福建省莆田第六中学2020届高三数学上学期期中试题理(含答案)

福建省莆田第六中学2020届高三上学期期中试题
数学 理
第Ⅰ卷（共60分） 2019-11-8
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量1
(,sin )2
a α=r ，(sin ,1)
b α=r ，若a r ∥b r ，则锐角α为（ ）
A ．30︒
B ． 45︒
C ． 60︒
D ． 75︒
2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若36-=a ，216=S ，则5a 等于（ ） A ．1- B ．3- C ．1 D ．4
3.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则x y -的最大值等于（ ）
A. 2
B. 1
C. -2
D. -4
4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38418a a a +=-，则9S =( ) A. 36
B. 54
C. 60
D. 81
5.等比数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，若639S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110
6.已知1cos 33x π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则5cos 23x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值为( ) A. 19
- B.
19 C. 79 D. 79- 7.函数()2
3sin 1
x x
f x x -=+在[],ππ-的图象大致为（ ） A. B. C. D.
8.设等比{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则9S =（ ） A. 144
B. 117
C.81
D. 63
9.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，则
λμ+=（ ）
A ．2
B ．
83
C ．
65
D ．85
10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,,a b c 若cos cosA 2
c
a B
b -=，则tan()A B -的最大值为( )
A ．
43
3
B ． 3
C ．
23
3
D ．
33
11.在ABC ∆中，点G 为ABC ∆的重心，已知23AB =，且向量GA u u u r 与GB uuu r
的夹角为120︒，
则CA CB ⋅u u u r u u u r
的最小值是 （ ）
A. 3-
B. 6
C. 9
D. 24 12.设数列{}
n a 的
前n 项和为n S ，且满足122a a +=，12
3
n n a S +=+
，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（ ） A. 4 B. 5
C. 6
D. 7
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知2,1,a b ==r r a b r r ,的夹角为0602a b +=v v ，
________ 14．已知数列{}n a 满足对任意的*
n N ∈，都有120n n a a +-=，又22a =，则
8S =____________.
15.已知,a b R +
∈，且41a b +=，则11(1)(1)a b
++的最小值为____________
16.已知在ABC ∆中，2A B =，10AB =，8AC =，则ABC ∆的面积是____________
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.数列}{n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
1
++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
18.如图所示，在ADE ∆中，,B C 分别为,AD AE 上的点，若,4,16.3
A A
B A
C π
===，
（1）求sin ABC ∠的值；
（2）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若121633
S S =，求BD CE ⋅的最大值.
19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>3
2y x =+上，若直
线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若121
4
k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
20.数列{}n a 满足1
2122
42-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求数列{}n a 前n 项和n T ；
(2)证明： 对任意的*n N ∈且2n ≥时，111
(1...)22ln 23n T n n ++++⋅<+
2
1
.已知函数 E M
B
E D E q u a
t i o n .D S M T 4
()ln()f x ax b x =+-
（1）讨论 ()f x 的单调性；（2）若 ()0f x ≤恒成立，求(1)a
e b -的最大值． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方
程为252x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）． (1)求C 与l 的直角坐标方程；
(2)过曲线C 上任意一点作P 与l 垂直的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值． 23.已知()12f x x
x =++-．
（1）已知关于x 的不等式()f x a <有实数解，求a 的取值范围； （2）求不等式()22f x x x ≥-的解集．
莆田六中19-20学年上学期11月份月考高三数学理科参考答案
一、选择题
1-5：BAABA 6-10：CCBDD 11-12： BC 二、填空题
13
、、255 15
、14+16
、三、解答题
12题解：令1n =，得2123a a =+
，又122a a +=，解得12
3a =，243a =，又123
n n a S +=+，
123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23
n
n a =，()2213n n S =-.所以
0111
1333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L ， 即0
1
12
11
(1)C 3
C 3
C (1)
3n n n n n n n
n
n
b ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦
，即
22
,3
21,3
n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此
()2222213
n
n n T S n n =-=
--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.
故选B.
17．解：（I ）当1n =时，1122S a =-， 解得12a = …………2分 由22n n S a =-，
当n ≥2时，1112a a S n n -=--， …………………………3分 ∴122--=n n n a a a ， 即12-=n n a a ．
…………………………4分
∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2．…………………………5分
∴2n
n a =…………………………6分
（II ）1
12
n n a ++=，12(21)2221
n n n S +-==--， 2
122n n S ++=-． ………8分
11121
12111()(22)(22)22121
n n n n n n n n n a b S S ++++++===-----……10分 ∴数列{}n b 的前n 项和22311111111[()()......()]2212121212121
n n n T +=
-+-++------- 111
(1)221
n +=-- ……… 12分
18．（1）在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，………1分 即2221
4162416562
BC =+-⋅⋅⋅=………2分
所以BC =………3分
由正弦定理得
sin sin AC BC
ABC A
=
∠，………4分
解得sin ABC ∠=………6分 （2
）依题意11
sin 2
S AB AC A =⋅⋅=7分 又
121633
S S =
，故2S =
12ADE S S S ∆=+=8分 设,BD x CE y ==
则1(4)(16)sin 23
ADE S x y π
∆=
++=(4)(16)196x y ++=………9分
故132164xy x y -=+≥10分
即1320xy +≤
，22)0≤………11分
解得
6≤，故36xy ≤。

当且仅当3,12x y ==时等号成立，故BD CE ⋅的最大值为
36. ………12分 19.【详解】(1)
由2
c e a =
=
，…………………………1分 又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =
，c =1b = (3)
分
故此椭圆的方程为2
214
x y +=.…………………………4分
（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：(
)
2
22
418440k x kmx m +++-=，…………………………5分 由(
)(
)
2
2
2
2
64441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，212244
41
m x x k -⋅=+，…………………………6分
122
41
PQ x x k =-=+，…………………………7分 又点O 到直线y kx m =+
的距离d =
，…………………………8分
122OPQ
S d PQ m ∆=⋅⋅=，…………………………9分 由于2121212121214
y y x x m k k x x x x ++⋅===-，…………………………10分
可得：22421k m =-，
故2
212OPQ
S m m
∆=⋅=，…………………………11分 当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=，…………………………12分 故OPQ ∆的面积为定值1. …………………………12分 20. 解：当1n =时，1431a =-=…………………………1分 当2n ≥时，121
2
2...42n n n a a na -++++=-
1212
1
2...(1)42n n n a a n a --++++-=-
…………………………2分 两式相减得：121214(4)222
n n n n n n n
na ---++=---=…………………………4分
所以11
2n n a -=，又11a =符合此式，
综上：1
1()
2
n n a -=…………………………5分
所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为12，所以111122()1212
n n
n T --=
=--……………6分
（2）由（1）可知02
n T <<，所以111111
(1...)2(1...)2323n T n n
+
+++⋅<++++…………8分
故只需证明111
1...1ln 23n n
+
+++<+ 下面先证明对任意的*n N ∈且2n ≥都有
1ln 1
n
n n <-………………………9分 记1()ln 1f x x x =+-（1x >），则22111
()0x f x x x x
-'=-=>
所以()f x 在(1,)+∞上是增函数，又(1)0f =，故()0f x >…………………………10分
当*
n N ∈且2n ≥时，
11n n >-，所以1
()ln 1011
1
n n f n n n n =+->---，即1ln
1n n n <- 所以12ln 21<，13ln 32<，..., 1ln 1
n n n <-…………………………11分
累加的111
1...1ln 23n n
++++<+
原式得证。

…………………………12分
21.
22.【详解】（1）曲线C 的参数方程，消去θ得其直角坐标方程为：22
149
x y += (3)
分
直线l 的参数方程，消去t 得其直角坐标方程为：260x y +-=……………5分
（2）设曲线C 上任意一点()2cos 3sin P θθ,……………6分 ∴点P 到直线l 的距离()5sin 6
4cos 3sin 6
5
5
d θϕθθ+-+-=
=
，其中0,
2πϕ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且4
tan 3
ϕ=
……………8分 由题意知：()5sin 6
5
PA d θϕ+-==
9分
∴当()sin 1θϕ+=-时，max
115
55
PA ==……………10分 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.
- 11 -
23.()1因为不等式()f x a <有实数解，所以()min f x a <……………1分
因为()()()12123f x x x x x =++-≥+--=，所以()min 3f x =……………4分 故3a >。

……………5分
()()21,2
23,1221,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩
……………6分
①当2x ≥时，2212x x x -≥-
，所以22x ≤≤+
22x ≤≤……………7分
②当12x -<<时，232x x ≥-，所以13x -≤≤，故12x -<<……………8分 ③当1x ≤-时，2212x x x -+≥-，所以11x -≤≤，故1x =-……………9分
综上，原不等式的解集为1,2⎡-⎣。

……………10分
【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。