河南省淮阳县第一高级中学2018_2019学年高二数学上学期第一次质量检测试题

2018-2019学年上学期高二第一次质量检测
数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列1-，3，5-，7，9-，L ，的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()()112n
n a n =-- C ．()()
121n
n a n =--
D ．()()1
121n n a n +=--
2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，533a a =，则9S =（ ） A ．72- B ．54- C ．54 D ．90
3．已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．2± B ．2 C ．2- D ．4
4．若ABC △中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos =（ ） A ．41-
B ．41
C ．32-
D ．3
2
5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若34=c ，30B =︒，ABC △的面积34=S ，则ABC △是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 6. 已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S = B ．5S 最小 C ．36S S = D ．50a =
7．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．则满足a b 2=，ο25=A 的ABC ∆的个数是（ ）
A.0 B . 1 C . 2 D . 3
8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根，则
9
3
S S =（ ）
A ．27
B ．21
C ．14
D ．5
9．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ）
A ．152km
B ．30km
C ．15km
D ．153km
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n
n n a a +=，且0，1a ，2成等差数列，则20S =（ ）
A ．3066
B ．3063
C ．3060
D ．3069
11．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若
()C b c B b A a sin sin sin -=-，且
3=b
a
，则角C 的值为（ ） A.ο45 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120
12．已知定义在R 上的函数()x f 的图象的对称中心为()2,1008. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，
且满足*
),(N n n f a n ∈=，求2015S =（ ）
A ．4030
B ．4020
C ．4010
D ．4000
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在等差数列{}n a 中，已知56,01=≠a a n 其前n 项和n S 的最大值为8S ，则公差d 的取值范围为__________．
14．用长度分别为Λ,3,2
5,2,23,1的40根小木棒摆成如图所示由内及外的图形，图中木棒的摆放形式可分为“—”、“\”、“/”，则最后一根摆放形式为“\”的木棒的长度为 ．
15．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，
则ABC △的形状为__________．
16．已知ABC △满足()()4BC AC BC BA +⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，且
2=BC ，4=AC ，则AB 等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知三个数成递增等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(
))
sin ,cos ,A C c ==
，m n ，且∥m n .
（1）求角C 的大小；
（2
）若4b c ==，ABC △的面积．
19．（12分）在正项数列}{n a 中，21=a ，2log log 22212+=+n n a a ，n ∈*N ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 满足：1
211+++=++n n n n n n a a a a b ，设其前n 项和为n S ，求n S .
20．（12分）在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列．
（1）求角B 的大小；
（2
）若b ABC △面积的取值范围．
21．（12分）如图所示，在斜度一定的山坡上的点A 处测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又在点B 处测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．
（1）若30α=︒，求AC 的长；
（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．
22．(12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，且满足11
2
n n S a n +=+，()n ∈*N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()142n n b n a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2018-2019学年上学期高二第一次质量检测
数学试题参考答案
一．选择题：CBBAC BCBDD CA 二．填空题：
13.78-<<-d 14.2
39
15. 等边三角形 16.错误!未找到引用源。

三、解答题： 17．【答案】4,6,8．
18．【答案】（1）3
π；（2）23．
【解析】（1）由∥m n 得sin 3cos c A a C =， ∵sin 0A ≠，∴sin 3cos tan 33
C C C C π
=⇒=⇒=
． （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，得2a =，则1
sin 232
S ab C ==．
19．【答案】（1）an
n
2；（2）n S =
1
21
311
+-+n ． 【解析】（1） 由已知 log2 an
1
log2 an
1，且 log2 1a
1，
可得数列{log2 an } 是以 1为首项，1为公差的等差数列， 则 log2 an
1
(n
1)
1
n ，故 an
n
2
（2）1211+++=++n n n n n n a a a a b =()()
1121+++n n n
a a ，
由()1得()()
121221++=+n n n n b =1
21
1211
+-++n n ， 所以
n S =
12112121+-++12112132+-++…+1211211+-++n n =1
21
311
+-+n
20．【答案】（1）3B π=；（2）⎥⎦
⎤ ⎝⎛433,23． 【解析】（1）∵cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列， ∴2cos cos cos b B c A a C =+，
由正弦定理2sin a R A =，2sin c R C =，2sin b R B =，R 为ABC △外接圆的半径，代入上式得：2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+， 即()2sin cos sin B B A C =+．
又A C B +=π-，∴()2sin cos sin B B B =π-，即2sin cos sin B B B =． 而sin 0B ≠，∴1cos 2
B =
，由0B <<π，得3B π=．
()2Θ3=
b ，3B π
=
，∴B b R sin 2=2=，
B ac S sin 21=
B C A sin sin 2sin 221
⨯⨯=C A sin sin 3=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A 32sin sin 3π⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+=A A A sin 21cos 23sin 3 ()A A 2cos 143
2sin 43-+
=
432cos 432sin 43+-=
A A
43
62sin 23+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
πA 为锐角三角形，ABC ∆Θ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-=<<<∴.2320,20πππA C A .
26
ππ<<∴A ⎥⎦
⎤ ⎝⎛∴433,23的取值范围是S ．
21．【答案】（1
）AC =（2
）cos 1θ=．
【解析】（1）当30α=︒时，150ABC ∠=︒，15ACB BAC ∠=∠=︒， 所以10BC AB ==，由余弦定理得：
222101021010cos150200AC =+-⨯⨯⨯︒=+
故AC ==
（2）当45α=︒，在ABC △中，由正弦定理有
()
sin 62
20562sin AB BAC BC ACB ⋅∠-=
=⋅=-∠，
在BCD △中，sin sin 31BC DBC
BDC CD ⋅∠∠==-，
又cos cos sin 312ADC ADC θπ⎛
⎫=∠-=∠=- ⎪⎝
⎭．
22．【答案】（1）22,
131,2
n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩；（2）()222232n n T n n =+-⋅+．
【解析】（1）()()1
1122112
n n n n
S a n n S a n +-⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩=+≥+-时，111122n n n a a a +=-+，
即()1322n n a a n +=-≥，即()()1131n n a a +-=-， 当12a =时，22a =，
211
=131
a a -≠-， {}1n a -以211a -=为首项，3为公比的等比数列，∴2113n n a --=⋅，
即231n n a -=+，∴-2
2,
1 231,
n n n a n =⎧=⎨≥+⎩． （2）()()()()()11142423142342n n n n b n a n n n --+=-=-⋅+=-+-， 记()'01212363103423n n S n -=⋅+⋅+⋅++-L ， ① ()()'12132363463423n n n S n n -⋅+⋅++-+-=
L ②
由①②得，()()'01212=2343+3++3423n n n S n --⋅+⋅--⋅L ， ∴()'2223n n S n =+-， ()()()24222223222322
n n n n n
T n n n -+∴=+-⋅+
=+-⋅+．。