2020年新课标高中数学北师大版必修2课时作业学案1.7.2

第一章 §
7.2
A 级基础巩固
、选择题
1.圆锥SO 的底面半径是1,高为2，则圆锥SO 的体积是（A ）
2
n
A
.亍 B . 2n
C . 4 n
D . 6 n
［解析］
1
2
2 n
V 圆锥=；X nX 1 X 2 =
3 3 2.棱台的上、下底面面积分别是
2,4，高为3，则该棱台的体积是（B ） A . 18+ 6 .2 B . 6+ 2 2 C . 24
D . 18
1
［解析］V 棱台=3X 3 X （2 + 4+甘2X 4）= 6 + 2 2.
A . 8 cm 3 C . 32 cm 3
［解析］由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，
•••体积V = 23 +1 X 22X 2 =詈
3
(cm )，故选 C .
4.正三棱柱 ABC — A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为.3, D 为BC 中点，则三棱锥 A —B 1DC 1的体积为（C ）
课时作业学案 --
KE-SHI-ZUO-YE —XUE-AIM
3.某几何体的
（单位：cm ），则该几何体的体积
是 B . 12 cm 3
40 3
1 cm
n+ 1
C .
1 若QB 的中点为 C , OH 丄SC ,求证：OH 丄平面SBQ ;
［解析］本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题. 由条件知底面B i DC i 的面积为侧面面积的一半，
即为3,而高为底面等边三角形的高,
为3，
1
VA — B<i DC i = 3 X 3 X 3 = 1 .
3
5.—个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正 侧面积和体积分别是（B ）
（主）视图如图所示，则该四棱
锥
A . 4,5, 8 C . 4( 5 + 1),
D . 8,8
［解析］由正视图知四棱锥底面是边长为
2的正方形，高为 2,又因为侧棱长相等，所
以棱锥是正四棱锥，斜高 h ' = ' 22+ 12= _ 5，侧面积S = 4X 1 X 2 X 5= 4-./5，体积V=£
6. （2017浙江理，3）某几何体的三视图如图所示 cm 3）是（
（单位：cm ），则该几何体的体积（单位:
［解析］由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为
1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是.2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体,
•••该几何体的体积
11 11 n
v=齐1n 12x 3+3X 2 — 2—1 2X 3= 2+ 1-
二、填空题
7•将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是毕 .
3 —
1
则圆锥的高h =- FA2- OA2=, 3
［解析］如图所示，则母线PA = 2,设圆锥底面半径为r,则有2n = -X 2 nX 2，则r = 1,
2 如果/ AOQ = 60° QB= 2廳，求此圆锥的体积.
［解析］⑴证明：连接OC,
8. (2019 •苏卷，9)如图，长方体ABCD —A1B1C1D1的体积是120, E为C®的中点, 则三棱锥
E —BCD的体积是10 .
［解析］设长方体中BC= a, CD = b, CC1= c,贝V abc= 120,
•K 1 1 1
…V E—BCD = 3x?ab x 2c= 12abc= 10.
9•如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△ SAB, Q为底面圆周上一点.
三、解答题
•/ SQ = SB , OQ = OB , QC = CB , /• QB 丄SC , QB 丄 OC , •••QB 丄平面SOC .
•/ OH 平面 SOC , • QB 丄 OH . 又OH 丄SC , • OH 丄平面SQB .
⑵解：连接AQ , •/ Q 为底面圆周上一点， AB 为直径,
• AQ 丄 QB .在 Rt △ AQB 中，/ QBA = 30° QB = 2羽,
1
•••△ SAB 是等腰直角三角形， • SO = 2AB = 2.
• 、， 1 2 8
--V 圆锥=3 n OA SO = 3 n
10.如图所示，已知ABCD — A i B i C i D i 是棱长为a 的正方体，E , F 分别是棱AA i 和CC i 中点，求
四棱锥 A 1 — EBFD 1的体积.
/ 2 a 2 ［解析］••• EB = BF = FD i = D i E = .a + j
5
=〒a ,且 EB // FD i , ED i // BF ,
•四边形EBFD i 为菱形.又 △ EFBEFD i ，且三棱锥 A i — EFB 和A i — EFD i 等高, •- VA i — EFB = VA i — EFD i ,
• VA i — EBFD i = 2 VA i — EFB = 2VF — EA i B . 1 a a
而 S A EA i B = x 2x a = -, F 到面 EA i B 的距离为 a ,
• VF — EA i B = 3 x 》x a =表,
3
• VA i — EBFD i = a ：.
B 级素养提升
• AB = 2 3
cos30
、选择题
1 •《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺•问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 ），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体 1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放
A . 90 n C . 42 n
［解析］方法1 :（割补法）由几何体的三视图可知， 该几何体是一个圆柱截去上面虚线部 分所得，如图所示.
图，米堆为一个圆锥的四分之一 积和堆放的米各为多少？”已知 的米约有（B ）
A . 14 斛 C . 36 斛
B . 22 斛 D . 66 斛
［解析］设圆锥底面半径为
1 16
11 r ，则-x 2n = 8，解得r =—，所以米堆的体积为
;X ：
4 n
4 3
nX （¥）
冬5注
2. （2017全国卷H 文，6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何 体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
（B ）
B . 63 n D . 36 n
将圆柱补全，并将圆柱从点
A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等
2 1
nX 3 X 6 X 2= 63 n
1 2
方法2:(估值法)由题意知，TV 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱.又V 圆柱=nX 3 X 10 = 90 n 二45 n V
几何体＜90
n 观察选项可知只有 63 n 符合.
故选B .二、填空题 3.
下图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水
中放着一个底面
直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降
设水面下降的高度为 xcm ,则这部分水的体积为 nX (20 -2) X x = 100n (cm ).
所以有60 n= 100 n, 解此方程得x = 0.6. 4.
某几何体的三视图如图所示
(单位：cm)，则该几何体的表
面积是 __80__cm 2,体积是
于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
1
2，所以该几何体的体积
V = nX 32 X 4 +
0.6 cm .
1
［解析］因为圆锥形铅锤的体积为 -X
3 _40_ _cm .
［解析］由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为 4、4、2的长方体和一个棱长
2
为2的正方体组合而成的，故表面积为 S = 4X 4X 2+ 4 X 2X 4+ 2 X 2 X 4= 80(cm ),体积为
3
V = 4X 4X 2+ 2 X 2X 2= 40(cm ).
三、解答题
(1)求此三棱锥的体积；
⑵以BDA i 为底面时，求此三棱锥的高.
i i 2 i 3
［解析］⑴若三棱锥以△ ABD 为底面，则AA i 就是高，所以 V = 3^a 2a =^a 3.
h ,贝 U V = gs A BDA i h = ^X 寸(2a)2 h hf a 'h ，又由
i 3
(i)有 V = 6a ,
5•如图，正方体
ABCD — A i B i C i D i 的棱长为
a ，过顶点B 、 D 、A i 截下一个三棱锥.
⑵若以△ BDA i 为底面，设高为
所以_63a 2h = 6a 3，解得 h =詐 T-H —2-1 H-2H —2^
AS 视圈
(i)证明：BE 丄平面EB i C 仁
⑵若AE = A i E , AB = 3,求四棱锥 E — BB i C i C 的体积.
6. (20i9全国卷n 文, E 在棱
AA i 上，BE 丄EC i .
i7)如图，长方体 ABCD — A i B i C i D i 的底面ABCD 是正方形，点
［解析］⑴证明：由已知得B i C i丄平面ABB1A1, BE?平面ABB i A i,故B i C i丄BE.又
BE 丄EC i, B i C i Q EC i= C i,
所以BE丄平面EB i C i.
⑵解：由(i)知/ BEB i = 90° 由题设知Rt△ ABE也Rt△ A i B i E, 所以 / AEB = / A i EB i = 45°,
c.
如图，作EF丄BB i，垂足为F,则
EF丄平面BB i C i C，且EF = AB = 3.
故AE= AB= 3, AA i = 2AE = 6.
i
所以四棱锥E- BB i C i C的体积V = 3X 3X 6X 3= i8.
A
C级能力拔高
如图，四棱锥P-ABCD 中，PA丄底面ABCD , AD // BC, AB = AD = AC = 3, PA = BC
=4, M为线段AD上一点，AM = 2MD , N为PC的中点.
(i)证明MN //平面PAB ;
⑵求四面体N —BCM的体积.
2
［解析］⑴由已知得AM = 3AD = 2.
取BP的中点T,连接AT, TN，由N为PC的中点知TN BC,
1
TN= 2BC= 2•
又AD /BC ,故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN /AT.
因为AT 平面PAB, MN 平面PAB,所以MN //平面PAB.
1
⑵因为PA丄平面ABCD , N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为qPA . 取BC的中点E,连接AE.由AB= AC= 3得AE JBC,
AE= AB2- BE2= 5.
由AM /BC得M到BC的距离为，5,
1 故S ZBCM = 2X 4X 5= 2：；5.
所以四面体N—BCM 的体积V N-BCM = g x S ZBCM X PA = 4^.。