12
11+x x ． 【解析】由方程22210x x -+=得121222,1x x x x +==．
（1）()22
1212121222x x x x x x x x +=+= （2）1212121122221
x x x x x x ++=== 35．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一期中）若不等式()21460a x x --+>的解集是
{}31x x -<<.
（1）解不等式()2
220x a x a +-->； （2）当230ax bx ++≥的解集为R 时，求b 的取值范围.
【解析】（1）因为不等式()21460a x x --+>的解集是{}
31x x -<<， 所以10a -<，且3-和1是方程()2
1460a x x --+=的两根， 由根与系数关系得43116311a a ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩
，解得3a =，
则不等式()2220x a x a +-->，即为2230x x -->，所以()()2310x x -+>，解得32x >或1x <-，所以不等式()2220x a x a +-->的解集为3{|2
x x >或1}x <-. （2）由（1）知3a =，不等式230ax bx ++≥，即为2330x bx ++≥，因为不等式2330x bx ++≥的解集为R ，则不等式2330x bx ++≥恒成立，
所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤，所以b 的取值范围为[]
6,6-.。