SARS的传播

数学建模作业SARS的传播成员：章俊龙龚悦峰陆芳婷摘要本文分析了题目所提供的早期传染病的合理性和实用性。

我们认为该模型可以对传染病作出预测，但存在一些不足，首先通过其他地区做预测，忽略了地区的差异，在预测结果上不够准确。

其次模型的参数设定缺乏依据，具有一定的主观性，最后混淆了累积患病人数与确诊病例人数的概念，在染病人数的预测上产生了一定的影响。

针对早期模型的不足，我们全面分析了传染病的传播机理，将人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者三类，构建了SIR模型。

建立了病人和健康者所占总人数比例关于时间t的微分方程通过matlab计算得出i-s图形（相轨线）。

通过分析，得到制止传染病的蔓延的两种手段为降低日接触率，提高日治愈率和提高移出者比例的初值。

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论，尽早发现和隔离能够减少累积患病人数，严格隔离能有效缩短疫情持续时间。

同时我们分析了1997-2003年北京外来游客接待人数的变化，运用spss的logistic回归分析对2003年9-12月的游客人数进行预测，可以得出在SARS流行期间对北京入境旅游业造成了很大的损失，并预计海外旅游人数将在10月以前恢复正常。

最后我们写了一片小短文，论述了传染病模型在生活中的重要性，以及对疾病预测和防控的实用性，希望能引起相关部门和公民的重视，并能有效的预测传染病的发生，减少公民的财产损失和保障公民的生命健康。

关键词： SIR模型传染病模型回归预测时间序列一、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、问题分析问题一要求我们对早期的模型进行评价，主要从其合理性与实用性两方面进行评价，首先我们要考虑模型是否与实际情况相符合，其次是要探究该模型是否有一定的理论基础。

是否与实际情况相符需要将模型的计算值与实际值进行比较，从而得出结论。

模型的理论基础需要从模型的建立是否与传统的传染病模型相符，是否与传染病的基本特征项相符这两个方面进行。

问题二要求我们在早期模型的基础上进行优化，主要目的是提供准确的预测和防控，及实施的困难情况进行分析。

我们在充分探讨早期模型的基础上，对SARS的传播原因和传播途径分析比较。

SARS的传播过程受传染病人的多少、易受传染者的大小、传染率的大小、人口迁移、潜伏期的长短、个体的抵抗力大小、疾病的宣传力度等因素的影响。

我们将从主要因素开始考虑，次要因素为辅建立优于早期的模型，对SARS进行更好的预防和控制。

问题三要求我们分析对国家经济造成的影响，附件三为北京接待海外游客的人数，从数据可以大致看出SARS的出现对海外旅游人数的影响很大，从这一方面，我们将对国家经济的影响及海外旅游人数的影响建立模型并做进一步的探讨。

问题四要求我们给当地的报刊写一篇短文论述数学模型对疾病预防的重要性。

我们将采用科学性的文字对预测模型进行大力宣传，并希望能充分引起社会民众与各相关部门的重视，从而将理论的模型用于实践，对传染病进行更准确的预测。

三、模型的假设1.假设病人的心理状况相同2.病人隔离后不再传染给他人3.病人治愈后不再患病4.确诊病人的死亡都是由SARS引起的5.数据资料真实可靠，文献资料具有可参考性6.模型的预测对实际应对有参考价值四、变量说明四、模型的建立（一）问题一的分析与处理1、对原模型的深入分析问题一给出了一个早期的模型，要求评价其合理性和实用性。

首先对该模型进行简述。

附件一是一个和传统传染病模型比较相似的数理模型。

其建立的数学模型为：t 01）（K N N +=。

在前45天我们取k=0.16204来代入，分别算出45天的病人累计数，根据 45天病人的数量来画出图1，并与附件中所提供的数据中的日累计数来进行了比较。

如图1-1所示：0510********35404500.511.522.53x 105自2月15日北京确诊天数人数图1-1 根据指数模型建立的图形图1-2 根据附件1所建立的图形图1-3 根据附件1所建立的模型从两个图形中，我们可以看出，从4月20日开始计算，前45天的病人累计数和我们用k 的值来代入模型画出的病人计算数基本上是吻合的。

图形1中的横坐标数字表示时间的天数，如15即4月20日之后的第15天，40即4月20日之后的第40天。

在45天之后的时间里，模型对k 的值进行了调整，k=0.0273，我们再将k=0.0273代入模型 t 01）（K N N +=，在45天之后的时间里，我们取了30天的时间，分别算出每天的病人累计数，如图1-4所示： 全国人数变化500100015002000250030003500135********17192123252729天数人数（全国）累计人数天数图1-42、对原指数模型的评价对该模型的合理性评价。

因为传染病的流行与控制随时间变化较为复杂，参数L和参数K不可能保持不变或者以一个比较规律的速度变化，它们的合理预估关系到模型最后的准确性和实用性。

不同于传统的传染病模型中K值保持不变，在此模型中，考虑到了比较实际的情况。

因为在现实生活中，一个病人不可能一直保持着他能感染人的概率，因为社会是一个动态发展的，信息交换很快的地方。

若病人还未被发现，此时他较易接触到易感人群，则此时K数值较大；当病人被发现后，社会警觉度提高，政府和公众也会采取措施。

模型考虑到这些因素，对于K值的处理是从疾病的初发阶段的较大，直到到达高峰期，然后在10天范围内逐渐缩小后到达一定的值不变。

这样和实际情况较为相符但是实际要复杂的多，k值得变化不会有特定的规律，因此存在一定的误差。

在对全国在前期和后期k分别取k=0.16204和k=0.0273的值来代入所给的模型来计算并画出图形，与实际的数据和图形进行了比较，是有很好的吻合，同样我们也可以对k取值一个定值来对全国进行计算和画图，同样也是合理的。

因此我们就认为题目中所给我们的那个模型t1）（KNN+=是合理的。

对该模型的实用性评价。

通过这个模型我们可以根据某一地区的疫情从爆发到高潮或某一阶段的时间的长短来拟合得到一个与该地区这种疫情的感染率，就可以用该模型来计算或预测该模型现在及以后的病人的累计数。

但是，该模型没有给出已经治愈的患者和疑似患者却未诊断的患者在传染体系中的影响，考虑稍欠周全。

该模型所用的数据全部来自于香港，广东和北京当地的数据，虽然在这几个地区的运用影响不大，但是无法扩展到全国范围运用，若要运用，则需要重复收集数据和整理数据，较为繁琐，实用性并不是太理想。

（二）问题二的分析与处理模型假设：1.总人数N不变，人群分为健康者，病人和病免疫的移出者三类，称SIR模型，时刻t三类人在总人数N中占的比例分别记作s(t),i(t),r(t).2.病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数为μλσ/=。

建立模型：由假设一可以得到s(t)+i(t)+r(t)=1，然后因为Ni Nsi dtN μλ-=di ，对于病治愈者而言可以得到Ni dtNμ=dr ，再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是0s （0s >0）和0i (0i >0),由s(t)+i(t)+r(t)=1，Ni Nsi dt N μλ-=di ，Ni dt N μ=dr 三式可以得出⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=00)0(,)0(,di s s si dtds i i ui si dt λλ 根据matlab 软件得到北京市自4月15日起治愈率μ的图2-1，日传染率λ的 图2-2通过线性拟合求得058.0=μ，19967.0≈=λ确诊病例累计人数治愈出院人数图2-1 北京市前15日SARA 治愈率4006008001000120014001600确诊病例人数疑似病例人数图2-2北京市前15日SARS 日转染率另98.0)0(,02.0)0(==s i 通过matlab 进行数值计算：输出的简明计算结果列入表2-1，i(t),s(t)的图形见图2-3，图2-4称为相轨线，随着t 的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动，由表2-1，图 2-3，图2-4可以看出i(t),由初值增长至约t=7达到最大值，然后减少，t →∞，i 074.0→；s(t)则单调减少，∞→t ，s →0表2-1 )(),(t s t i 的数值计算结果图2-3 i(t)，s(t)图像0.10.20.30.40.50.60.70.8图2-4 s i ~图形（相轨线）为了分析i （t ）,s （t ）的一般变化规律，我们需要进行相轨线分析。

相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线论解i(t),s(t)的性质。

s~i 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域D i ∈）（,s ,为 }1i ,0,0s |)s,({<=+≥≥=s i i D ，消去d(t),可以得到00|,11ds di i i ss s =-==σ，容易求出上诉方程的解为 000s1s -i s i s Inσ++=）（ 可以看出，如果仅当病人比例)(t i 有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么σ/1是一个阈值，当σ/10>s 时传染病就会蔓延，而减小传染期接触数σ，即提高阈值σ/1，使得σ/10≤s ,传染病就不会蔓延（默认健康者比例的初始值0s 是一定的，0s 接近1）。

在u /λσ=中，人们的卫生水平提高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。

从另一方面看，μλσ/1*s s =是传染期内一个病人传染的健康者的平均水数，称为交换数，其含义是一个病人被s σ个健康者交换，所以当σ/10≤s ，交换数不超过1，病人比例)(t i 绝不会增加，传染病不会蔓延。