空间向量运算的坐标表示

的什么条件? 提示:如果������1 = ������1 = ������1,那么 a=λb,即 a∥b,反过来 a∥b⇔a2=λa1 且
2 2 2
������
������
������
b2=λb1 且 c2=λc1.但因有可能 a2,b2,c2 中存在零项,故不能推出������1 = ������1 = ������1,故
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1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
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ICHU ZHISHI
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探究一
探究二
探究四
探究一空间向量的坐标运算
1.根据已知向量的坐标,代入空间向量的加减和数乘运算的坐标表示 公式进行计算. 2.熟练应用有关的乘法公式: (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a-b)2=a2-2a·b+b2; (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 【典型例题 1】已知空间四点 A,B,C,D 的坐标分别是 (-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1,-2).若 p=������������,q=������������,求下列各式的值: (1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)· (p+q). 思路分析:先由点的坐标计算得到向量 p,q 的坐标,然后再进行各种运 算.
2 2 2
������
������
������
“
������1 ������2
=
������1 ������2
=
������1 ”是“a∥b”的充分不必要条件. ������2
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探究二空间向量的平行与垂直
1.要熟练掌握两个向量平行和垂直的充分必要条件,借助空间向量可 将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算. 2.在应用坐标形式下的平行条件时,一定要注意结论成立的前提条件. 在条件不明确时,要分类讨论. 【典型例题 2】设 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求 k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求 k. 分析:解答本题可先求出(ka+b)与(a-3b),再根据向量平行与垂直的条 件列方程求解.
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2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1)������������=(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)dAB= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 .
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思考已知 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),那么“������1 = ������1 = ������1 ”是“a∥b”
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������
������
������
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
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课程目标 1.掌握空间向量的坐标运算. 2.会根据向量的坐标,判断两个 向量共线或垂直. 3.掌握向量长度,两向量夹角和 两点间距离公式.
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解:由于 A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2), 所以 p=������������=(2,1,3),q=������������=(2,0,-6). (1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6) =(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9). (2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6) =(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15). (3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-(22+02+62)=-26.
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学习脉络
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1.空间向量的坐标运算 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R); (4)a· b=a1b1+a2b2+a3b3; (5)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R); (6)a⊥b⇔a· b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0; 2 2 2 (7)|a|= ������·������ = ������1 + ������2 + ������3 ; (8)cos<a,b>= =
2 2 ������2 1 +������2 + ������3
������·������ |������|·|������| ������1 ������1 +������2 ������2 +������3 ������3
2 2 2 ������1 +������2 +������3
.
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