二元一次不等式组

问题2：如何判断二元一次不等式表示平面区域 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入
Ax+By+C所得实数的符号都相同。 只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据 Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示
直线的哪一侧区域。 特别的：C≠0时，即直线不过原点，常把原点作为特 殊点； C＝0时，常把（1，0），（0，1）作为特殊点； 结论： 直线定界，特殊点定域。
其中直线x-y+1=0叫做这两个区域的边界.
问题1：上面的研究解决了一个具体的二元一次 不等式与平面区域的关系问题．对于一般的二元 一次不等式Ax+By+C＞0与平面区域之间有什么 关系呢？
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中表示: 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组 成的平面区域。我们把直线画成虚线表示区 域不包括边界。 不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界， 把边界画成实线。
解：设玫瑰和康乃馨的价格分别为x、y，则
6x+3y>24 4x+5y≤20 x>0 y>0
6x+3y-24>0 4x+5y-20≤0
二元一次不等式组
二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
（2）二元一次不等式组：
B)
0
A
0 B
x
0 C
跟踪练习2、 将下列图中的平面区域（阴影部分） 用不等式出来（图（1）中的区域不包含y轴） y y y 2x+y= 4 o x
x+y=0
o
x
o
(3 ) (3) 2x+y<4
x
(1 ) 解 (1) x>0
2 ) (2) x+y≥0
练习3：根据所给图形，把图中的平面区 y 域用不等式表示出来：
O 3
x
2 4
课
堂
测
评
D
课
堂
测
评
A
课
堂
测
评
D
课
堂
测
评
B
知
能
提
升
B
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料 的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的 主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t， 在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系 式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件：
4 x y 10 18 x 15 y 66 x0 y0
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
二元一次不等式（组） 与平面区域
实例引入：
实例1 ：已知两实数的差小于-1，你能用不等式表示其中的不等关系
吗？ 解：设两实数为x、y，则
x-y<-1
二元一次不等式
x-y+1<0
实例2：已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫
瑰与5枝康乃馨的价格之和不超过20元，你能用不等式表示其中的不等 关系吗？
(1)
1 1
O
x
y-x-1>0
(2)
y
5y+2x-10≥0
2
O 3
x
小结
知识点： ⑴ 二元一次不等式表示平面区域， 直线某一侧所有点组成的合思想
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平 面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
练习
画出不等式组
x y 6 0 x y 0 0 x 5 y 0
x+y-6=0 y
6
A
x-y=0
0
zxxk
B 6 5C x

表示的平面区域.
x=0
x=5
解：如图所示四边形OABC所围成的区域(不包括边 BC）即为所求. 其中 O(0,0)，A(3,3),B(5,1),C(5,0).
3、不等式组
x y 2 0
B）
x 3y 6 0
表示的平面区域是（
y
(3)
2y x 4 0 y 2
2
例题示范：
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解： (1)（化成标准式） x + 4y – 4 <0 (2)（直线定界）:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (3)（特殊点定域）:取原点（0，0），代 入x + 4y - 4，得 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 (4)（取舍）所以原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面 区域内，不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所 y 示。
y
（ 0， 2） （-2，1.5） 1 o
-1
x
A
x-y+1=0
y 左上方 区域 1
x-y+1=0
1
o
x
不等式x-y+1<0的解 构成的区域 或者说 不等式x-y+1<0表示的区域
不等式x-y+1<0 表示的区域
左上方 区域 -1
y
x-y+1=0 右下方 区域
1 o 不等式x-y+1>0 x 表示的区域
x
x+4y―4= 0
练习 画出不等式2x+y-4≤0表示的平面区域.
解：先画出直线2x+y-4=0，根据题意画成实线
取原点（0，0）代入2x+y-4 得 20+0-4=-4<0， 所以原点在不等式2x+y-4 ≤0所表示的区域内. y
4
2x+y-4=0
2
不等式2x+y-4 ≤0所表示的 区域如图所示在直线2x+y-4=0的 下方（包括边界）
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x-y+1=0分成 三 类：
y
②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
①在直线 x-y+1=0上
x-y+1=0
o
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内
x
在直线 x-y+1=0 的左上方的平面 区域内的点的特点： 坐标符合不等式x-y+1<0 A1 （-3，2） 把点的坐标代入式子 x-y+1, 判断式子的符号。 可以发现式子的 符号都是负的 即满足x-y+1<0
由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值 构成有序实数对（x,y），所有这样的有 序实数（x,y）构成的集合称为二元一次 不等式（组）的解集。
我们知道一元一次不等式x>2的解集可以 表示为数轴上的区间，那么，在直角坐 标系内，二元一次不等式的解集表示什 么图形？
O
x
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。 2、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
跟踪练习1：
1、画出下列不等式表示的平面区域： （1）2x+y>8； （2)4x+5y≤20.
达标检测
1、不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的( A、右上方 B、右下方 C、左上方 D、左下方 2、不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是( C ) y y y x x